2.3. Знаходження оптимальних умов проведення експерименту методом руху по градієнту

Адекватну модель можна використовувати для визначення результату нового експерименту в деякій точці факторного простору. Для цього досить підставити в рівняння моделі координати цієї точки і зробити алгебраїчні операції. Точність цього визначення буде неоднаковою в різних точках факторного простору. Щоб урахувати це розходження вводять дисперсію прогнозованого значення параметра оптимізації

, (30)

де – кількість експериментів; – експериментальні рівні параметра оптимізації; – теоретичні рівні параметра оптимізації, обчислені за побудованою моделлю.

Тоді дисперсія значення параметру оптимізації в точці основного рівня складе . У точці з координатами , , , а дисперсія прогнозованого значення параметру дорівнює . . Тобто при віддаленні від центра дисперсія прогнозування істотно збільшується.

Після побудови математичної моделі важливою стає задача визначення оптимальних умов проведення експерименту .

Обробка експериментальних даних привела до побудови математичної моделі . До збільшення параметра оптимізації приводить зменшення значень факторів. Підставляючи в модель різні кодовані значення параметру оптимізації

приходимо до висновку – зменшення значень факторів діє сприятливо.

Дослідження на значущість підтверджує: всі коефіцієнти моделі є значущими, область оптимуму є достатньо близькою (найкращий досвід серії ). Ціль дослідження – одержання виходу 99-100%, число експериментів лімітовано. Варіанти рішення: 1) рух по градієнту; 2) закінчення дослідження; 3) перехід до плану 2-го порядку.

Перший варіант – рух по градієнту. Це найбільш прийнятне рішення. Незважаючи на близькість області оптимуму, доцільно збільшити вихід на кілька відсотків за рахунок реалізації невеликого (2–3) числа випробувань. Цій меті відповідає рішення про рух по градієнту тим більше, що постановка плану 2-го порядку вимагала б проведення ще не менш п'яти досвідів.

Другий варіант – дослідження можна закінчити. Закінчити або продовжити дослідження – вирішує експериментатор, виходячи з тих задач, які перед ним стоять. Тут представляється важливим збільшити вихід на кілька відсотків у порівнянні із кращим досвідом серії .

Третій варіант – варто переходити до планування 2-го порядку.

Розглянемо етапи розрахунку методу крутого сходження. Складові градієнта дорівнюють частинним похідним функції параметру оптимізації, оцінками яких є коефіцієнти моделі. Змінюючи значення факторів пропорційно величинам коефіцієнтів рівняння моделі, ми рухаємося в напрямку градієнта функції параметру оптимізації по самому крутому шляху. Тому процедура руху до майже стаціонарної області називається крутим сходженням.

Приклад 11 Застосування руху по градієнту для визначення оптимальних умов проведення експерименту

За умовою задачі (приклад 10) важливо було збільшити процентний вміст металу у вихідному продукті за рахунок двох-трьох експериментів. Цьому відповідає рух по градієнту.

Розв'язання:

1. Розрахуємо складові градієнта: ; . Тепер варто додати складові градієнта до основного рівня факторів. Беремо умови експерименту №5: . У експерименті №6 фактори мають уже нереальні значення. Отже, можна зробити висновок, що крок руху є завеликим.

2. Скористаємося умовою: множення складових градієнта на будь-яке додатне число дає точки, що також лежать на градієнті. У даній задачі зручно змінювати РН на 0,5, тобто зменшити складову градієнта в 9 разів. У стільки ж разів зменшується і складова градієнта по першому фактору . Зміні складових градієнта відповідає в таблиці рядок: крок при зміні на 0,5. Отже, методи аналізу дозволяють задавати значення з точністю до одного знака після коми, крок по цьому фактору округлюється.

3. Останній етап розрахунку: послідовне додавання складових градієнта до основного рівня. Одержуємо серію експериментів крутого сходження (експерименти № 5–9). Ці експерименти часто називають умовними.

Визнано розумним змінити фактор на -0,2, тоді складова градієнта зменшилася по першому факторі в разів. У стільки ж разів зменшилася складова градієнта по другому фактору або, округляючи цю величину, маємо крок по другому фактору . Випробування 5–9 отримано доповненням і до основних рівнів факторів (табл. 19).

Таблиця 19

Рівні факторів умовних експериментів

№ експерименту
5	1,3	6
6	1,1	5
7	0,9	4
8	0,7	3
9	0,5	2

Таким чином, розрахунок зводиться до того, щоб вибрати крок руху по одному з факторів і пропорційно добуткам коефіцієнтів моделі на інтервали варіювання розрахувати кроки по інших факторах (див. табл.20).

Таблиця 20

Результати і розрахунок методу крутого сходження

Рівень
Основний	1,5	7
Інтервал варіювання	0,5	1
Верхній	2	8
Нижній	1	6

Експеримент
1	–	–	95
2	+	–	90
3	–	+	85
4	+	+	82
	-2	-4,5
	-1	-4,5
Крок при зміні на 0,5	-0,11	-0,5
Округлення	-0,1	-0,5
Експерименти
5	1,4	6,5
6	1,3	6,0
7	1,2	5,5
8	1,1	5,0
9	1,0	4,5

Іноді має сенс оцінити очікуване значення параметра оптимізації в умовних експериментах. Проведемо розрахунок для експерименту №7. Для оцінки параметра оптимізації використаємо рівняння моделі . Однак, в останній таблиці наведено натуральні значення факторів, а в моделі застосовують їхні кодовані значення. Тому варто перевести натуральні значення в кодовані: і , дістанемо . Аналогічно для експерименту №8 маємо і , тоді . Експериментально отримані значення можуть не збігатися з розрахунками, оскільки величини незалежних змінних виходять за область експерименту.

Якщо модель адекватна, то починають реалізацію з тих умовних експериментів, умови яких виходять за область експерименту хоча б по одному фактору. Тому що для експерименту №5 значення факторів є такими , то значення параметра оптимізації можна одержати простим розрахунком . Для експерименту №6 маємо і .

Має сенс ставити експеримент, починаючи з експерименту №7 . Цей експеримент по факторі виходить за межі області експериментування. Умови умовних експериментів варто ретельно обміркувати і переконатися в їхній нескладній реалізації.

Існують дві принципово різні стратегії реалізації умовних експериментів. Всі намічені до реалізації експерименти ставляться одночасно або послідовно. Послідовний принцип полягає в тому, що спочатку ставляться 2–3 експерименти, аналізуються результати і приймається рішення про постановку нових експериментів. Вибір стратегії визначається вартістю експериментів, їхньою тривалістю і умовами експериментування.

Перевага одночасної реалізації випробувань полягає в тому, що ця стратегія виключає часовий дрейф. Її застосовують при швидких і дешевих експериментах або при тривалих випробуваннях, які можливо проводити паралельно (сільськогосподарські, біологічні, металургійні задачі). Якщо випробування багато коштують, доводиться користуватися послідовною стратегією, тому що мінімізація числа експериментів здобуває більшу актуальність.

Круте сходження може вважатися ефективним, якщо хоча б один з реалізованих експериментів дасть кращий результат у порівнянні із кращим експериментом серії. Потім із всіх реалізованих експериментів вибирається той, котрий дав кращий результат, і його умови приймаються за основний рівень факторів у наступній серії випробувань. Якщо в одному з реалізованих випробувань досягнуті оптимальні умови, то експеримент закінчується.