2.2. Побудова математичної моделі у випадку двох факторів

План експерименту зручно задавати таблицею, яку називають матрицею планування експерименту, що включає в себе послідовність проведення випробувань, значення факторів і ефектів їхніх взаємодій, а також значення досліджуваної функції – параметра оптимізації.

Випадок двох факторів, кожен з яких приймає два значення – мінімальне і максимальне – характеризується матрицею планування повно-факторного експерименту типу . Необхідне число випробувань при цьому згідно повнофакторного експерименту визначається формулою (26) . 

При проведенні декількох випробувань при однакових рівнях факторів експериментатором можливе одержання різних значень параметра оптимізації, які обумовлені помилками вимірювань та випадковими чинниками. Для математичної обробки результатів ЕД за значення параметру оптимізації беруть середнє арифметичне його значень, одержаних в кожній серії експериментів.

Наприклад, для здійснених трьох серій випробувань для кожного варіанту рівнів факторів маємо матрицю планування (див. табл.12).

Таблиця 12

Матриця планування експерименту

№ випробування
1	–	–
2	+	–
3	–	+
4	+	+

Тут і надалі застосовуємо скорочене позначення рівнів факторів: замість і позначаємо і .

Плануючи експеримент, на першому етапі прагнуть одержати лінійну модель, як найбільш просту і наочну для аналізу. Однак немає гарантії, що в обраних інтервалах варіювання процес описується саме лінійною моделлю. Один з видів нелінійності, який часто зустрічається, пов'язано з тим, що ефект одного фактору залежить від рівня іншого фактору. У цьому випадку має місце ефект взаємодії двох факторів. Тоді модель може бути представлена у вигляді , а матриця планування перетвориться у таку (табл.13).

Таблиця 13

Матриця планування з урахування ефекту взаємодії факторів

№ випробування
1	+	–	–	+
2	+	+	–	–
3	+	–	+	–
4	+	+	+	+

Величина має допоміжне значення, припускається, що вона завжди приймає значення верхнього рівня.

Розрахуємо коефіцієнти моделі методом, основна ідея якого полягає в застосуванні наведених нижче розрахунків (див. табл.14).

Таблиця 14

Розрахунок параметрів моделі

1	2	3

У перший стовпець розрахункової матриці вносять значення параметра оптимізації. У другий стовпець записують результати попарних додавань і віднімань цих значень, причому верхнє число віднімають від нижнього. У третій стовпець заносять результати тієї ж операції, але вже із числами другого стовпця. Для знаходження коефіцієнтів моделі числа третього стовпця ділять на кількість досвідів. Тобто

(28)

Причому – це точка основного рівня параметра оптимізації.

Для оцінки адекватності побудованої лінійної моделі обчислюють середню помилку апроксимації

, (29)

де фактичні рівні параметра оптимізації, отримані при проведенні експерименту, розрахункові рівні параметра оптимізації, отримані при підстановці в лінійну модель рівнів факторів. У випадку, коли середня помилка апроксимації (29) не перевершує 5%, модель вважають адекватною експериментальним даним.

Приклад 10 Планування експерименту у випадку двох факторів

Розглянемо технологічний процес, параметром оптимізації для якого обрано процентний вміст металу у вихідному продукті. Як фактори взято концентрацію вихідного продукту і його РН .

Експериментально встановлені границі і , при яких протікання процесу знаходиться в розумних межах. Основний рівень , відповідає найкращим умовам, відомим з апріорної інформації.

Відомо також, що є можливість подальшого поліпшення параметра оптимізації, наявне значення якого не задовольняє експериментатора. Вибираємо інтервали варіювання , , що становить 20% від області визначення факторів. Результати експерименту наведено в матриці планування повно-факторного експерименту типу представлено в табл.15.

Таблиця 15

Матриця планування експерименту

№ випробування
1	–	–	95
2	+	–	90
3	–	+	85
4	+	+	82

Розв'язання : Згідно з табл. 13 запишемо матрицю планування з урахуванням ефекту взаємодії факторів (див. табл.16).

Таблиця 16

Матриця планування з урахуванням ефекту взаємодії факторів

№ випробування
1	+	–	–	+	95
2	+	+	–	–	90
3	+	–	+	–	85
4	+	+	+	+	82

Для обчислення параметрів нелінійної моделі за табл. 14 маємо (див. табл. 17).

Таблиця 17

Визначення параметрів моделі

1	2	3
95	185	352
90	167	-8
85	-5	-18
82	-3	2

Для знаходження коефіцієнтів моделі числа третього стовпця ділять на кількість досвідів, за формулами (28) маємо

Точкою основного рівня параметра оптимізації є .

Модель має вигляд .

Спрощуємо модель до лінійного рівняння .

Розрахунки для одержання оцінки адекватності лінійної моделі проводимо в табл. 18.

Таблиця 18

Оцінка адекватності лінійної моделі

№ випробування
1	+	–	–	+	95	94,5	0,5	0,53
2	+	+	–	–	90	90,5	-0,5	0,55
3	+	–	+	–	85	85,5	-0,5	0,59
4	+	+	+	+	82	81,5	0,5	0,61
								2,28

Величину середньої помилки апроксимації обчислюють за формулою (29): . Очевидно, лінійна модель є адекватною ЕД .