Анализ полученного решения

Так как m₁, m₂, …, m_n – ряд возрастающих чисел, то чем больше m, тем меньше роль последующего члена ряда по сравнению с предыдущим. Кроме того, чем больше число Fo, тем члены ряда будут убывать быстрее с увеличением номера n.

Исследования показали, что уже при Fo ³ 0,3 ряд (в) становится настолько быстросходящимся, что распределение температуры достаточно точно описывается первым членом ряда

.

Величина D₁ является только функцией числа Bi (так как m_n = f (Вi)) и заранее может быть рассчитана и табулирована.

Если рассматривать температуру для определенного значения Х = х/d, то и cos(m₁ Х) является функцией Вi ( так как m₁ = f (Вi)).

Для оси пластины: Х = х/d = 0 ® cos(m₁ 0) = 1

Для поверхности: Х = х/d = 1® cos(m₁ 1) = cosm₁.

Тогда для оси пластины произведение D₁cos(0) обозначим как некоторую функцию N(Bi):

. (1)

Для поверхности пластины D₁ cosm₁ – обозначим через Р(Bi):

. (2)

Функции N(Bi) и Р(Bi) табулированы и берутся из справочников. Из уравнений (1) и (2) следует, что при заданной координате безразмерная температура является только функцией 2-х безразмерных параметров Bi и Fo.

.

Логарифмируя уравнение (1), получаем

. (3)

Аналогичное уравнение может быть получено после логарифмирования уравнения (2).

Из уравнения (3) следует, что при заданном значении координаты и при заданном Bi натуральный логарифм безразмерной температуры линейно зависит от времени. Это позволяет представить для уравнений (1) и (2) графическое решение (рис. 14).

Рис. 14 Изменение температурного поля в плоской неограниченной стенке при ее охлаждении

Из уравнения (в) для Q следует: поле температуры имеет вид симметричной кривой косинусоиды с максимумом на оси пластины (Х=0).

Физический смысл: в первые моменты времени перепад температур между серединой пластины и краем максимальный. Это объясняется тем, что сначала охлаждаются наружные слои пластины. Затем начинают остывать слои ближе к центру пластины.

Для каждого последующего момента времени будет своя кривая, монотонно убывающая к поверхностям пластины. Кривизна этих кривых зависит от условий однозначности.

Для бесконечно длинного цилиндрического стержня вывод соотношений для температуры аналогичен рассмотренному выше для плоской стенки.

Охлаждение параллелепипеда

Рассмотрим охлаждение параллелепипеда в среде с постоянной температурой Т_ж. В начальный момент времени (при t = 0) все точки параллелепипеда имеют одинаковую температуру Т₀. Параллелепипед однородный и изотропный (рис. 15).

Найти: распределение температур и среднюю температуру.

Рис. 15 К охлаждению параллелепипеда

Поместим начало координат в центре параллелепипеда. Дифференциальное уравнение теплопроводности:

.

Начальные условия:

При заданных условиях задача симметрична относительно центра параллелепипеда. Введя обозначения, запишем граничные условия:

а) для наружной поверхности при t > 0:

-

б) в центре параллелепипеда:

.

Параллелепипеды, цилиндры конечных размеров и прямоугольные стержни можно рассматривать как тела, образованные при пересечении соответственно: 3-х взаимно перпендикулярных неограниченных пластин конечной толщины; цилиндра и пластины и 2-х пластин.

Доказано, что решение таких задач представляется произведением безразмерных температур для тел неограниченных размеров, в результате пересечения которых образовалось рассмотренное тело.

Для параллелепипеда решение можно представить как произведение безразмерных температур для трех безграничных пластин:

_, (1)

где ; ; .

То есть, решение задачи для рассматриваемого тела конечных размеров свелась к решению задачи для безграничной пластины конечной толщины. Уравнение (1) можно представить в виде:

,

где ;; ; ; .

Данный метод известен в теории теплопроводности под названием теоремы о перемножении решений. Средняя температура находится аналогично.

Скорость распространения теплоты в телах зависит от отношения поверхности тела к их объему. Чем больше отношение поверхности тела к его объему, тем и скорость протекания процесса будет больше.