Уравнение сплошности

Величина _х представляет собой кол-во массы, протекающей в единицу времени через единицу поперечного сечения. Избыток массы, вытекающей из рассматриваемого объема, может быть обусловлен изменением плотности в объеме dV и равен изменению массы данного объема во времени / dd.

В итоге получено уравнение сплошности для сжимаемых жидкостей:

/  _х/х  (_у)/у  (_z)/z  

Для несжимаемых жидкостей  = const 

_x/x_y/y_z/z   или div  = 0.

Это уравнение является уравнением сохранения массы. Таким образом, процесс конвективного теплообмена описывается 4-мя уравнениями: 1) уравнением энергии; 2) уравнением движения; 3) уравнением сплошности и уравнением q = q_тпр + q_конв.

Для решения этих уравнений необходимо задать условие однозначности.

Особенность состоит в следующем. Задание температуры поверхности стенки затруднительно, так как она зависит от процессов теплообмена в стенке и по другую её сторону. Поэтому необходимо к системе дифференциальное уравнений рассматриваемого конвективного теплообмена присоединить дифференциальное уравнения теплопроводности, описывающие передачу тепла в стенке. Затем задать условия сопряжения.

Математическая формулировка задачи может быть упрощена при использовании понятия пограничного слоя. Сложность процессов конвективного теплообмена заставляет при его изучении особенно широко использовать методы экспериментальных исследований. В этом помогает теория подобия. Широко применяются также численные методы расчета.

Лекция 7

Гидродинамический и тепловой пограничные слои

Для инженерной практики особый интерес представляет теплообмен между жидкостью и основным телом. Рассмотрим особенности течения и переноса теплоты в пристенном слое жидкости.

Условия «прилипания». В настоящее время в гидродинамики вязкой жидкости получила признание гипотеза о том, что частицы жидкости, непосредственно прилегающие к твердому телу, адсорбируются последним, как бы прилипают к его поверхности, то есть их скорость равна скорости тела (а если тело неподвижно, то нулю).

Этот слой «прилипшей» жидкости можно рассматривать как бесконечно тонкий слой. Гипотеза о равенстве нулю скоростей жидкости на стенке хорошо согласуются с экспериментами. Эта гипотеза справедлива до тех пор, пока газ можно считать сплошной средой. По мере увеличения разрежения газ вблизи стенки начинает проскальзывать.

Мы будем рассматривать в основном сплошные среды.

Уравнение теплоотдачи.

Так как у поверхности твердого тела имеет место тонкий слой неподвижной жидкости, то плотность теплового потока на стенке (теплоотдача) может быть определена по уравнению Фурье:

q_c = -  (T/n)_n=0,

где n – нормаль к поверхности тела.

При необходимости по известному полю температур можно определить и коэффициент теплоотдачи

 = (Т/n)_n=0 – уравнение теплоотдачи

Гидродинамический пограничный слой

Рис. 20 Изменение скорости в гидродинамическом пограничном слое

Рассмотрим продольное обтекание плоской поверхности тела безграничным потоком жидкости. Скорость равна ₀, а температура Т₀.

При соприкосновении частиц жидкости с поверхностью тела они «прилипают» к ней. В результате в области около пластины вследствие действия сил вязкости образуется тонкий слой заторможенной жидкости, в пределах которого скорость изменяется от нуля на поверхности тела до скорости невозмущенного потока (вдали от тела). Этот слой заторможенной жидкости называется гидродинамическим пограничным слоем. (Теория гидродинамического пограничного слоя впервые дана в 1904 г. Л. Прандтлем).

Чем больше расстояние х от передней кромки пластины, тем толще пограничный слой, так как влияние вязкости по мере движения жидкости вдоль тела все дальше проникает в невозмущенный поток.

Для течения жидкости внутри пограничного слоя справедливо условие _х/у  0; вне пограничного слоя и на его внешней границе _х/у = 0 и _х = ₀

Понятия «толщина пограничного слоя» и «внешняя граница пограничного слоя» довольно условны, так как резкого перехода от пограничного слоя к течению вне слоя нет. Скорость в пограничном слое по мере увеличения у асимптотически стремиться к ₀.

Поэтому под толщиной пограничного слоя  подразумевается такое расстояние от стенки, на котором скорость будет отличаться от скорости потока вдали от тела на определенную заранее заданную малую величину   1 (например на 1%) при у =  _х = (1 - )₀.

Таким образом, при омывании тела поток жидкости как бы разделяется на 2 части: на пограничный слой и внешний поток. Во внешнем потоке преобладают силы инерции, вязкостные силы здесь не появляются. Напротив, в пограничном слое силы вязкости и инерции соизмеримы.

Соотношение сил инерции и сил вязкости характеризуется числом Рейнольдса:

,

где ₀ – скорость невозмущенного потока;  - кинематическая вязкости (м²/с); l – масштаб продольной координаты.

Таким образом, теория пограничного слоя приобретает характер метода упрощения математической формулировки краевой задачи и связанной с этим возможности решения.