Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Теория электронагрева (курс лекций).doc
Скачиваний:
147
Добавлен:
05.11.2018
Размер:
7.82 Mб
Скачать

Плотность теплового потока

.

Количество теплоты, передаваемое через сферическую поверхность в единицу времени

.

Лекция № 3

Теплопроводность при наличии внутренних источников теплоты

В рассматриваемых ранее задачах внутренние источники теплоты отсутствовали. Однако в ряде случаев внутри объектов исследования могут протекать процессы, в результате которых будет выделяться или поглощаться теплота. Примерами таких процессов могут служить: выделение джоулевой теплоты при прохождении электрического тока P = I2R; диэлектрические потери в диэлектриках Pg = cwu2 tgd, находящихся в электрическом поле; выделение или поглощение теплоты при протекании химических реакций.

При исследовании переноса теплоты в таких случаях важно знать интенсивность объемного выделения (поглощения) теплоты, которая количественно характеризуется мощностью внутренних источников теплоты qv, Вт/м3. Если величина qv > 0, то говорят, что в теле имеются положительные источники теплоты. При qv < 0 имеются отрицательные источники (стоки) теплоты.

Теплопроводность однородной пластины

Рассмотрим длинную пластину толщиной 2d. Источники тепла равномерно распределены по объему и равны qv = const. Условия охлаждения с обеих сторон пластины одинаковые (Tж = const, a = const). При указанных условиях температура пластины будет изменяться только вдоль оси х (рис. 9).

Рис. 9 Теплопроводность пластины при наличии внутренних источников тепла

Необходимо найти: распределение температур в пластине и количество теплоты, отданное в окружающую среду.

Дифференциальное уравнение принимает вид:

. (1)

Граничные условия:

при х = ± d ; (2)

при х = 0 . (3)

В силу симметрии поля температур относительно плоскости х = 0 рассматриваем только половину пластины.

После интегрирования (1) получим:

; (4)

. (5)

Температурная зависимость по толщине пластины имеет вид параболы.

Постоянные с1 и с2 определяются из граничных условий.

При х = 0 из выражения (2) находим c1 = 0.

При х = d из выражения (4) находим и подставляем в (2):

,

откуда:

.

Тогда из (5) можно найти с2:

Þ.

Уравнение температурного поля примет вид:

. (6)

В данной задаче (в отличие от аналогичной без тепловыделения) тепловой поток изменяется вдоль оси х (см. уравнение (4)):

.

При х = 0 и q = 0. При х=d :

.

Общее количество теплоты, отдаваемое всей поверхностью в единицу времени (вся поверхность F равна двум боковым поверхностям F1):

.

Из уравнения (5) следует, что температура в плоской стенке в случае симметричной задачи распределяется по параболическому закону.

Теплопроводность однородного цилиндрического стержня

Рассмотрим круглый цилиндр, радиус которого мал по сравнению с длиной цилиндра. При этих условиях температура будет изменяться только вдоль радиуса r (рис. 10). Внутренние источники теплоты равномерно распределены по объему стержня.

Рис. 10 Теплопроводность однородного цилиндрического стержня при наличии внутренних источников тепла

Как и для пластины, задача будет одномерной и симметричной.

Уравнение имеет вид:

. (1)

Граничные условия:

при r = 0 ;

при r = r0 .

Необходимо найти: уравнение температурного поля и тепловой поток.

Проведем замену переменных , тогда уравнение (1) примет вид:

(2)

Умножим выражение (2) на rdr и получим:

. (3)

Первые два слагаемых выражения (3) являются:

.

Тогда выражение (3) можно представить в виде:

.

После интегрирования получим:

. (4)

Разделим выражение на r, получим:

.

Вернувшись к замене, получим:

. (5)

После второго интегрирования получим:

. (6)

Определим с1 и с2 из граничных условий.

При r = 0 находим из (5), что с1 = 0.

При r = r0 находим из (5), что и подставляем в граничные условия:

.

Откуда:

.

Из (6) находим с2:

;

.

Уравнение температурного поля:

.

Распределение температуры в круглом стержне подчиняется параболическому закону.

Плотность теплового потока на поверхности цилиндра:

.

Полный тепловой поток:

.

Лекция № 4