Дифференциальные уравнения конвективного теплообмена

Из уравнения следует, что плотность теплового потока в любой точке жидкости, для каждого момента времени однозначно определяется, если известны поля температур, удельной энтальпии и скорости.

Для многих задач можно предположить, что жидкость несжимаема, то есть справедливо соотношение для термодинамически идеального газа:

di = c_pdT и i = c_pdT -

^Т

уравнение, которое позволяет установить связь между полем температур и полем энтальпии. Чтобы аналитически найти поля температур (энтальпии) и скоростей и определить q, необходимо располагать соответствующими уравнениями.

Уравнение энергии

Это уравнение описывает температурное поле в движущейся жидкости. При его выводе предполагали, что жидкости однородна и изотропна, её физические параметры постоянны, энергия деформации мала по сравнению с изменением внутренней энергии. В итоге получили:

Т/ + _хТ/х + _уТ/у + _zТ/z  а (²Т/х² + ²Т/у² + ²Т/z²) + q_v/с_р -

- уравнение энергии dT/d - полная производная от температуры по времени

dT/d - характеризует изменение температуры во времени в какой-либо точке жидкости, то есть является локальным изменением температуры Т; второй член – характеризует изменение температуры при переходе от точки к точке, то есть является конвективным изменением температуры Т.

Уравнение энергии можно переписать в форме

dT/d = а ²Т + q_v/с_р (2)

Если _х = _у = _z = 0, то уравнение энергии переходит в уравнение теплопроводности.

Уравнения движения

Как следует из уравнения (2), температурное поле в движущейся жидкости зависит от составляющих скорости _х, _у, _z. Чтобы сделать систему уравнений замкнутой, необходимо добавить уравнения, которые бы описывали изменения скорости во времени и пространстве. Такими уравнениями является уравнения движения. Вывод уравнения движения основана на 2-м законе Ньютона: сила равна массе, умноженной на ускорение.

На элемент жидкости действуют 3 силы: 1) сила тяжести, 2) равнодействующая сил давления и 3) равнодействующая сил трения. В общем случае трехмерного движения несжимаемой жидкости с постоянными физическими параметрами скоростное поле описывается тремя уравнениями движения, которые называется уравнениями Навье – Стокса. В векторной форме записи они имеют

набла

d/d = g - p + ²,

масса и сила давление сила

ускорение тяжести трения

где  - динамический коэффициент вязкости (Н с/ м²) – численно равен касательной силе, которая действует в любой точке потока в плоскости, ориентированной по течению, если изменение скорости в направлении нормали к этой плоскости d/dn = 1.

Это уравнение не учитывает зависимость плотности от температуры. В то же время свободное движения жидкости определяется разностью плотностей холодных и нагретых частиц жидкости

С учетом зависимости плотности жидкости от температуры уравнения движущейся жидкости примет вид

d/d = - gV  1/р + ²,

подъемная сила

где  = ₀ - /₀V – коэффициент объемного расширения ( = ₀(1 - V))

V = T – T₀

 =  - кинематический коэффициент вязкости, м²/с.

Так как в уравнении движения помимо _х, _у, _z,V входит ещё неизвестная величина р (давление), то система уравнений не является замкнутой.

Необходимо добавить ещё одно уравнение – дифференциальное уравнение сплошности (неразрывности).