Охлаждение длинного прямоугольного стержня

Однородный стержень охлаждается в среде с постоянной температурой Т_ж и при постоянном коэффициенте теплоотдачи a. В начальный момент времени t = 0 все точки стержня имеют одинаковую температуру. Данное тело можно рассматривать как результат пересечения двух пластин толщиной 2d_х и 2d_у (рис. 16).

Рис. 16 К охлаждению полуограниченного прямоугольного стержня

Безразмерное поле температур можно представить в виде:

,

где и .

Охлаждение цилиндра конечной длины

Рис. 17 К охлаждению цилиндра конечной длины

Такое тело можно рассматривать как результат пересечения безграничных цилиндра диаметром 2r₀ и пластины толщиной 2d_z (рис 17).

Тогда безразмерную температуру можно записать в виде:

или .

Лекция № 5 Стадии охлаждения (нагревания) тел

Анализ полученных решений для тел различной геометрической формы показывает, что они имеют одинаковую структуру, то есть представляют собой сумму бесконечного ряда, члены которого расположены по быстро убывающим экспоненциальным функциям. Например, для безграничной пластины при охлаждении её в среде с постоянной температурой и a = const поле температур определяется функцией

Здесь A_n – постоянный коэффициент, свой для каждого члена ряда (не зависит от координат и времени), он найден из начальных условий;

– функция только координаты х, его можно обозначить через V_n;

Экспонента будет убывать пропорционально времени t. Комплекс - постоянное вещественное положительное число.

Причем, для тел других геометрических форм температурное поле описывается уравнением такого же вида. Специфика геометрической формы учитывается различным видом множителей A_n и V_n.

При малых значениях t от t = 0 до t = t₁ распределение температуры внутри тела и скорость изменения во времени температуры в отдельных точках тела зависят от особенностей начального распределения температур. В этих условиях поле температур в теле будет определяться не только первым, но и последующими членами ряда.

Этот первый период охлаждения называется неупорядоченной стадией процесса охлаждения (нагревания).

Рис. 18 Охлаждение тела во времени

Начиная с некоторого момента времени t > t₁ начальные условия начинают играть второстепенную роль и процесс полностью определяется только условиями охлаждения на границе тела и среды, физическими свойствами тела и его геометрической формой и размерами.

Температурное поле описывается первым членом ряда:

При этом избыточная температура не зависит от начального распределения температуры.

При длительном охлаждении (t ® ¥) все точки тела принимают одинаковую температуру, равную Т_ж, то есть наступает стационарное состояние.

Таким образом, весь процесс охлаждения можно разделить на 3 стадии:

1) первая стадия неупорядоченного режима характеризуется большим влиянием начального распределения температуры;

2) вторая стадия охлаждения называется регулярным режимом;

3) третья стадия охлаждения соответствует стационарному режиму, когда температура во всех точках тела равна температуре окружающей среды.

Эти особенности следует учитывать при постановке и решении задач теплопроводности.