Линейная плотность теплового потока:
.
Термическое сопротивление цилиндрической стенки:
При
линейна плотность теплового потока
выразится, как:
,
где
.
Температурное поле находим из уравнения закона Фурье.
(разделяем переменные и интегрируем от
r = r1
до r и от Т = Тс1
до Т).
.
Цилиндрическая стенка (qv = 0). Граничные условия третьего рода (теплопередача).
Рассмотрим однородную цилиндрическую стенку (трубку) с постоянным коэффициентом теплопроводности l (рис. 6).
Необходимо найти: ql и Тс1
Предполагаем, что длина трубы велика по сравнению с толщиной стенки. Тогда потерями теплоты с торцов трубы можно пренебречь. При установившемся тепловом режиме количество теплоты, которое будет передаваться от горячей среды к поверхности стенки, проходить через стенку и отдаваться от стенки к холодной жидкости, будет одно и то же.
Рис. 6 Теплопередача через однородную цилиндрическую стенку
Тепловой поток при теплопередаче через цилиндрическую стенку можно выразить:
Выразим температурные напоры:
Складывая уравнения, получаем температурный напор:
.
Откуда линейная плотность теплового потока находится:
.
Линейный коэффициент теплопередачи:
,
Вт/(м∙К)
Линейная плотность теплового потока:
.
Линейное термическое сопротивление:
.
Отметим, что линейное термическое сопротивление зависит не только от коэффициентов теплоотдачи a1, a2, но и от соответствующих диаметров.
Критический диаметр цилиндрической стенки
Рассмотрим влияние изменения наружного диаметра на термическое сопротивление однородной цилиндрической стенки
.
При постоянных значениях a1, d1, a2 , l полное термическое сопротивление теплопередачи цилиндрической стенки будет зависеть от внешнего диаметра d2.
Причем термическое сопротивление
теплопроводности
с увеличением d2
будет возрастать, а термическое
сопротивление теплоотдачи
будет
уменьшаться (рис. 7).
Для того чтобы выяснить, как будет изменяться Rl при изменении толщины цилиндрической стенки, исследуем Rl как функцию d2.
Возьмем производную от Rl по d2 и приравняем нулю:
.
Откуда:
.
При данном значении диаметра термическое сопротивление теплопередачи будет минимальным.
Рис. 7 Зависимость термического сопротивления цилиндрической стенки от d2
Значение внешнего диаметра трубы, соответствующего минимальному полному термическому сопротивлению теплопередачи, называется критическим диаметром
.
Эти соображения необходимо учитывать при выборе тепловой изоляции цилиндрических аппаратов и трубопроводов. При d2 < dкр с увеличением d2 полное термическое сопротивление теплопередачи снижается, так как увеличение d2 наружной поверхности оказывает на термическое сопротивление большее влияние, чем увеличение толщины стенки. То есть в этом случае дополнительная теплоизоляция может увеличить потери тепла.
Передача теплоты через шаровую стенку
Пусть имеется полный шар с радиусами r1 и r2, постоянным коэффициентом теплопроводности l и заданными равномерно распределенными температурами поверхностей Tс1 и Tс2 (рис. 8).
Уравнение Лапласа в сферической системе координат имеет вид:
.
Рис. 8 Теплопроводность однородной шаровой стенки
В данном случае Т не зависит от q и y:
.
(1)
Пусть заданы граничные условия 1-го рода:
при r = r1 T = T1;
при r = r 2 T = T2.
Необходимо найти: распределение температуры по толщине сферической стенки.
Представим уравнение (1) в форме
.
(2)
После 1-го интегрирования (2) получим
или
.
После 2-го интегрирования:
.
Используя граничные условия, найдем с1 и с2:
;
при r = r1;
;
при r = r2.
Решая эти уравнения относительно с1 и c2, получим:
;
.
Температурное поле:
.
Температура Т(r) изменяется по толщине стенки по гиперболе.