
- •Введение
- •Теория теплопроводности
- •Механизмы переноса тепла
- •Методы изучения физических явлений
- •Температурное поле
- •Тепловой поток. Закон Фурье
- •Коэффициент теплопроводности
- •Дифференциальное уравнение теплопроводности
- •Уравнение теплопроводности
- •Лекция № 2 Условия однозначности для процессов теплопроводности
- •Граничные условия:
- •Теплопроводность в стационарном режиме
- •Многослойная стенка
- •Переменный коэффициент теплопроводности
- •Линейная плотность теплового потока:
- •Критический диаметр цилиндрической стенки
- •Передача теплоты через шаровую стенку
- •Плотность теплового потока
- •Теплопроводность при наличии внутренних источников теплоты
- •Теплопроводность однородной пластины
- •Теплопроводность однородного цилиндрического стержня
- •Нестационарные процессы теплопроводности
- •Аналитическое описание процесса
- •Анализ полученного решения
- •Охлаждение длинного прямоугольного стержня
- •Охлаждение цилиндра конечной длины
- •Приближенные методы решения задач теплопроводности
- •Метод конечных разностей
- •Численные методы решения задач теплопроводности при нестационарном режиме
- •Метод конечных элементов
- •Исследование процессов теплопроводности методом аналогий
- •Электротепловая аналогия
- •Конвективный теплообмен Основные понятия и определения
- •Дифференциальные уравнения конвективного теплообмена
- •Уравнение энергии
- •Уравнения движения
- •Уравнение сплошности
- •Гидродинамический и тепловой пограничные слои
- •Уравнение теплоотдачи.
- •Тепловой пограничный слой
- •Подобие и моделирование процессов конвективного теплообмена
- •Приведение математической формулировки краевой задачи к записи в безразмерной форме
- •Аналогично преобразуем и уравнение движения
- •Граничные условия
- •Условия подобия физических процессов
- •Следствия из условий подобия
- •Обработка результатов опыта
- •Теплоотдача при вынужденном продольном омывании плоской поверхности
- •Интегральные уравнения пограничного слоя
- •Теплоотдача при ламинарном пограничном слое
- •Нагрев диэлектриков в электромагнитном поле. Электромагнитное поле в диэлектрике.
- •Плоская электромагнитная волна в диэлектрике
- •Используя соотношения
- •Решение уравнения (1) имеет вид
- •Виды поляризации
- •Зависимости ε и tg δ от частоты и температуры
- •Температурные характеристики релаксационной поляризации
- •Структура электродугового разряда
- •Характеристика приэлектродных областей и протекающих в них процессов
- •Выделяющаяся на аноде мощность
- •Мощность, выделяющаяся на катоде
- •Электроды дуговых установок
- •Термохимический катод
- •Основные закономерности электродугового столба
- •Особенности дуги переменного тока
- •Устойчивость и регулирование параметров электрической дуги
- •Способы зажигания дуги
- •Процессы переноса в дуговых и плазменных электротехнологических установках
- •Физико-технические основы электронно-лучевого нагрева
- •Основы расчета устройств формирования электронных пучков элу
- •Потери энергии электронного пучка и энергетический баланс элу
- •Основы лазерного нагрева. Основные принципы работы лазеров
- •Типы оптических квантовых генераторов
- •Лазеры твердотельные с оптической накачкой
- •Основы технологии светолучевой обработки
- •Литература
Плотность теплового потока
.
Количество теплоты, передаваемое через сферическую поверхность в единицу времени
.
Лекция № 3
Теплопроводность при наличии внутренних источников теплоты
В рассматриваемых ранее задачах внутренние источники теплоты отсутствовали. Однако в ряде случаев внутри объектов исследования могут протекать процессы, в результате которых будет выделяться или поглощаться теплота. Примерами таких процессов могут служить: выделение джоулевой теплоты при прохождении электрического тока P = I2R; диэлектрические потери в диэлектриках Pg = cwu2 tgd, находящихся в электрическом поле; выделение или поглощение теплоты при протекании химических реакций.
При исследовании переноса теплоты в таких случаях важно знать интенсивность объемного выделения (поглощения) теплоты, которая количественно характеризуется мощностью внутренних источников теплоты qv, Вт/м3. Если величина qv > 0, то говорят, что в теле имеются положительные источники теплоты. При qv < 0 имеются отрицательные источники (стоки) теплоты.
Теплопроводность однородной пластины
Рассмотрим длинную пластину толщиной 2d. Источники тепла равномерно распределены по объему и равны qv = const. Условия охлаждения с обеих сторон пластины одинаковые (Tж = const, a = const). При указанных условиях температура пластины будет изменяться только вдоль оси х (рис. 9).
Рис. 9 Теплопроводность пластины при наличии внутренних источников тепла
Необходимо найти: распределение температур в пластине и количество теплоты, отданное в окружающую среду.
Дифференциальное уравнение принимает вид:
.
(1)
Граничные условия:
при х = ± d
;
(2)
при х = 0
.
(3)
В силу симметрии поля температур относительно плоскости х = 0 рассматриваем только половину пластины.
После интегрирования (1) получим:
;
(4)
.
(5)
Температурная зависимость по толщине пластины имеет вид параболы.
Постоянные с1 и с2 определяются из граничных условий.
При х = 0 из выражения (2) находим c1 = 0.
При х = d из
выражения (4) находим
и
подставляем в (2):
,
откуда:
.
Тогда из (5) можно найти с2:
Þ
.
Уравнение температурного поля примет вид:
.
(6)
В данной задаче (в отличие от аналогичной без тепловыделения) тепловой поток изменяется вдоль оси х (см. уравнение (4)):
.
При х = 0 и q = 0. При х=d :
.
Общее количество теплоты, отдаваемое всей поверхностью в единицу времени (вся поверхность F равна двум боковым поверхностям F1):
.
Из уравнения (5) следует, что температура в плоской стенке в случае симметричной задачи распределяется по параболическому закону.
Теплопроводность однородного цилиндрического стержня
Рассмотрим
круглый цилиндр, радиус которого мал
по сравнению с длиной цилиндра. При этих
условиях температура будет изменяться
только вдоль радиуса r
(рис. 10). Внутренние источники теплоты
равномерно распределены по объему
стержня.
Рис. 10 Теплопроводность однородного цилиндрического стержня при наличии внутренних источников тепла
Как и для пластины, задача будет одномерной и симметричной.
Уравнение имеет вид:
.
(1)
Граничные условия:
при r = 0
;
при r = r0
.
Необходимо найти: уравнение температурного поля и тепловой поток.
Проведем замену переменных
,
тогда уравнение (1) примет
вид:
(2)
Умножим выражение (2) на rdr и получим:
.
(3)
Первые два слагаемых выражения (3) являются:
.
Тогда выражение (3) можно представить в виде:
.
После интегрирования получим:
.
(4)
Разделим выражение на r, получим:
.
Вернувшись к замене, получим:
.
(5)
После второго интегрирования получим:
.
(6)
Определим с1 и с2 из граничных условий.
При r = 0 находим из (5), что с1 = 0.
При r = r0
находим из (5), что
и подставляем в граничные условия:
.
Откуда:
.
Из (6) находим с2:
;
.
Уравнение температурного поля:
.
Распределение температуры в круглом стержне подчиняется параболическому закону.
Плотность теплового потока на поверхности цилиндра:
.
Полный тепловой поток:
.
Лекция № 4