Лекция № 2 Условия однозначности для процессов теплопроводности

Так как дифференциальное уравнение теплопроводности выведено на основе общих законов физики, то оно описывает явление теплопроводности в самом общем виде. То есть это уравнение описывает целый класс явлений теплопроводности. Чтобы из бесчисленного количества выделить конкретно рассматриваемый процесс и дать его полное математическое описание, к дифференциальному уравнению необходимо присоединить математическое описание всех частных особенностей рассматриваемого процесса – условия однозначности или краевые условия.

Комплекс краевых, физических и геометрических условий к уравнению теплопроводности.

Для полного математического описания процесса кроме уравнения теплопроводности необходимы условия однозначности:

• геометрические условия;

• физические условия (l, с, r, q_v,…);

• временные (начальные) условия Т = f(x, y, z) при t = 0;

• граничные условия – характеризуют условия взаимодействия с окружающей средой.

Граничные условия:

1-го рода - задается распределение температур на поверхности

T_c = f (x, y, z, t).

2-го рода - задается значения теплового потока на поверхности. Пример - пленка резистора.

q_п = f (x, y, z, t) или q_п = const.

3-го рода – задается температура жидкой среды и закон теплообмена между поверхностью и окружающей средой (закон Ньютона – Рихмана).

q = a(Т_с – Т_ж),

где a - коэффициент теплоотдачи (в общем случае зависит от температуры)

a(Т_с – Т_ж) = -l(¶Т/¶n)_с

или - (¶Т/¶n)_с = a/l(Т_с – Т_ж) – частный случай закона сохранения энергии

4-го рода – условия сопряженности – условия равенства температур и тепловых потоков по обе стороны от границы раздела.

l₁(¶T₁/¶n)_г = l₂(¶T₂/¶n)_г + q_s( x_г, y_г, z_г, t),

t₁ ( x_г, y_г, z_г, t) = t₂ ( x_г, y_г, z_г, t),

где q_s – источник теплоты на поверхности границы

Поставленная таким образом задача решается аналитически, численно или экспериментально.

Теплопроводность в стационарном режиме

При установившемся (стационарном) тепловом режиме температура тела во времени остается постоянной. Если внутренние источники теплоты отсутствует, то:

.

Рассмотрим теплопроводность в телах простейшей формы.

Плоская стенка (q_v = 0). Граничные условия 1-го рода

Так как d_x << d_y(d_z), то теплоотводом по у и z пренебрегаем.

Дифференциальное уравнение:

.

Граничные условия:

при х = 0 Т = Т_с1

при х = d Т = Т_с2

Нужно определить: поле температур и q.

Рис. 3 Однородная плоская стенка

Закон распределения температуры по толщине стенки (рис. 3) находится после двойного интегрирования:

.

Температура в данном случае изменяется по линейному закону.

Постоянные интегрирования с₁ и с₂ определяются из граничных условий:

с₂ = Т_с1, с₁ = Т_с2/d.

.

Плотность теплового потока выразится:

.

Термическое сопротивление стенки:

R_т =l/d.

Многослойная стенка

Складываем левую и правую части уравнений.

Таким образом, для любой многослойной стенки, температурный напор можно определить:

.

Тепловой поток, проходящий через многослойную стенку:

,

где – полное термическое сопротивление многослойной стенки.