Теоретические основы электротехники-3

Глава 24. Электростатическое поле 51

Следовательно, радиусы окружностей равного потенциала изменяются в геометрической прогрессии, знаменатель которой может быть выбран произвольно.

Приращение V функции потока при переходе от -й линии напряженности поля к ( + 1)-й мы условились также принимать одинаковым для всех промежутков между линиями напряженности поля:

V V 1 V 2− ( 1 ) const,

откуда

1 const,

т. е. линии напряженности поля должны отстоять друг от друга на равные углы. На рис. 24.10 вычерчено поле уединенного провода, причем принято B 1,5 è /4.

Поле вне провода такое же, как если бы весь заряд провода был сосредоточен на его оси. Следовательно, полученное решение справедливо для уединенного линейного провода любой формы сечения. Линейными проводами называем такие, поперечные размеры сечений которых весьма малы по сравнению с расстоянием от проводов до точек, в которых рассматривается поле.

Заметим, что если бы ось провода проходила не через начало координат, а че- рез точку z1 x1 + j y1, то поле характеризовалось бы функцией

( V jU 2− j ln(z z1) C.

24.11. Поле двух плоскостей, сходящихся под углом

Рассмотрим теперь функцию ( A ln z + C. Полагая опять : V è # U, будем иметь

( V jU Aln r j A C1 jC2 .

Уравнение линий напряженности поля V A ln r + C1 const, ò. å. r const. Уравнение линий равного потенциала U A + C2, ò. å. const.

Линии напряженности поля представляют собой окружности, линии равного потенциала — радиальные прямые, и поверхности равного потенциала — плоскости, проходящие через ось OZ. Совместим с любыми двумя поверхностями равного потенциала поверхности двух металлических пластин, имеющие электрические заряды, равные по значению, но противоположные по знаку (рис. 24.11). В начале координат пластины отделены друг от друга весьма тонким слоем диэлектрика. Так как основное требование постоянства потенциала на поверхности каждой пластины оказывается удовлетворенным, то, следовательно, поле таких пластин характеризуется рассмотренной функцией. Посто-

янные A è C2 найдем из условий: U C2 U1 ïðè 0, U A + C2 U2 ïðè . Следовательно, A U2 – U1, где — угол между пластинами. Кроме того, ln r 0

è C1 V1 ïðè r 1. Таким образом, функция, характеризующая поле, имеет вид

52 Часть 4. Теория электромагнитного поля

т. е. так же, как и для уединенного провода, она изменяется обратно пропорционально r.

Ðèñ. 24.11

Обратим внимание на то, что функция A ln z + C отличается от функции, рассмотренной в предыдущем параграфе, только множителем j. Это приводит к перемене местами U è V и соответственно к перемене местами линий напряженности поля и линий равного потенциала (см. рис. 24.10 и 24.11).

24.12. Поле двухпроводной линии передачи

Рассмотрим важный для практики случай — поле двухпроводной линии переда- чи (рис. 24.12). Провода, расположенные друг от друга на расстоянии 2b, внача- ле будем считать линейными.

Пользуясь принципом наложения, получаем выражение для комплексного

осей проводов и 1 è 2 — соответствующие углы с осью OX, находим

Положив C2 0, получаем U 0 ïðè r1 r2, т. е. линией нулевого потенциала при C2 0 является ось ординат. Уравнение любой линии равного потенциала

Покажем, что линии равного потенциала суть окружности с центрами на оси OX. Имеем

(1 k2 )x 2 2(1 k2 )bx (1 k2 )y 2 b2 (1 k2 ).

Разделим последнее уравнение на (1 – k2) и добавим с каждой стороны по

Чтобы приращение потенциала при переходе от любой линии равного потенциала к соседней оставалось постоянным, должно быть соблюдено условие

54 Часть 4. Теория электромагнитного поля

т. е. числа k при возрастании порядкового номера линий должны изменяться в геометрической прогрессии:

k 1 B const. k

Положив в выражении для функции потока C1 0, получим V 0 ïðè 2 1, т. е. начальной линией напряженности поля при C1 0 являются участки оси абсцисс, уходящие от проводов в бесконечность. Уравнение любой линии напря-

Чтобы подразделить поле на трубки равного потока, следует считать разность V V + 1 – V одинаковой для двух любых соседних линий. Для этого необходимо при переходе от любой линии напряженности поля к соседней изменять угол ; на постоянную величину ;.

На рис. 24.14 построена картина поля двух линейных проводов, причем принято Â 3 è ; /6.

Глава 24. Электростатическое поле 55

да по поверхности проводов неизвестно, что весьма осложняет задачу. Однако в важном частном случае для проводов круглого сечения задача может быть решена точно, если заметить, что в поле двух линейных проводов все поверхности равного потенциала являются поверхностями круглых цилиндров. Всегда можно так расположить оси линейных проводов, чтобы две поверхности равного потенциала совпали с поверхностями реальных проводов (см. рис. 24.14).

Поле внутри металлических проводов будет отсутствовать. Поле же в диэлектрике при такой замене реальных проводов эквивалентными им линейными останется без изменения, так как при этом удовлетворяется основное граничное условие — постоянство потенциала на поверхности провода. Таким образом, задача расчета поля двух проводов круглого сечения сводится к отысканию положения эквивалентных им линейных проводов или, как говорят, к нахождению э л е к т р и ч е с к и х о с е й проводов.

Обозначим через D расстояние между геометрическими осями проводов и че- рез h D/2 расстояние от геометрической оси до плоскости нулевого потенциала. Пусть x0 è R — координата центра и радиус окружности равного потенциала, совпадающей с окружностью сечения провода. Имеем h | x0 | и согласно выра-

Отсюда нетрудно убедиться, что h2 – R2 b2 и, следовательно,

b h 2 R2 .

Эта формула и дает возможность определить положение электрических осей по заданным расстоянию D 2h между геометрическими осями и радиусу R се- чений проводов.

На рис. 24.14 заштрихованы сечения проводов около контуров сечений. Так как поле подразделено на трубки равного потока (V const), то густота линий напряженности поля всюду пропорциональна значению напряженности поля. Картина поля, изображенная на рисунке, отчетливо показывает, что напряженность поля имеет максимум в точках A1 è A2. Около этих точек диэлектрик находится в наиболее напряженном состоянии, и при повышении напряжения между проводами нарушение электрической прочности диэлектрика начинается именно в этих точках.

24.13. Поле параллельных несоосных цилиндров

Решенная в предыдущем параграфе задача для двух линейных проводов дает возможность найти поле между двумя параллельными несоосными цилиндрами, имеющими круглые сечения различных радиусов R1 è R2 (рис. 24.15). Действительно, всегда можно так расположить оси линейных проводов, чтобы в их поле две поверхности равного потенциала совпали с поверхностями заданных проводящих цилиндров. Пусть D — расстояние между геометрическими осями цилиндров, h1 è h2 — расстояния от геометрических осей до плоскости по-

56 Часть 4. Теория электромагнитного поля

При расположении цилиндров один внутри другого (полого) (рис. 24.16)

Выражения для h1 è h2 можно написать в общем виде, справедливом для обоих расположений цилиндров при любом соотношении радиусов R1 è R2:

24.14. Поле у края плоского конденсатора

Рассмотрим функцию z A(ea( + a( ), ãäå a è A — вещественные и постоянные величины. Положив ( V + jU, будем иметь

x jy A(eaV cos aU jeaV sin aU aV jaU),

èëè

x A(eaV cos aU aV ); y A(eaV sin aU aU).

В частном случае, когда aU ± , выражения для x è y приобретают вид

x A(aV eaV ); y =A .

Эти уравнения определяют две полупрямые, параллельные оси OX. Действительно, координата x при изменении функции потока V имеет один максимум, определяемый из условия

d x Aa(1 eaV ) 0, ò.å. V 0. dV

Это максимальное значение равно xmax –A. Крайним значениям функции потока V –. è V +. соответствует значение x –.. Следовательно, при изменении функции потока от –. до +. координата x принимает все значения между –. и –A. Координата же y остается постоянной. Она имеет значения: для одной полупрямой y1+A и для другой y2 –A. На рис. 24.17 изображены эти полупрямые. Обозначив расстояние

между ними через d, будем иметь ó1 – y2 2A d и, следовательно, A d/2 . Обнаруживается замечательное свойство исследуемой нами функции, а именно: две линии равного потенциала определяемого ею поля являются параллельными полупрямыми. Потенциал одной из них равен U1 /a, потенциал другой имеет значение U2 – /a. Таким образом, постоянная à определяется через раз-

ность потенциалов: U1 – U2 2 /a, откуда

Если заметим, что эти полупрямые являются следами в плоскости z двух ограниченных с одной стороны бесконечных параллельных пластин, то нам станет ясно, что рассмотренная функция определяет поле между пластинами плоского конденсатора, ограниченными с одной стороны. Подставляя в выражение для z найденные значения постоянных A è a, получаем

58 Часть 4. Теория электромагнитного поля

причем ( V + jU. Полагая V const Vn и задаваясь рядом значений U в интервале U2 < U < U1, получим ряд точек, лежащих на одной линии напряженности поля, по которым и можем построить эту линию. Для построения других линий постоянную величину Vn будем изменять при переходе от одной линии к соседней каждый раз на одинаковую величину V.

Полагая U const Un, причем U2 < Un < U1, и задаваясь рядом значений V, найдем точки, принадлежащие одной и той же линии равного потенциала. Линии равного потенциала строим так, чтобы для любых двух соседних линий имело место условие

U const. На рис. 24.18 построено поле у края плоского конденсатора. Весьма существенно выяснить, на каком расстоянии от края конденсатора

можно считать поле практически однородным. С этой целью найдем положение той точки на оси OX, в которой напряженность поля отличается на 1 % от напря-

Íà îñè OX потенциал равен нулю, что нетрудно усмотреть из выражения для координаты y. Действительно, если принять в этом выражении U 0, то получим y 0. Поэтому для точек на оси OX имеем z V. Приняв еще во внимание, что

ловые значения в выражение для координаты x, которое при U 0 имеет вид x A(eaV + aV), получаем x 00–4,6 A. Расстояние искомой точки от края конденсатора равно (x – x0) 3,6 A, так как расстояние края пластин от оси OY åñòü x0 –A. Используя значение постоянной A, окончательно находим

Таким образом, уже на расстоянии от края конденсатора, имеющем порядок толщины диэлектрика между пластинами, поле можно считать однородным с весьма высокой степенью точности.

В эталонных воздушных конденсаторах, рассчитанных на высокое напряжение, и в которых расстояние ме-

жду пластинами значительно, для исключения краевого Ðèñ. 24.19 эффекта выделяют в качестве рабочей части только среднюю часть пластины (рис. 24.19). Край пластины образует при этом так называемое охранное кольцо, изолированное от рабочей части пластины, но имеющее потенциал, по возможности близкий к потенциалу рабочей части. Произведенный расчет дает возможность определить требуемую ширину охранного кольца.

24.15. Графический метод построения картины плоскопараллельного поля

Во многих практических случаях форма сечений заряженных проводников и их взаимное расположение настолько сложны, что точный аналитический расчет поля оказывается невозможным. В связи с этим получает большое практическое значение графический метод построения картины поля, который разработан для плоскопараллельных полей и полей, окружающих заряженные тела вращения.

Наиболее просто построение осуществляется для плоскопараллельного поля. Должны быть соблюдены следующие условия:

1)линии напряженности поля и линии равного потенциала должны пересекаться всюду под прямым углом;

2)линии напряженности поля должны быть перпендикулярны к контурам, ограничивающим сечения проводников;

3)ячейки сетки, образованной линиями напряженности поля и линиями равного потенциала, при достаточной густоте сетки должны быть приблизительно подобны друг другу.

Третье условие соответствует требованию, чтобы приращение потенциала U при переходе от любой линии равного потенциала к соседней было постоянным и чтобы поле было подразделено на трубки равного потока, т. е. чтобы V const. При наличии такого требования третье условие вытекает из уравнений

Если обозначить средние размеры ячейки сетки: n — по направлению линии напряженности поля и a — по направлению линии равного потенциала (рис. 24.20), то эти уравнения приближенно могут быть записаны в форме

E U V .n a

При условиях U const è V const имеем

60 Часть 4. Теория электромагнитного поля

an k1 const,

откуда и следует, что при достаточно густой сетке ее ячейки должны представлять собой приблизительно подобные прямоугольники, если форма ячейки не слишком искажена кривизной линий. Но даже и при значительном искажении ячеек, когда трудно говорить об их подобии, последнее соотношение весьма помогает правильно построить картину поля. Обыч- но картину поля рисуют на глаз, стремясь удовлетворить первому и второму условиям, а затем уже постепенно вносят исправления так, чтобы удовле-

Ðèñ. 24.20

творилось и третье условие. Рекомендуется для об- легчения построения выбирать n a. Íà ðèñ. 24.20

в виде примера построено поле между двумя прямолинейными проводами прямоугольного сечения, имеющими одинаковые заряды разных знаков.

24.16. Графический метод построения картины поля тел вращения

Построение поля, образованного заряженными телами вращения с общей осью вращения, также может быть выполнено графическим путем. Поле строят в одной из меридианных плоскостей. В виде примера на рис. 24.21 построено поле около круглого стержня, проходящего через вырезанное в пластине круглое отверстие.

Первое и второе условия, сформулированные для плоскопараллельного поля в предыдущем параграфе, остаются без изменений, третье же условие, касающееся формы ячеек, несколько усложняется. При вращении картины поля вокруг оси заряженных тел каждая линия напряженности поля опишет поверхность вращения. Можно условиться выбирать эти поверхности так, чтобы по-

òîê 4E, проходящий между двумя соседними поверхностями, всюду был одинаков. Тогда, если a — ñðåä-