Теоретические основы электротехники-3
.pdf
Вопросы, упражнения, задачи к главам 26, 27 и 28 |
191 |
магнитного поля по формулам Wì |
1 |
|
|
BH dV , Wì |
1 |
|
|
JAdV приводит к раз- |
|
|
|||||||
2 |
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
V |
|
|
|
V |
|
личным результатам. Как это объяснить?
14. (Р) Определите скалярный и векторный магнитные потенциалы и их производные по нормали на контуре сечения тела, находящегося в магнитном поле (при условии плоскопараллельности поля) и выполненного из вещества с идеальными свойствами: à) ., , 0, á) 0, , ..
27.3. Комплексный магнитный потенциал
ВОПРОСЫ
1.Какие из линий семейств Uì const, Vì const (Vì — функция потока) можно изобразить в области à) свободной от тока, á) занятой током?
2.Правильно ли утверждение, что линии Uì const подходят под прямым углом к поверхности проводов с токами?
3.Изменится ли положение линий Uì const è
Vì const, изображенных на рис. В27.5, если изменить направление тока на противоположное à) в одном из проводов, á) в обоих проводах?
4. Какова размерность функции потока?
5. Является ли контур сечения провода с током линией, на которой функция потока принимает постоянное значение?
6. Имеет ли векторный магнитный потенциал постоянное значение на контуре сечения провода с
током? |
Ðèñ. Â27.5 |
|
7.На каких из линий, изображенных на рис. В27.5, векторный магнитный потенциал принимает постоянные значения?
8.Являются ли линии постоянных значений векторного магнитного потенциала теми линиями, на которых магнитная индукция сохраняет постоянные значе- ния?
9.Можно ли построить картину магнитного поля внутри провода с током, изобразив семейства взаимно ортогональных линий Uì const è Vì const?
10.Изменится ли выражение комплексного потенциала линейного провода с током, расположенного в точке с координатой z x + jy при переносе начала координат из точки z 0 в точку z a + jb?
11.Выполняется ли принцип соответствия магнитного и электрического полей внутри линейных проводов?
12.Можно ли ввести комплексный магнитный потенциал в области с электриче- ским током?
192 Вопросы, упражнения, задачи к главам 26, 27 и 28
13.Какое поле описывает функция ( Dz + C комплексной переменной z, åñëè D — мнимая постоянная?
14.Картина магнитного поля тока i, помещенного во
внешнее однородное поле, показана на рис. В27.6. Приведет ли к изменению картины поля изменение направления тока провода на противоположное? Изменится ли при этом комплексный потенциал?
15.Каково значение напряженности магнитного поля в точке b на рис. В27.6? Сохраняет ли напряженность поля в точках линии bfdb одно и то же зна- чение?
16.Справедливо ли утверждение о постоянстве на-
пряженности магнитного поля на линиях V const
поля уединенного провода à) круглого |
сечения, |
á) произвольной формы сечения? |
Ðèñ. Â27.6 |
17.Изменится ли функция потока в точках поверхности уединенного провода с током, если немагнитное вещество провода заменить на магнитное?
18.Соответствуют ли друг другу электрические и магнитные поля проводов круглого сечения, которые не являются линейными?
19.(О) Почему близость нескольких проводов с постоянным током не вызывает перераспределения в них токов: ведь на движущиеся заряженные частицы со стороны магнитного поля действует сила, в результате чего частицы должны смещаться и равномерный закон распределения плотности тока нарушаться?
20.Существуют ли аналогичные «электрическим» центрам «магнитные» центры проводов?
21.(О). В части пространства, свободной от тока, линии напряженности магнитного поля параллельны оси y. Могут ли они сгущаться в направлении оси x?
УПРАЖНЕНИЯ
1. (Р) Рассчитайте магнитный поток сквозь расположенную в воздухе в плоскопараллельном поле прямоугольную площадку, на двух параллельных сторонах которой длиной l 2 м функция потока принимает значения Vì1 20 À, Vì2 25 A.
2.(Р) Выразите условия непрерывности касательных и нормальных составляющих векторов напряженности магнитного поля и магнитной индукции через à) векторный магнитный потенциал и его производные, á) скалярный магнитный потенциал и его производные в прямоугольной системе координат.
3.(Р) Каким должно быть соотношение между радиусами линий A const картины магнитного поля провода круглого сечения, при котором поток любой трубки магнитной индукции принимает одно и то же значение. Найдите соотношение между радиусами линий как внутри, так и вне провода.
4.(Р) Запишите комплексный потенциал двух бесконечно длинных линейных проводов с токами противоположных направлений с координатами z1 b + j0,
Вопросы, упражнения, задачи к главам 26, 27 и 28 |
193 |
z2 –b + j0. Рассчитайте напряженность магнитного поля в точках осей Ox, Oy. Ток провода i 100 À, b 15 ñì.
5.(Р) Выразите производную комплексного потенциала через составляющие Hx, Hy напряженности магнитного поля. Какие операции следует выполнить над комплексным потенциалом для получения выражения Hx + jHy?
6.(Р) Комплексный потенциал магнитного поля равен ((z) i ln z + C. Ðàñ-
считайте магнитный поток сквозь площадку длиной l, две стороны которой перпендикулярны плоскости комплексного переменного z. Их координаты равны
à) z1 1 + j 0, z2 0 + j 1, á) z1 1 + j 0, z2 2 + j 0, â) z1 2 + j 0, z2 2 + 2 j. Òîê i 200 A, магнитная проницаемость равна 0 всюду.
7. (Р) По прямолинейному алюминиевому проводу радиусом ra 2 см со стальной сердцевиной радиусом rc 1 см течет ток i 20 A. Определите ток каждой из частей провода и, пользуясь методом наложения, рассчитайте комплексный магнитный потенциал провода и функцию потока внутри него. Удельная электриче- ская проводимость алюминия — 3,5 107 См/м, стали — 107 См/м, магнитная проницаемость равна 0 всюду.
8.(Р) Рассчитайте магнитный поток внутри прямолинейного провода круглого сечения на единицу длины и сопоставьте его с внутренним потокосцеплением провода.
9.(Р) Рассматривая провода двухпроводной воздушной линии передачи как линейные круглого сечения, рассчитайте внешний магнитный поток, образованный линиями магнитной индукции, пересекающими кратчайший отрезок, со-
единяющий контуры сечений проводов. Ток проводов i 20 А (координаты их центров равны z2 9 + j 0 ñì, z1 –9 + j 0 см), радиусы сечений R 1 ñì.
27.4. Метод зеркальных изображений
ВОПРОСЫ
1.Почему метод зеркальных изображений упрощает раcчет магнитного поля?
2.Прямолинейный провод с постоянным током расположен в воздухе параллельно плоской поверхности тела, ограничивающей среду, магнитная проницаемость которого принята равной нулю. Можно ли для расчета поля применить метод зеркальных изображений?
3.Почему метод зеркальных изображений можно применить для расчета магнитного поля провода с током, расположенным внутри двугранного угла , образованного поверхностями ферромагнитного тела, только тогда,
когда значение / — целое?
4.Почему число изображенных токов, показанных на рис. В27.7, должно быть равным трем, а не двум?
5.(О) Над плоской поверхностью ферромагнитного тела, маг-
нитная проницаемость которого принята бесконечно большой, |
Ðèñ. Â27.7 |
|
194 Вопросы, упражнения, задачи к главам 26, 27 и 28
расположен изогнутый под углом 90Π провод с током, стороны которого параллельны поверхности. Какова конфигурация и направление зеркально изображенного тока? Можно ли применить метод зеркальных изображений, если одна из прямолинейных частей провода параллельна поверхности, а другая перпендикулярна ей?
6. (О) Линейный круговой контур с током охватывает длинный соосный с ним цилиндр круглого сечения, магнитная проницаемость вещества которого бесконечно велика. Какой вид имеет изображенный ток? В какой части пространства — внутри либо вне цилиндра — он должен быть расположен?
УПРАЖНЕНИЯ
1.(Р) Прямолинейный бесконечно длинный тонкий провод с током i 200 А подвешен на высоте 4,5 м над плоской поверхностью идеально намагниченного тела. Рассчитайте напряженность Í магнитного поля на поверхности тела и постройте кривую изменения Í вдоль поверхности. Определите силу взаимодействия провода с телом на единицу его длины.
2.(Р) Решите предыдущую задачу при условии, что провод подвешен над плоской поверхностью идеального диамагнитного тела, у которого 0, , ..
3.(Р) Прямолинейный бесконечно длинный тонкий провод с током i 100 А протянут внутри прямого двугранного угла параллельно его сторонам, образо-
ванным веществом, магнитная проницаемость которого .. Рассчитайте силу притяжения провода к сторонам угла, если расстояния от провода до них равны d1 3 ì è d2 4 м. Как изменится сила взаимодействия, если вещество является идеальным диамагнетиком?
4.(Р) Прямолинейный бесконечно длинный тонкий провод с током расположен между двумя параллельными плоскими поверхностями ферромагнитных тел параллельно им на одинаковом от них расстоянии, равном d/2. Сколько изображенных токов следует принять во внимание при определении поля между плоскостями методом зеркальных изображений? Оцените погрешность расчета напряженности поля на поверхности тел при учете k изображенных токов.
5.(Р) Прямолинейный бесконечно длинный провод с током i 50 А расположен в воздухе параллельно бесконечной плоской поверхности тела с магнитной про-
ницаемостью на расстоянии h 5 см от нее. Рассчитайте и постройте кривую зависимости силы взаимодействия тока провода и ферромагнитного тела при различных Σ от 20 до .. При каких величинах допущение о ее бесконечно большом значении приводит к погрешности в расчете силы, не превышающей 5 %?
28.1. Индуктивности контуров, катушек и токопроводов
ВОПРОСЫ
1. (О) Зависит ли индуктивность контура от характера распределения тока по сечению провода контура?
Вопросы, упражнения, задачи к главам 26, 27 и 28 |
195 |
2.(О) Имеют ли смысл понятия индуктивности контура и взаимной индуктивности контуров при допущении, что контуры являются бесконечно тонкими?
3.Могут ли иметь особенность подинтегральные функции выражений
L |
0 |
JJ' |
dVdV' |
, M |
0 |
|
|
dV1dV2 |
, |
4i2 |
r |
4i i |
|
r |
|||||
|
|
V V |
|
|
1 |
2 V1 V2 |
|
|
|
используемых при расчете индуктивности и взаимной индуктивности?
4.(О) Можно ли рассчитать взаимную индуктивность двух контуров, если распределение тока в одном из них неизвестно?
5.(О) Контур с током i расположен во внешнем магнитном поле. Индуктив-
ность контура можно определить по формуле L |
1 |
J A dV , ãäå J — плотность |
2 |
||
|
i |
V |
|
|
тока. Следует ли под величиной A понимать векторный магнитный потенциал à) внешнего поля, в котором находится контур, á) поля тока контура, â) результирующий потенциал, обусловленный как внешним, так и полем тока контура?
6.Почему индуктивность уединенного контура уменьшается при увеличении частоты протекающего по нему тока?
7.(О) Круговой виток изгибается по диаметру так, что угол между плоскостями полуколец изменяется от 180Π до 0Π, когда полукольца сливаются. Как изменяется при этом индуктивность витка?
8.(О) Многовитковую круговую катушку можно рассматривать как совокупность круговых витков. Равна ли индуктивность катушки сумме индуктивностей ее витков?
9.(О) При каком расположении двух круговых контуров с токами сила взаимодействия между ними обращается в нуль? Равна ли нулю при этом взаимная индуктивность?
УПРАЖНЕНИЯ
1. (Р) Получите выражение для расчета внутренней индуктивности прямолинейного провода круглого сечения на единицу его длины на основе соотношения
Lвнутр 2Wì при допущении, что ток распределен по сечению провода равномер- i2
íî.
2.Сопоставьте внутренние индуктивности провода круглого сечения, найденные при равномерном (k 0) и неравномерном [J(r) J0(1 + kr), k 0] распределении тока по его сечению. Координату r отсчитывайте от оси провода.
3.(Р) Сравните внутреннюю и внешнюю индуктивности проводов двухпроводной воздушной линии передачи, радиусы R которых связаны с расстоянием ме-
жду осями соотношением D 10R. Расчет выполните при условии, что магнитная проницаемость вещества проводов равна à) 0, á) 1000.
196 Вопросы, упражнения, задачи к главам 26, 27 и 28
4. В коаксиальном кабеле толщина оболочки, являющейся обратным проводом, значительно меньше ее среднего радиуса R0, в связи с чем оболочку можно рассматривать как бесконечно тонкую. Найдите отношение индуктивностей Lвнутр/Lâíåø кабеля, если жила выполнена из à) алюминия, á) стали с магнитной проницаемостью 1000. Радиус жилы равен R1.
5. (Р) Токопровод представляет собой две весьма длинные прямолинейные шины прямоугольного сечения с равными токами противоположных направлений, высота h которых значительно больше ширины d каждой из шин и расстояния D между ближними длинными сторонами шин. Пренебрегая искажением поля у краев шин, рассчитайте индуктивность токопровода на единицу его длины при условии, что плотность тока по толщине каждой из шин à) J const,
á) J(x) J0 x, где координата x лежит в пределах 0 Β x Β d и отсчитывается от d
внешних сторон шин. Магнитная проницаемость шин и окружающей их среды равна 0.
6. (Р) Для улучшения условий охлаждения токопровода каждая из его прямоугольных шин толщиной 2d заменена двумя шинами толщиной d. Получите выражение для расчета индуктивности токопровода, по двум соседним шинам которого течет ток одного направления, а по двум другим соседним шинам — противоположного. Сравните индуктивность такого токопровода с индуктивностью токопровода из двух шин толщиной 2d каждая и растоянием d между ними. Расстояние d между соседними шинами значительно меньше их высоты h. Магнитная проницаемость шин и окружающей их среды равна 0. Плотность тока шин постоянна. Токи шин каждого токопровода одинаковы.
7. (Р) Получите выражение для расчета индуктивности токопровода на единицу его длины, содержащего четыре прямоугольные шины толщиной d каждая, обращенные друг к другу длинными сторонами. Расстояние между соседними шинами d. По первой шине, считая слева направо, и по третьей течет ток прямого направления, по второй и четвертой — обратного. Сравните индуктивность такого токопровода с индуктивностью токопровода, рассмотренного в предыдущих двух задачах. Высота h шин одинакова и значительно превышает их толщину и расстояние между ними. Магнитная проницаемость шин и окружающей их среды равна 0. Плотность тока шин постоянна. Токи шин каждого токопровода одинаковы.
8.(Р) Индуктивности контуров равны L1 è L2. Найдите максимально возможное значение их взаимной индуктивности.
9.Два одинаковых соосных медных кольца находятся на расстоянии друг от друга, равном их радиусу R. Радиусы проводов колец à 0,1R. Получите выражение для коэффициента связи.
10.(Р) Круговой контур радиусом R 10 см выполнен из провода радиусом a 0,5 см, магнитная проницаемость материала которого равна 1000. Можно
Вопросы, упражнения, задачи к главам 26, 27 и 28 |
197 |
ли при вычислении индуктивности пренебречь его внутренней индуктивностью, если погрешность расчета не должна превышать 5 %? Изменится ли ответ, если контур выполнен из немагнитного ( 0) вещества? (Ток в контуре постоянный.)
11. (Р) Круговой контур из медного провода радиусом R, значительно превышающим радиус a его сечения, помещен во внешнее однородное магнитное поле с индукцией B 10–3cos 314t Тл, направленное по нормали к плоскости кольца. Рассчитайте мощность потерь в контуре при допущении, что магнитный поток, обусловленный индуцированным в контуре током, значительно меньше внешнего магнитного потока. Магнитная проницаемость равна 0 всюду, R 3 ñì, a 1 мм. Удельная электрическая проводимость меди 5,7 107 Ñì/ì.
12. (Р) Радиус расположенного в воздухе кругового витка равен 4 см. Постройте кривую зависимости отношения его индуктивности к сопротивлению при постоянном токе от радиуса провода, если материал витка à) ìåäü, á) сталь с маг-
нитной проницаемостью 2000. Удельная электрическая проводимость стали 5 106 Ñì/ì.
28.2. Метод участков
ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ
1.Можно ли применить метод участков для расчета индуктивности контуров в à) неоднородной линейной среде, á) кусочно-однородной линейной среде, â) нелинейной среде, магнитная проницаемость которой зависит от тока контуров?
2.Следует ли при применении метода участков представить внутреннюю индуктивность также в виде суммы внутренних индуктивностей участков?
3.(О) Почему понятия индуктивности участка провода и взаимной индуктивности между участками проводов являются условными?
4.Электрический ток не может протекать в отрезке провода, так как последний незамкнут. Однако выражения для индуктивности и взаимной индуктивности отрезков позволяют найти индуктивность замкнутых контуров. Почему это возможно?
5.Почему формулы для расчета потенциальных коэффициентов методом средних потенциалов используют для определения взаимной индуктивности и индуктивности этих отрезков только в случаях прямолинейных отрезков проводов?
6.(Р) Внешняя индуктивность квадратного контура размером aΚa равна Lê. Равна ли 2Lê внешняя индуктивность прямоугольного контура размером aΚ2a?
7.(Р) Каков средний радиус кругового витка, имеющего такую же внешнюю ин-
дуктивность, что и квадратный виток со стороной à? Радиус провода витков r0 ΗΗ a.
198 Вопросы, упражнения, задачи к главам 26, 27 и 28
28.3. Индуктивность двухпроводной линии
ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ
1.(О) Может ли взаимная индуктивность двух двухпроводных линий обращаться в нуль? Можно ли этого достичь путем выбора положительных направлений токов линий?
2.(О) Почему индуктивность проводов, найденная при постоянном токе, отли- чается от индуктивности при переменном токе? От каких факторов зависит различие?
3.Правильно ли будет рассчитана индуктивность двухпроводной линии на еди-
ницу длины с проводами радиусами R по формуле L 4, если определить пото- i
косцепление 4 как разность максимального и минимального значений векторного магнитного потенциала?
4.(Р) Используя выражение для вычисления индуктивности прямоугольной рамки, найдите ее предельное значение, когда длина двух ее противоположных сторон неограниченно возрастает, а расстояние d между ними, равное длине
двух других сторон, как и радиус r0 провода, сохраняют постоянное значение. Сравните найденное выражение с формулой для индуктивности двухпроводной линии, радиус сечения проводов которой r0, а расстояние между проводами d.
5.(Р) Определите индуктивность прямолинейного немагнитного провода круглого сечения радиусом R и длиной l, подвешенного на высоте h (l 00 h) над плоской поверхностью идеально проводящего тела, выполняющего роль провода с током обратного направления.
6.(Р) Воздушная двухпроводная линия расположена параллельно плоской поверхности земли. Радиусы проводов R 1 см, расстояние между ними D 1 ì,
высота подвеса проводов h1 5 ì, h2 6 м, магнитная проницаемость вещества проводов 1000. Земля обладает идеальными проводящими свойствами. Определите погрешность расчета индуктивности при пренебрежении влиянием земли.
7.(Р) Найдите индуктивности воздушных двухпроводных линий, протянутых вблизи поверхностей с идеальными проводящими свойствами. Магнитная про-
ницаемость вещества проводов равна 1000, радиусы их сечений — R (ðèñ. Â28.1).
Вариант |
h1, ì |
h2, ì |
h3, ì |
h4, ì |
d, ì |
D, ì |
r1, ì |
r2, cì |
R, cì |
R0, ì |
à |
4 |
4 |
5 |
6 |
– |
– |
– |
– |
2 |
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
á |
0,2 |
0,3 |
– |
– |
1 |
0,3 |
– |
– |
1 |
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
â |
0,2 |
0,4 |
0,1 |
0,3 |
0,5 |
– |
– |
– |
0,2 |
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ã |
– |
– |
– |
– |
– |
– |
4 |
5 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ä |
– |
– |
– |
– |
– |
– |
0,2 |
0,4 |
1 |
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вопросы, упражнения, задачи к главам 26, 27 и 28 |
199 |
Ðèñ. Â28.1
8. (Р) Используя формулу для расчета индуктивности двухпроводной линии, рассчитайте силу взаимодействия токов проводов и сравните ее с силой, полу- чаемой в предположении, что токи проводов сосредоточены на их осях.
28.4. Индуктивность трехфазной линии
ВОПРОСЫ
1.Сохранится ли неизменной индуктивность трехфазной линии при замене протекающей в ней системы токов прямой последовательности на систему токов à) обратной последовательности? á) нулевой последовательности?
2.Провода линий передачи расположены параллельно поверхности земли. Какое влияние на индуктивность трехфазной линии может оказать земля?
3.Зависит ли индуктивность трехфазной линии от порядка гармоники протекающего по ней тока?
4.Расстояния между проводами трехфазной линии передачи D12 D13 D23. В какой из фаз дополнительное активное сопротивление отличается от нуля?
УПРАЖНЕНИЯ
1. (Р) Получите выражение для расчета эквивалентной индуктивности провода транспонированной трехфазной линии, расположенной над плоской поверхностью земли при условии, что удельная электрическая проводимость земли бесконечно велика. Высота подвеса проводов — h1, h2, h3, расстояние между ними D12, D13, D23, радиусы сечений проводов — R1, R2, R3.
2. (Р) Рассчитайте эквивалентную индуктивность провода трехфазной транспонированной линии длиной 10 км, провода которой расположены в одной плоскости. Радиусы сечений проводов R 5 мм, расстояния между соседними прово-
200 Вопросы, упражнения, задачи к главам 26, 27 и 28
äàìè D 2 м. Сравните полученное значение с индуктивностью каждых двух проводов линии, принимая 0 всюду.
3.(Р) У какой из двух воздушных трехфазных транспонированных линий с проводами одинакового радиуса эквивалентная индуктивность провода больше: провода которой расположены в à) вершинах правильного треугольника с длиной стороны D èëè á) в одной плоскости так, что расстояние между соседними проводами равно D? При какой длине стороны треугольника индуктивности линий равны?
4.(Р) В электрической печи трехфазный ток подводят по трем круглым медным шинам радиусами 1,2 см, оси которых находятся в одной плоскости. Расстояния
между соседними шинами D 0,2 м. Длина шин 8 м, частота тока f 50 Ãö, òîê øèíû I 3000 А. Рассчитайте мощность, переносимую из одной фазы в другую. Определите, какую часть составляет эта мощность от активной мощности, выделяемой в шинах.
5. (Р) Провода трехфазной линии протянуты вблизи поверхностей с идеальными проводящими свойствами и равноудалены друг от друга (рис. В28.2). Рассчи- тайте эквивалентную индуктивность одного провода, учитывая транспозицию проводов (варианты à–ã). Магнитная проницаемость вещества проводов равна 100 0. Оцените погрешность расчета при пренебрежении влиянием неоднородности среды. Численные данные приведены в таблице к упр. 10, § 25.3.
Ðèñ. Â28.2