Теоретические основы электротехники-3

линдра, соосного с обкладками конденсатора, d1 0,2 мм, расстояние от него до внутренней обкладки d2 1 ìì.

16.(Р) Выведите уравнение, которому удовлетворяет потенциал U в неоднородном диэлектрике с проницаемостью f(x, y, z).

17.На замкнутой поверхности S задан потенциал. В области, ограниченной этой поверхностью, имеются свободные заряды. Предложите подход к определению поля в области, основанный на методе наложения.

24.3. Плоскопараллельное электростатическое поле

ВОПРОСЫ

1.Почему при изображении картины плоскопараллельного поля линии постоянных значений потенциала проводят так, чтобы приращение потенциала между соседними линиями сохранялось одним и тем же?

2.Почему линии V const наносят так, чтобы приращение функции потока при переходе от некоторой линии напряженности поля к соседней сохранялось постоянным?

3.Какова связь между функцией потока и зарядом проводника на единицу длины?

4.Можно ли при изучении поля, характеристики которого являются функциями координат õ, ó, z, ввести понятия à) потенциала, á) функции потока?

5.Сохраняет ли функция потока постоянное значение на поверхности проводника?

6.(О) Почему потенциал и функция потока, удовлетворяя одному и тому же уравнению, не совпадают, т. е. являются различными функциями?

7.(О) Почему в задачах электростатики чаще решают уравнение Лапласа относительно потенциала, а не функции потока?

24.4. Метод комплексного потенциала

ВОПРОСЫ

1.Какова размерность комплексного потенциала?

2.(О) Задан комплексный потенциал ((z) поля. Как определить форму проводников, поле которых он описывает?

3.(О) Можно ли, зная комплексный потенциал поля, определить плотность заряда на поверхности заряженного проводника?

4.Комплексные потенциалы двух полей различаются на постоянное число C1 + jC2. Одинаковы ли напряженность Å(õ, ó) и составляющие напряженности Åõ(õ, ó), Åó(õ, ó) этих полей?

5.(О) Можно ли использовать понятие комплексного потенциала для расчета поля в неоднородной среде?

112 Вопросы, упражнения, задачи к главам 23, 24 и 25

6.На каком основании можно заключить, что функция ( Aj ln z + C является при соответствующем выборе постоянных комплексным потенциалом электри- ческого поля заряженного провода круглого сечения?

7.Зависит ли комплексный потенциал заряженного уединенного провода круглого сечения от его радиуса?

8.Можно ли изобразить линии U const è V const внутри заряженного провода?

9.Вне заряженного провода комплексный потенциал равен ( 2− – 2− j ln r +

+ C1 + jC2. Каков комплексный потенциал внутри провода?

10.Изменится ли комплексный потенциал поля заряженного бесконечно длинного прямолинейного провода, если провод поместить в однородное электриче- ское поле, напряженность которого направлена поперек оси провода?

11.Изменяется ли комплексный потенциал в точке, перемещающейся вдоль à) линии напряженности поля, á) линии постоянного потенциала?

12.(О) Почему при конформном отображении области сохраняется неизменной емкость между телами, ведь расстояние между ними изменяется?

13.В каком случае провод радиусом сечения R при конформном отражении области с помощью функции ( z2 сохранит свою форму в плоскости (? Может ли сохраниться форма проводов двухпроводной линии при таком отображении?

14.Расстояние между линейными проводами с координатами x1 + jy1, x2 + jy2

равно r. Каким оно будет при конформном отображении области функцией

à) ( ez, á) ( sh z, â) ( az + b, ã) ( z + 1 ? z

15.(О) Сохраняется ли неизменным при конформном отображении области поток вектора напряженности сквозь замкнутую поверхность, охватывающую заряженный провод?

16.(О) Можно ли определить силу взаимодействия двух заряженных линейных проводов, рассчитывая ее по значениям линейной плотности заряда и напря-

женности поля в области ! при конформном отображении области z с помощью функции :(z)?

УПРАЖЕНИЯ И ЗАДАЧИ

1.(Р) Запишите комплексный потенциал однородного поля.

2.Запишите уравнения линий функции потока V(x, y) и линий электрического

потенциала U(x, y) по выражению комплексного потенциала поля à) ((z) Az + B, á) ((z) Az2, â) ((z) A ln z + B, ã) ((z) Aj ln z + B, ä) ((z) Az0,5. Найдите напряженность E(x, y) поля и ее составляющие Åõ(õ, ó), Åó(õ, ó).

3. Объясните смысл разности V V(x1, y1) – V(x2, y2).

4.(О) Объясните причину трудностей расчета поля методом комплексного потенциала в кусочно-однородной среде.

5.Запишите комплексный потенциал поля заряженного провода круглого сече- ния в прямоугольной системе координат.

6.(Р) Запишите комплексный потенциал поля заряженного провода круглого сечения, помещенного в однородное поле, напряженность которого перпендикулярна оси провода.

7.(Р) Запишите комплексный потенциал поля двух тонких проводов круглого сечения, расстояние d между осями которых равно 1 м. Заряды на единицу дли-

ны проводов à) −1 −2, á) −1 –−2.

8.(Р) Запишите комплексный потенциал и напряженность поля N проводов, заряженных с линейной плотностью заряда − каждый, распределенных равномерно по окружности радиусом R и образующих «расщепленную» фазу линии передачи.

9.(Ð) 2N линейных проводов с зарядами плотностью +− и –− расположены равномерно по окружности радиусом R так, что соседние провода имеют заряды разных знаков. Найдите комплексный потенциал поля.

10.(Р) Запишите комплексный потенциал и выражение для напряженности поля двух линейных разноименно заряженных проводов, расположенных à) íà îñè ó на расстоянии 2 h друг от друга, á) íà îñè õ на расстоянии 2d друг от друга симметрично относительно начала координат.

11.(Р) Провод радиусом сечения R расположен внутри двугранного угла , образо-

ванного проводящими плоскими поверхностями. Рассчитайте радиус R! R d! dz z z0

провода в плоскости ! при конформном отображении области функцией ! z

âпредположении, что провод линейный, принимая координату оси провода

âплоскости z равной z0 r0 e j 0. Оцените величину R отклонения контура

провода от кругового в плоскости !.

12.В условиях предыдущей задачи провод имеет потенциал U0 относительно проводящих поверхностей с потенциалом U 0. Рассчи-

тайте координаты нескольких (6 Μ 8) точек линии,

потенциал которой постоянен и равен U 0,5U0, и постройте эту линию.

13.Принимая диэлектрическую проницаемость сре-

114 Вопросы, упражнения, задачи к главам 23, 24 и 25

24.5. Электростатическое поле проводов круглого сечения

ВОПРОСЫ

1.В каких точках двух параллельных проводов круглого сечения плотность заряда, а также напряженность поля принимают наибольшие (наименьшие) значе- ния, если провода имеют заряды à) одного знака, á) разных знаков?

2.Совпадают ли геометрические и электрические оси à) уединенного заряженного провода круглого сечения, á) двух круглых проводов с зарядами разных знаков, â) двух круглых проводов с зарядами одного знака?

3.Может ли электрическая ось провода располагаться вне его сечения?

4.Изменяется ли расстояние между геометрической и электрической осями провода при изменении высоты его подвеса над плоской поверхностью земли?

5.У какого из двух разноименно заряженных проводов различных радиусов плотность заряда имеет наибольшее по модулю значение? На поверхности какого из проводов напряженность поля достигает наибольшего значения?

6.Можно ли, определив положение электрических осей проводов, рассчитать

7.Каково положение плоскости нулевого потенциала двух проводов радиусом R каждый и потенциалами –U0 è U0 ?

8.В некоторой области густота линий V const больше, чем в других областях такой же площади. Какое заключение можно сделать о густоте линий равного потенциала в этих областях?

УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ

1. Рассчитайте напряженность поля и плотность электрического заряда на поверхности проводов круглого сечения при заданном à) напряжении U 1000 B между проводами, á) линейной плотности − 1,5 10–9 Кл/м их зарядов. Расстояние D между геометрическими осями проводов и их радиусы приведены в таблице:

2. (Р) Рассчитайте наибольшие значения напряженности электрического поля на контурах сечений цилиндров при их расположении согласно рис. В24.3 (R1 1 ñì,

R2 2 ñì, A1 A2 d 3 ñì) è ðèñ. Â24.4 (R1 1 ñì, R2 5 ñì, A1 A2 d 1 см). Линейные плотности зарядов −1 –−2 − 10–9 Кл/м, диэлектрическая прони-

цаемость среды 0.

116 Вопросы, упражнения, задачи к главам 23, 24 и 25

2. (О) При сведении среды к однородной и введении на поверхности s простого слоя зарядов плотностью величина скачка составляющей напряженности En поля сохраняется той же, что и в кусочно-однородной среде. Сохраняется ли при этом неизменной величина скачка касательной составляющей D− вектора электрического смещения?

3.(О) Можно ли при сведении среды к однородной на поверхности s тела разместить вместо простого двойной слой зарядов, обеспечивающий требуемый скачок касательной составляющей вектора электрического смещения?

4.(О) Тело из вещества с диэлектрической проницаемостью 0 находится в

воздухе во внешнем поле. Каким интегральным свойством характеризуется плотность вторичных источников?

24.8. Метод зеркальных изображений

ВОПРОСЫ

1.Как определить плотность зарядов, индуцированных на поверхности проводящей среды, пользуясь методом зеркальных изображений?

2.Сохраняется ли неизменным при введении зеркально изображенных в проводящей среде зарядов поле à) в диэлектрике, где расположен заряженный провод, á) на границе проводящей среды со стороны диэлектрика, â) на границе проводящей среды со стороны проводящей среды, ã) внутри проводящей среды?

3.Можно ли воспользоваться методом зеркальных изображений для расчета поля заряженного тела конечных размеров, например проводящего шара, расположенного над плоской поверхностью проводящей среды?

4.Следует ли при применении метода зеркальных изображений сделать оговорку о том, что заряженные провода должны быть линейными?

5.(О) Почему только при целом n, îïðå-

деляющем угол /n (рис. В24.5), возможно применение метода зеркальных изображений? Какой путь расчета поля возможен при /n?

6. Сколько зеркально изображенных проводов должно быть учтено при расчете поля заряженного провода, расположенного внутри прямого ( /2) угла, образованного проводящими поверхностями? Каково число зер-

кально изображенных проводов при /n,

Ðèñ. Â24.5

åñëè n — целое число? (см. рис. В24.5)

7. (О) Заряженный прямолинейный провод расположен в диэлектрике парал-

лельно плоскости, на которой задано условие U 0. Можно ли применить ме-n

тод зеркальных изображений для расчета поля в диэлектрике?

8. (О) На одной стороне (x 0) прямого двугранного угла задано условие U 0,

àна другой (y 0) — U 0. Можно ли применить метод зеркальных изображе-

n

ний для расчета поля в диэлектрике?

УПРАЖНЕНИЯ

1. (Р) Провод радиусом R 0,5 см протянут над плоской поверхностью земли на высоте h 13 м. Определите плотность заряда на поверхности земли при напряжении между проводом и землей U 110 кВ. Найдите отношение h/R, при котором погрешность расчета поля на поверхности земли не превышает 1,0 % при допущении, что радиус провода R 1 0.

2. (Р) Рассчитайте, пользуясь методом зеркальных изображений, силу, действующую на подвешенный в воздухе на высоте h 0,5 м над плоской поверхностью земли провод, линейная плотность заряда которого равна 10–9 Кл/м. Диэлектрическую проницаемость земли примите равной ç i, ,ç 0.

3.В пространстве ( 0) между двумя проводящими параллельными плоскими поверхностями, потенциалы которых равны нулю, расположен точечный заряд q. Пользуясь методом зеркальных изображений, укажите знаки и расположение изображенных электрических зарядов. Рассчитайте потенциал и напряженность поля при расстоянии между поверхностями, равном d, и между зарядом и одной из поверхностей, равном h.

4.Укажите знаки и расположение зеркально изображенных зарядов в услови-

ях предыдущей задачи, принимая для одной из поверхностей U 0, à äëÿ äðó-

ãîé — U 0.n

24.9. Метод разделения переменных

ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ

1. (О) Задача расчета поля в прямоугольной области решена методом разделения переменных при условиях U 0 на сторонах õ 0 è õ à, U 0 ïðè ó 0 è U U0 ïðè y b (см. рис. 24.35). Изменятся ли собственные числа и собственные функции задачи при задании условий U 0 на сторонах ó 0, y b, U 0 ïðè õ 0, U U0 ïðè õ à?

2. (Р) На сторонах прямоугольной области задано условие вида U n f, ãäå

функция f различна на каждой из сторон. Единственное ли решение имеет задача расчета потенциала внутри области в такой постановке? Запишите интегральное условие, которому должна удовлетворять функция f.

3.(Р) На каждой из сторон прямоугольной области задано некоторое распределение потенциала. Предложите способ расчета поля внутри области на основе методов наложения и разделения переменных.

4.(Р) Прямолинейный весьма длинный провод с линейной плотностью заряда − расположен внутри прямоугольного проводящего канала, потенциал стенок ко-

2.(О) Имеет ли смысл емкость уединенного прямолинейного бесконечно длинного провода радиусом R?

3.(О) Имеет ли смысл емкость между двумя бесконечно тонкими прямолинейными бесконечно длинными проводами?

4.(О) Можно ли ввести понятие емкости уединенного тела с диэлектрической проницаемостью , расположенного в воздухе либо в другом диэлектрике с диэлектрической проницаемостью 1 ?

5.(О) Объясните, почему емкость круглого цилиндра

длиной l относительно плоскости (рис. В25.1) в два раза превышает емкость между двумя цилиндрами того же радиуса, расстояние между осями которых равно 2h. Какую цепную аналогию можно использовать для объяснения?

6. Постройте кривую зависимости емкости между несоосными охватывающими друг друга круглыми цилиндрами

длиной l, от расстояния D между их осями. Определите ве- Ðèñ. Â25.1 личину D, при которой емкость между цилиндрами при-

нимает наименьшее значение.

7.(О) Радиусы R1, R2 сечений проводов двухпроводной линии значительно меньше расстояния D между их осями. Получите выражение для расчета емкости между проводами на основе метода наложения при расчете разности потенциалов проводов.

8.Получите выражение для емкости круглого цилиндрического провода дли-

íîé l и радиусом R, протянутого параллельно плоской поверхности земли на расстоянии h 00 R, используя методы зеркальных изображений и наложения.

9.(О) Можно ли определить емкость на единицу длины бесконечно длинного прямолинейного провода, подвешенного над плоской поверхностью тела, диэлектрическая проницаемость которого принята равной нулю?

25.2. Потенциальные коэффициенты, коэффициенты электростатической индукции и частичные емкости в системе тел

ВОПРОСЫ

1. Возрастает ли потенциал заряженного проводящего тела с зарядом q > 0 при внесении в его поле другого проводящего тела с зарядом à) q1 > 0, á) q1 < 0, â) q1 0?

2.(О) Зависит ли собственный потенциальный коэффициент kk îò à) заряда k-ãî òåëà, á) заряда n-ãî òåëà, â) взаимного расположения k-ãî è n-ãî òåëà, ã) взаимного расположения m-ãî è k-ãî òåëà, ä) диэлектрической проницаемости среды, å) размера k-ãî òåëà, æ) размера n-ãî òåëà?

3.(О) Для определения потенциального коэффициента 11 в системе двух тел следует, приняв q2 0, q1 0, найти потенциал U1 первого тела. Следует ли при

120 Вопросы, упражнения, задачи к главам 23, 24 и 25

этом удалить второе тело либо можно оставить его незаряженным в поле заряда первого тела?

4.(О) Имеется несколько проводящих тел. Изменится ли потенциальный коэф-

фициент kk k-го тела при дополнении системы еще одним проводящим телом? Изменятся ли при этом взаимные потенциальные коэффициенты km è mk?

5.(О) Два проводящих тела медленно приближаются друг к другу. Как изменяются потенциальные коэффициенты 11, 12, 22?

6.Равен ли собственный коэффициент электростатической индукции kk емкости Ck k-ãî òåëà?

7.(О) Каков знак собственного потенциального коэффициента kk? Взаимного потенциального коэффициента kn?

8.Справедливо ли неравенство kk > 2 ki , i k, т. е. имеет ли место диагональ-

i

ное преобладание матрицы коэффициентов электростатической индукции?

9.При какой форме и каком расположении трех тел их взаимные потенциальные коэффициенты равны между собой?

10.Имеет ли смысл собственный потенциальный коэффициент уединенного весьма длинного провода?

11.Весьма длинный провод расположен между двумя параллельными плоскостями, потенциалы которых равны нулю. Имеет ли смысл собственный потенциальный коэффициент провода?

12.Можно ли для нахождения емкости между двумя телами, не являющимися длинными параллельными проводами, применить формулы, выражающие емкость двух проводов через потенциальные коэффициенты?

УПРАЖНЕНИЯ

1.Экспериментальная установка позволяет измерить все заряды и потенциалы системы проводящих тел. Определите необходимое число измерений для нахождения потенциальных коэффициентов системы à) òðåõ òåë, á) n òåë.

2.(Р) Выразите коэффициенты электростатической индукции через потенциальные коэффициенты в системе à) äâóõ òåë, á) òðåõ òåë.

3.(Р) Выразите емкость между двумя телами через их à) потенциальные коэффициенты, á) коэффициенты электростатической индукции, â) частичные емкости.

4.(Р) Выразите частичные емкости в системе двух тел через потенциальные коэффициенты.

5.(Р) Получите выражения для расчета потенциальных коэффициентов двух весьма длинных линейных проводов радиусами R, расположенных внутри прямого двугранного угла, на сторонах которого потенциалы равны нулю.

6.Изобразите схему электрической цепи для расчета емкости между двумя проводами многопроводной линии, протянутых над поверхностью земли, при числе