Теоретические основы электротехники-3

Глава 24. Электростатическое поле 71

24.22. Металлический шар во внешнем однородном поле

Задача, рассмотренная в § 24.19, позволяет найти поле, окружающее металличе- ский шар, внесенный во внешнее однородное поле. Внутри шара поле должно отсутствовать, и потенциал в объеме шара должен иметь постоянное значение. Следовательно, заряды, которые наводятся на поверхности шара, должны создавать внутри шара однородное поле, полностью компенсирующее внешнее поле. Как вытекает из рассмотрения, произведенного в § 24.19, такое поле образуется зарядами, поверхностная плотность которых пропорциональна cos . Во внешнем пространстве эти заряды создают поле такое же, как эквивалентный диполь, помещенный в центре шара. Таким образом, интересующая нас задача сводится к рассмотренной в § 24.19 задаче о диэлектрическом шаре, если в ней принять

E E0 – E? 0, ò. å. E? E0 . Согласно формуле E ? 0 E 0 , это равенство 2 0

достигается в пределе при .. Поэтому поля вектора E одинаковы для металлического шара и шара из диэлектрика при .. Вне шара в обоих случаях одинаковы и поля вектора D. Однако внутри шара из диэлектрика вектор D и при. остается конечным и не равным нулю. Именно, учитывая равенства P 30E è E? E0, имеем

D 0 E P P 3 0 E 0 .

Это связано с тем, что трубки электрического смещения непрерывны на границе диэлектрика и, сгущаясь внутри тела с большой диэлектрической проницаемостью, проходят через тело без разрывов. Связанные заряды на границе двух диэлектриков не дают начала новым трубкам смещения.

Внутри же металлического тела исчезает не только поле вектора E, но и поле вектора D. Заряды, наведенные на поверхности тела, являются теперь свободными, образовавшимися вследствие конечной проводимости тела. Трубки электри- ческого смещения, существующие вне тела, заканчиваются на этих зарядах и не проникают внутрь тела. Отсюда видно, что рассмотрение проводника как диэлектрика с ., по существу, является формальным.

Более сложной является задача определения поля вокруг заряженного или незаряженного металлического тела, внесенного во внешнее неоднородное поле. Ее можно решить, используя метод интегральных уравнений, формально рассматривая диэлектрик как проводник.

Ïðè i 0 имеем 1, и уравнение (***) § 24.20 для случая незаряженного тела переходит в интегральное уравнение

которое позволяет рассчитать плотность распределенных на поверхности проводящего тела свободных зарядов.

72 Часть 4. Теория электромагнитного поля

Если помещенное во внешнее поле проводящее тело имеет заряд q, òî, ïðè-

учитывающее заряд тела.

24.23. Метод зеркальных изображений

Расчет поля заряженных проводников, расположенных вблизи плоских поверхностей, ограничивающих проводящую среду, сводится при помощи метода зеркальных изображений к расчету поля нескольких проводников при отсутствии проводящей среды.

Рассмотрим поле прямолинейного провода, расположенного на расстоянии h от плоской поверхности проводящей среды (рис. 24.30). Это соответствует, например, проводу, подвешенному на высоте h над поверхностью земли. Все линии напряженности поля, начинающиеся на положительно заряженном проводе, заканчиваются у поверхности проводящей среды, где появляется индуцированный отрицательный заряд. Поле определяется как зарядом прово-

Ðèñ. 24.30 да, так и всем зарядом, распределенным по поверхности проводящей среды. Распределение индуцированного заряда из условий задачи не известно и также подлежит определению.

На первый взгляд задача расчета поля в такой системе кажется довольно сложной. Однако она решается весьма просто при помощи метода зеркальных изображений. Устраним мысленно проводящую среду и заменим ее проводом, являющимся зеркальным изображением реального провода в поверхности раздела и имеющим заряд той же величины, что и заряд реального провода, но противоположного знака (рис. 24.30). Действительный провод и его зеркальное изображение составляют двухпроводную линию, поле которой изображено на рис. 24.14. Из рис. 24.14 видно, что плоскость, расположенная посередине между действительным проводом и его зеркальным изображением, является поверхностью равного потенциала. В действительных условиях поверхность проводящей среды как раз совпадает с этой плоскостью и также является поверхностью равного потенциала. Отсюда следует, что если заменить проводящую среду зеркальным изображением провода с изменением знака заряда, то в области над проводящей средой поле останется таким же, как и в действительных условиях. В этом и заключается метод зеркальных изображений.

Этот метод применим и при любом числе проводов, протянутых параллельно друг другу и параллельно плоской поверхности, ограничивающей проводящую среду (рис. 24.31). Каждый провод должен быть зеркально отражен в поверхно-

сти проводящей среды с изменением знака заряда, после чего проводящая среда может быть мысленно удалена и рассмотрено поле совокупности действительных проводов и их зеркальных изображений. В таком поле плоскость, расположенная на месте поверхности проводящей среды, является поверхностью равного потенциала, так как заряды противоположных знаков размещены симметрично относительно этой плоскости. Следовательно, найденное таким путем поле и будет действительным полем в области над поверхностью проводящей среды.

Ðèñ. 24.31 Ðèñ. 24.32

Метод зеркальных изображений также может быть использован, когда проводящая среда ограничена двумя плоскостями, сходящимися под углом /n, ãäå n — целое число, причем угол отсчитывается в диэлектрике, где рассматривается поле. Разделив все пространство на одинаковые части плоскостями, пересекающимися под углом (см. рис. 24.32), что возможно, только если n есть целое число, и последовательно отражая провод в этих плоскостях, получим систему из действительного провода и серии его зеркальных изображений. В поле такой системы плоскости A – A è B – B являются плоскостями равного потенциала, так как заряды противоположных знаков размещены симметрично по отношению к ним. Поэтому поле этой системы совпадает с действительным полем в той части пространства, где последнее существует.

Метод зеркальных изображений в полной мере применим и для заряженных тел любой формы, расположенных в диэлектрике около плоскостей, ограничи- вающих проводящую среду. Естественно, поле при этом уже не будет плоскопараллельным.

Метод зеркальных изображений можно применить также в условиях, когда плоская поверхность разделяет две среды с различными диэлектрическими проницаемостями. Пусть источником электрического поля является положительный заряд q, помещенный в среде 1 с диэлектрической проницаемостью 1 на расстоянии h от плоской поверхности раздела сред (рис. 24.33).

При сведении среды к однородной с диэлектрической проницаемостью 1 поместим на плоской поверхности электрический заряд, плотность которого, как следует из соотношения (**) § 24.20, можно определить по формуле 21 E0n,

74 Часть 4. Теория электромагнитного поля

так как составляющая напряженности En( ) поля, обусловленная зарядами на плоскости, обращается в нуль.

Ðèñ. 24.33

Ïðè 2 ., т. е. при формальной замене диэлектрика проводником, имеем1 и 21E0n. Так как напряженность E E(q) + E( ) поля в проводящей среде, обусловленная зарядом q и распределенным на плоскости зарядом, равна нулю, то E(q) –E( ) и, следовательно, поле поверхностных зарядов эквивалентно полю заряда –q. Поэтому электрическое поле в среде 1 определяется заданным зарядом q и его зеркально изображенным зарядом q1 –q, а поле в проводящей среде — зарядом q и зарядом –q, который эквивалентен поверхностному и помещен в ту же точку в среде 1, т. е. зарядом, равным q2 q – q 0, что дает зна- чение напряженности поля в проводящей среде E 0.

При конечном значении 2 из выражения 21 E0n следует, что электриче- ское поле поверхностных зарядов эквивалентно полю заряда, равного –q

в связи с чем поле в среде 1 можно найти при наложении электрических полей

2 1 q.2 1

Для расчета поля в области 2 неоднородную среду заменяем однородной с диэлектрической проницаемостью 2, причем для сохранения неизменной составляющей напряженности электрического поля, создаваемого заданным зарядом q,

последний должен быть изменен и стать равным q 2 . Поле в среде 2 определя-1

Изложенные рассуждения сохраняют силу и в тех случаях, когда источником поля является электрический заряд, распределенный вдоль провода с линейной плотностью −< В полученных формулах достаточно заменить величину q íà −.

24.24. Применение метода разделения переменных для решения задач электростатики

Если проводники обладают простой формой поверхности, например плоской, цилиндрической, сферической или какой-либо другой, которую можно описать простым уравнением в подходяще выбранной системе координат, то при помощи аналитических методов удается рассчитать потенциал электростатического поля. Обычно на поверхности проводников задают значение потенциала или составляющей напряженности поля, и задача сводится к нахождению поля в пространстве между электродами. При условии, когда поле удовлетворяет уравнению Лапласа, его можно искать методом, основанным на разделении переменных уравнения.

Рассмотрим задачу расчета плоскопараллельного поля, созданного системой заряженных электродов плоской формы, потенциалы которых заданы (рис. 24.34).

При применении метода разделения переменных потенциал U(x, y) в уравнении Лапласа

внутри прямоугольной области представляется в виде U(x, y) X Y, ãäå X(x) — функция только x è Y(y) — функция только y. При замене U(x, y) произведением X Y уравнение Лапласа принимает вид

Так как левая часть последнего уравнения зависит только от x, а правая — только от y, то оно удовлетворяется для любых x è y только в том случае, если и левая и правая его части равны некоторой постоянной величине –2. При этом справедливы два уравнения:

d 2 X

dx 2

частные решения которых имеют вид X C1 sin x C2 cos x,

78 Часть 4. Теория электромагнитного поля

24.25. Численный расчет электростатического поля методом сеток

В качестве иллюстрации численного метода расчета электромагнитного поля при помощи конечно-разностных уравнений и способа их получения рассмотрим случай расчета плоскопараллельного электростатического поля в неоднородной среде с диэлектрической проницаемостью (x, y).

Разностные уравнения могут быть записаны для системы узлов, произвольно размещенных в данной области. Однако при этом возникают большие трудности формирования системы разностных уравнений и

s V

(x, y) E n (x, y) dl (x, y) ds,

abcda S

ãäå En U — нормальная к контуру составляющая напряженности электриче-n

ского поля.

Интеграл в левой части этого выражения можем представить в виде суммы четырех интегралов вдоль путей ab, bc, cd, da и вычислить их приближенно, используя известные методы приближенного вычисления интегралов. Применение метода прямоугольников приводит к выражениям

в которых величины Iñð, IIñð, ..., Iñð, ..., IVñð являются средними функций (x, y),(x, y) в соответствующих ячейках.

Полученное уравнение

выражает искомый потенциал U0 через потенциалы четырех соседних узлов. Число входящих в уравнение потенциалов будет большим, если применить более точные соотношения для вычисления интегралов, выражая их не только че- рез потенциалы узлов 1, 2, 3, 4, 0, но также, например, через потенциалы узлов 5, 6, 7, 8.

Уравнения вида (*) образуют систему разностных уравнений, которая может быть разрешена относительно искомых потенциалов узлов известными методами решения систем алгебраических уравнений.

Записывая систему алгебраических уравнений в матричной форме k U F, отметим, что характерной особенностью системы разностных уравнений является редкая заполненность матрицы коэффициентов ненулевыми элементами. При использовании уравнений вида (*) строки матрицы содержат 5 отличных от нуля элементов, так что при полном числе элементов n2 количество ненулевых элементов не превышает 5n. Эта особенность разностных уравнений позволяет применить эффективные методы решения, учитывающие редкую заполненность их матриц коэффициентов.

Изложенный выше подход применим для расчета плоскомеридианных и трехмерных полей. В этих случаях элементы матрицы коэффициентов k выражаются с помощью других соотношений.

24.26. Вариационный подход к расчету электрического поля в неоднородной среде. Метод конечных элементов

Ранее было отмечено (см. § 2.1, т. 1), что затрачиваемая внешними источниками энергия при создании электромагнитных полей минимальна, если процесс создания этих полей происходит без потерь энергии. Таким образом, и распределение энергии в электромагнитных полях происходит так, чтобы потребляемая от источника энергия была минимальной.

Если при решении задач расчета электромагнитных полей приходится оперировать такими понятиями, как потенциал и определяемые им производные величины, то можно утверждать, что эти функции должны быть такими, чтобы определяемая ими энергия поля была минимальной.

Исходя из этого принципа, конечно-разностные уравнения электромагнитного поля могут быть определены через таким образом подобранные функции, которые обеспечивают принцип минимума энергии, определяемой некоторым функционалом J.

Постановка задачи расчета потенциала, связанная с минимизацией функционала J, носит название вариационной, так как потенциал разыскивают путем вариации функционала и нахождения таких его значений, которые обеспечивают минимум функционала.

Один из путей отыскания потенциала вариационным методом связан с представлением его в виде интерполяционного полинома

80 Часть 4. Теория электромагнитного поля

N

U(x, y, z) 2an n (x, y, z),

n 1

ãäå an — подлежащие определению коэффициенты, n — так называемые базисные функции заданного вида.

Учитывая, что энергию электрического поля зарядов объемной плотностью можно записать в форме Wý 0,5 (gradU)2 dV либо в форме Wý 0,5 U dV ,

Здесь первый интеграл выражает удвоенную, а второй — учетверенную энергию поля.

В некоторых задачах объем V ограничен поверхностью s, на которой задан потенциал либо его производная nU по нормали к поверхности. При заданном на поверхности s потенциале минимизируемый энергетический функционал имеет вид (*), тогда как при заданной на ней функции nU

Коэффициенты an, входящие в выражение для потенциала U(x, y, z), можем

найти из условия J

an

уравнений.

Энергию магнитного поля в объеме V можно представить как сумму энергий, заключенных в ее отдельных конечных элементах. Это позволяет в пределах элементов записать более простые выражения для потенциалов.

Вид и свойства вариационного метода определяются базисными функциями . Распространение получили базисные функции, каждая из которых отлича- ется от нуля только в пределах своей подобласти, называемой конечным элементом.

Простейшими геометрическими элементами на плоскости могут быть заполняющие ее треугольники, а в пространстве – тетраэдры. Возможно использование и других плоских и объемных элементов.

Характер интерполяционного полинома определяет особенности распределения потенциала внутри элемента, однако количество узлов элемента (геометри- ческая форма элемента) задает количество членов этого полинома независимо от его степени. Другими словами, количество искомых коэффициентов интерполяционного полинома должно быть равным числу принадлежащих элементу узлов.

Число узлов треугольного элемента при линейной интерполяции потенциала U(x, y) 0 + 1 x + 2 y должно быть равным трем, так как полином содержит