Теоретические основы электротехники-3
.pdfОтветы на вопросы, решения упражнений и задач |
311 |
7. Определим потенциалы в точках осей проводов методом наложения. При −1 0, −2 0 имеем для r R1: U1 (−/2 ) ln (1/R1) + A è äëÿ r D:
U2 (−/2 ) ln (1/D) + A, òàê ÷òî U1 – U2 (−/2 ) ln (D/R1). Ïðè −2 0, −1 0l .
ln(DR1R2 )
9. Емкость в этом случае определить нельзя, так как потенциал поверхности не
имеет постоянного значения, а подчинен на ней условию U 0, ãäå n — нормальn
к поверхности тела.
25.2. Потенциальные коэффициенты, коэффициенты электростатической индукции и частичные емкости в системе тел
ВОПРОСЫ
2.Собственный потенциальный коэффициент k-го тела зависит от размеров и взаимного расположения всех тел системы, а также от диэлектрической проницаемости среды.
3.Потенциал U1 первого тела следует искать при условии, что второе тело не заряжено и находится в поле заряда первого тела.
4.Введение в систему проводящих тел дополнительно одного или нескольких проводящих тел приводит к изменению всех собственных и взаимных потенциальных коэффициентов. Действительно, внесение в поле k-го заряженного тела другого незаряженного проводящего тела приводит к изменению потенциалов во всем пространстве, в том числе и в точках поверхности k-го заряженного тела, а следовательно, к изменению собственного потенциального коэффициента k-ãî òåëà.
5.Если к заряженному c зарядом q1 > 0 телу приближать незаряженное проводящее тело, то потенциал U1 тела уменьшится вследствие влияния индуцированных на поверхности незаряженного тела зарядов. Поэтому будет уменьшаться и
собственный потенциальный коэффициент 11. Аналогичным образом изменяется и потенциальный коэффициент 22.
Так как при сближении тел возрастает потенциал незаряженного тела, то и взаимные потенциальные коэффициенты 12 21 также возрастают.
7. Все потенциальные коэффициенты положительны, так как знак потенциала заряженного тела, как и потенциала вносимого в его поле незаряженного тела, совпадает со знаком заряда тела.
УПРАЖНЕНИЯ
2. Для того чтобы выразить коэффициенты электростатической индукции через потенциальные коэффициенты, необходимо решить систему уравнений q U относительно зарядов: q 1U и из условия 1 найти искомые коэффициенты электростатической индукции.
312 Ответы на вопросы, решения упражнений и задач
В системе двух тел из уравнений
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ξ |
11q1 12 q2 U1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ψ |
|
|
|
22 q2 U 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ζ 21q1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
находим 1 |
1 |
|
|
22 |
|
|
12 |
|
è 11 |
|
|
|
|
22 |
|
, 12 |
– |
|
|
12 |
, 21 |
|
|
21 |
, 22 |
|
11 |
. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
21 |
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
В системе трех тел из уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ξ |
11q1 12 q2 13 q3 U1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 q3 U 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ψ 21q1 22 q2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
31 |
q |
32 |
q |
|
|
33 |
q U |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ζ |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
22 33 23 32 |
13 32 |
12 33 |
|
|
12 23 |
13 22 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
||||||||||||||||
|
13 |
23 |
12 |
33 |
|
22 |
13 |
31 |
|
|
12 |
13 |
23 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
31 |
|
|
12 |
|
|
31 |
|
32 |
|
|
|
32 |
|
12 |
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
21 |
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
òàê ÷òî 11 |
22 33 23 32 |
, 12 |
13 32 12 33 |
|
и т. д. (здесь — определи- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тель системы уравнений).
3. Выражая разность потенциалов U1 – U2 тел через заряд q1 одного из них, на-
ходим из уравнений |
|
U1 |
|
|
11 q1 + |
12 q2, |
U2 |
|
|
21 q1 |
+ |
|
22 q2: U1 |
– U2 |
||||||||||||||||||||||||||
(11 – 2>Α ΑΑΛ q1, C |
|
|
|
q1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
U1 U 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 2 12 22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Òàê êàê 11 |
1 |
22, 12 |
|
1 |
12, 22 |
1 |
11, ãäå 11 22 – 122 , то получаем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
22 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
12 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
212 22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Используя соотношения 11 C11 + C12, 12 – C12, 22 C21 + C22, íà- |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ходим C C12 + |
C11C22 |
|
|
. Это выражение позволяет представить |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
C11 C22 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
емкость между двумя телами в виде емкости электрической цепи, |
Ðèñ. Ð25.2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
содержащей три конденсатора, соединенных последовательно-па- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
раллельно (рис. Р25.2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4. Воспользуемся решением предыдущего упражнения: C12 |
– 12, C11 |
11 + 12, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
C22 22 + 12, а также упражнения 2: 11 |
22 |
, 12 |
|
12 |
, 22 |
|
11 |
, ãäå |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
11 22 – 122 . В итоге находим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
C12 |
|
12 |
|
|
|
|
, C11 |
|
|
|
22 |
|
12 |
|
, C22 |
11 12 |
. |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
22 |
2 |
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
22 |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
11 |
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
12 |
|
|
|
|
11 |
|
|
12 |
|
|
|
|
Ответы на вопросы, решения упражнений и задач |
313 |
5. Поместим начало прямоугольной системы координат в вершине двугранного угла и обозначим координаты проводов x1, y1 è x2, y2. Используя метод зеркальных изображений, запишем потенциалы провода 1 при q2 0 и провода 2 при q1 0:
|
|
|
q |
|
1 |
|
|
|
q |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||
U |
|
|
1 |
ln |
|
|
|
1 |
ln |
|
|
|
|
|
1 |
ln |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
2l |
|
|
|
|
2l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2l |
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
2y1 |
|
|
|
2x1 |
|
|
|
|
|
|
x1 |
y1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
q1 |
|
|
|
|
|
2x1y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q2 |
|
|
2x2 y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
, |
U |
|
|
|
|
ln |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
2l |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2l |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
R |
|
x1 |
y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
x2 |
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
откуда получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
U1 |
|
|
1 |
|
|
|
2x1y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U 2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2x2 y2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
ln |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
11 |
|
q1 |
|
2l |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
22 |
|
|
|
q2 |
|
|
|
|
2l |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
x1 |
y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
x2 |
y2 |
|
|
Для нахождения потенциального коэффициента 21 рассчитаем потенциал в точке расположения провода 2 при q1 0, q2 0:
|
|
|
q1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
U 2 |
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
)2 |
(y |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
x |
)2 |
(y |
|
|
y |
)2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
2l |
|
(x |
2 |
2 |
)2 |
2l |
|
(x |
2 |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
q1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
q1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2l |
|
(x |
2 |
|
x |
)2 |
(y |
2 |
y |
)2 |
2l |
|
(x |
2 |
x |
)2 |
(y |
2 |
y |
)2 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||
21 |
|
U 2 |
|
|
1 |
|
|
|
Ξ |
[(x2 |
x1) |
2 |
(y2 |
y1) |
2 |
][(x2 |
x1) |
2 |
(y2 |
y1) |
2 |
] |
6 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
lnΨ |
|
|
|
|
|
7. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
q1 |
|
|
|
|
[(x2 |
x1)2 |
(y2 |
y1)2 ][(x2 |
x1)2 |
(y2 |
y1)2 ] |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 l |
|
Ζ |
9 |
|
|
|
25.3. Емкость линий передачи
УПРАЖНЕНИЯ
1. Погрешность расчета емкости двухпроводной линии при пренебрежении влиянием земли можно найти по формуле
|
|
|
|
2h |
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|||
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
C1 C2 |
|
|
R |
|
|
4h |
2 |
D |
2 |
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
||||||
C1 |
|
|
|
ln |
D |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R
(C1, C2 — емкости при учете влияния земли и при пренебрежении ее влиянием). При заданных численных значениях получаем, что погрешность не превышает одного процента при h Ν 1,6 ì.
3. Потенциальные коэффициенты рассчитываем по формулам: |
|
|
|
||||||||||||||||
11 |
|
1 |
2h1 |
|
|
1 |
|
2h2 |
|
21 |
|
1 |
|
h1 h |
2 |
|
|||
|
|
ln |
|
, 22 |
|
|
ln |
|
, 12 |
|
|
ln |
|
|
. |
||||
2 0 l |
|
2 |
0 l |
|
2 |
0 l |
|
|
|||||||||||
|
|
R |
|
|
R |
|
|
|
|
D |
|
|
314 Ответы на вопросы, решения упражнений и задач
Искомая емкость равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
C |
|
|
|
> |
|
|
|
|
2 0 l |
|
|
Φ 6,28 >Δ–12 l |
Ô |
. |
||
|
|
|
|
Α |
|
|
4h h |
|
D 2 |
|
|
|||||
|
>> |
ΑΑ |
>Α |
|
|
2 |
ì |
|
||||||||
|
|
|
|
|
ln |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 (h h |
2 |
)2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
4. Для расчета емкости двухпроводной линии воспользуемся конформным отображением области существования поля на верхнюю полуплоскость с помощью функции ( f(z) комплексного переменного z. Провода 1, 2 линии, имеющие в плоскости z координаты z1 x1 + jy1 r1, z2 x2 + jy2 r2, будут иметь в плоскости ( координаты (1 :1 + j#1, (2 :2 + j#2, их радиусы примут значения R1 Φ R f' (z) , R2 Φ Rf' (z) . Так как заряды и потенциалы проводов при конформ-
ном преобразовании области не изменяются, то емкость также не изменяется и
может быть найдена по формуле C |
|
|
1 |
|
|
|
, ãäå 11, 22, 12 — потенци- |
|||||||||||||||||||||
|
11 22 |
2 12 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
альные коэффициенты проводов в плоскости переменного (: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
2# |
|
|
1 |
2# |
2 |
|
|
1 |
|
(: |
2 |
: |
1 |
)2 |
(# |
2 |
# )2 |
|||||||||
11 |
|
ln |
1 |
, 22 |
|
|
ln |
|
|
|
, 12 |
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
1 |
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 0 l |
|
R1 |
|
|
2 0 l |
|
R2 |
|
|
|
2 0 l |
|
(: |
|
: |
|
)2 |
(# |
|
# )2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
При расположении начала прямоугольной системы координат в вершине образованного поверхностями нулевого потенциала прямого угла (вариант à) функция ( z2 отображает внутреннюю часть угла в верхнюю полуплоскость комплексной переменной ( : + j#.
Провода линии имеют в плоскости ( координаты (1 r12 e j2 1 :1 + j#1, (2 r22 e j2 2:2 + j#2, их радиусы равны R1 2R | r1e j 1 | 2Rr1, R2 2R | r2 e j 2 | 2Rr2.
В задачах вариантов á, â, ã функции, осуществляющие отображение области в
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
верхнюю полуплоскость переменной (, имеют соответственно вид ( ed , ( |
|||||||||||
sin |
|
z, ( |
1 |
|
z |
|
R |
0 |
|
||
|
|
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
d |
|
2 |
|
R0 |
|
z |
|
|||
|
|
|
|
|
Отображение внутренней части круга (вариант ä) в верхнюю полуплоскость вы-
полняется с помощью дробно-линейной функции ( az b , коэффициенты ко- cz d
торой можно определить из условия соответствия координат трех точек в плоскости z трем точкам в плоскости (.
Если принять, например, что центр окружности переходит в точку с координатой + j плоскости (, а точки z R0 è z – R0 — в точки ( + 1 и ( – 1 соответст-
венно, то можно получить ( z jR0 . jz R0
Для численных данных варианта à получаем: r1 6,4 ì, r2 7,2 ì, R1 0,256 ì, R2 0,288 ì, :1 9, #1 40, :2 20, #2 48, 11 1,03 1011/l, 22 1,04 1011/l, 12
Ответы на вопросы, решения упражнений и задач |
315 |
3,4 1010/l, C 0,714 10–11l Ф. При пренебрежении влиянием земли емкость линии равна Ñ1 l(ln D/R)–1 0,71 10–11l Ф, так что погрешность расчета емкости не превышает 1 %.
5.Принимая q2 0, находим U2 21q1 21 U1 и с учетом величин
11
|
|
11 |
|
1 |
|
|
2h |
, 12 |
|
1 |
r1' 2 |
|
||||||||
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
ln |
|
, |
|||||||||
2 0 l |
|
|
|
2 0 l |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
D |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ãäå r1 2 D 2 4h 2 , получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
r1' 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
U2 |
|
D |
|
U |
|
1 5,3 êÂ. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2h |
|
|
1 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
Напряжение между проводами равно U12 U1 – U2 Φ 4,7 êÂ.
6. Сопоставим емкости трехфазных линий при различном расположении проводов и пренебрежении влиянием земли. Если провода расположены в одной плоскости (варианты à, á ), òî
|
3 |
2 |
D |
||
C1 |
2l ln |
|
|
|
. |
|
|
|
|||
|
|
R |
|
||
|
|
|
При расположении проводов в вершинах равностороннего треугольника (варианты â, ã) получаем:
C2 2 l ln D > C1.
R
Сопоставим емкости линии при учете проводящей земли. Выражение для емкости Ñ1 линии (вариант à) известно (см. § 25.5). При расположении проводов в вертикальной плоскости (вариант á) получаем:
|
C |
|
|
|
|
|
2l |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
2D |
|
|
h(h 2D) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
ln |
3 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
(2h D)(2h 3D) |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||
Cравнение значений Ñ |
è |
Ñ |
показывает, что Ñ |
> |
Ñ . |
||||||
1 |
|
2 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
При расположении проводов в вершинах равностороннего треугольника (вариант â) имеем
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3 |
|
Ξ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2D |
|
|
|
|
3 h 2 (h 3 2 D) |
|
|
|||||||||||||||
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
||||||||||||||
|
|
lnΨ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Ζ |
|
R 3 |
ϑ |
|
Λ |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
2 |
9 |
|
|||||
|
8 |
|
|
|
|
[ |
D 2 |
|
|
(2h 3 2 D) ] D |
|
4h 8 |
316 Ответы на вопросы, решения упражнений и задач
Cравнение выражений для расчета емкости показывает, что Ñ2 < Ñ4 < Ñ3 < Ñ1, т. е. наименьшую емкость имеет линия с расположением проводов в вертикальной плоскости (вариант á ), а наибольшую — при расположении проводов в вершинах правильного треугольника согласно варианту â.
7. Заряды проводов находим, решая систему уравнений
Ξ 11q1 12 q2 13 q3 U1, 8Ψ 21q1 22 q2 23 q3 U 2 , 8Ζ 31q1 32 q2 33 q3 U 3 ,
для чего предварительно рассчитываем потенциальные коэффициенты: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
à) 11 22 33 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2h |
1,37 10 |
11 1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 l |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
Ô |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
4h 2 |
D 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
12 23 |
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,55 1010 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
Ô |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
4h 2 |
4D |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
13 |
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,45 1010 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 0 l |
|
|
2D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l Ô |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
q1 – 2,97 10–7 l Êë, q2 – 3,64 10–7 l Êë, q3 6,83 10–7 l Êë; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
á) >> |
|
|
1 |
|
|
|
|
2h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
1 1 |
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2(h D) |
|
11 |
1 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
1,37 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
1,44 10 |
|
|
|
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 0 l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l Ô |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 l |
R |
|
|
|
l Ô |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
33 |
|
|
1 |
|
|
|
|
2(h 2D) |
1,49 10 |
11 1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
2 0 l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
Ô |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
12 |
|
|
1 |
|
|
|
|
2h D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,9 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
2 0 l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
Ô |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
13 |
|
|
1 |
|
|
|
|
2h 2D |
|
|
1,98 10 |
10 |
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
2 0 l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
Ô |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
23 |
|
|
1 |
|
|
|
|
2h 3D |
|
|
3,5 10 |
10 1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2 0 l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
Ô |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
q1 – 3,09 10–7 l Êë/ì, q2 – 3,78 10–7 l Êë, q3 6,67 10–7 l Êë; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
â) 11 22 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2h |
1,37 10 |
11 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
2 |
0 l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
Ô |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
ln |
2 h |
|
|
D |
|
|
|
R |
|
1,43 1011 |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
33 |
|
|
2 0 l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ô |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
4h 2 D 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
12 |
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,55 1010 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 0 l |
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l Ô |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответы на вопросы, решения упражнений и задач |
317 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D 2,85 1010 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
(0,5D)2 |
|
|
|
|
2h |
|
D |
|
|
|
|
|
|
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||
13 |
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 0 l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l Ô |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
q1 – 3,7 10–7 l Êë, q2 – 3,7 10–7 l Êë, q3 7,07 10–7 l Êë; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ã) 11 |
|
|
1 |
|
|
|
|
2h |
1,37 1011 |
1 |
|
|
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 0 l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
Ô |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
2 h |
|
|
D |
|
R |
|
1,43 1011 |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
22 |
|
|
33 |
|
|
2 0 l |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l Ô |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D 2,85 1010 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
(0,5D)2 |
|
|
|
2h |
|
|
D |
|
|
|
|
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
12 |
|
|
13 |
|
2 0 l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l Ô |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
23 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,17 10 |
10 1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
(2h |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ln |
|
D |
|
|
3D) |
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
2 0 l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
Ô |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
q1 – 3,6 10–7 l Êë, q2 – 3,6 10–7 l Êë, q3 7,13 10–7 l Êë. |
|
|
|
8. При условии à задачи следует принять q2 q3 0, так как второй и третий провода не заряжены, что позволяет записать уравнения U1 11 q1, U2 21 q1, U3 31 q1, из которых находим q1 U1 11, U2 21 11U1, U3 31 11U1.
Находим (рис. Р25.3): q1 8,03 10–7 l Êë è à) U2 20,5 êÂ, U3 11,6 êÂ; á) U223,2 êÂ, U3 15,9 êÂ; â) U2 20,52 êÂ, U3 23,0 êÂ; ã) U2 23,0 êÂ, U3 23,0 êÂ.
Ðèñ. Ð25.3
При условии á упражнения следует принять U2 0, q3 0, так что уравнения, связывающие заряды и потенциалы проводов, принимают вид:
ΞU1 11q1 12 q2
8Ψ0 21q1 22 q2
8ΖU 3 31q1 32 q2 .
Решая их, получаем
q |
|
22 |
U , q – |
21 |
q – |
21U1 |
|
, U |
|
31 22 |
32 21 |
U . |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
|
11 22 12 21 |
1 |
2 |
22 |
1 |
11 22 12 |
3 |
|
11 22 |
12 |
1 |
||
|
|
|
|
|
21 |
|
|
21 |
|
318 Ответы на вопросы, решения упражнений и задач
Подставляя найденные при решении упр. 7 значения потенциальных коэффициентов, находим:
à) q1 8,32 10–7l Êë, q2 – 1,55 10–7l Êë, U3 8,11 êÂ; á) q1 8,38 10–7l Êë, q2 – 1,7 10–7l Êë, U3 10,71 êÂ; â) q1 8,32 10–7l Êë, q2 – 1,55 10–7l Êë, U3 19,29 êÂ; ã) q1 8,38 10–7l Êë, q2 – 1,7 10–7l Êë, U3 18,59 êÂ.
При условии варианта â с учетом соотношения U2 U3 0 находим заряды проводов, решая систему уравнений
Ξ |
11q1 |
12 q2 |
13 q3 |
U1 |
||||
8 |
|
|
|
|
23 q3 |
0 |
||
Ψ 21q1 22 q2 |
||||||||
8 |
31 |
q |
32 |
q |
|
33 |
q |
0. |
Ζ |
1 |
2 |
|
3 |
|
Подставляя численные значения, получаем (см. рис. Р25.3): à) q1 8,36 10–7l Êë, q2 –1,44 10–7l Êë, q3 –0,62 10–7l Êë è ò. ä.
10. Используя соответствующую функцию комплексного переменного ( f(z) (см. решение упр. 4), отображаем заданную область на верхнюю полуплоскость. Вычислив радиусы R1, R2, R3 проводов, расстояния D12, D13, D23 между ними и величины #>, #Α, #Ι в плоскости переменной (, переходим к расчету емкости провода транспонированной трехфазной линии. Так как при конформном отображении области емкость не изменяется, то для расчета емкости провода с учетом влияния проводящей поверхности используем формулу, полученную в § 25.5.
Емкость провода линии при пренебрежении влиянием проводящей поверхности
получаем по формуле C 2l . ln(DR)
25.4. Метод средних потенциалов
ВОПРОСЫ
1. При заданном распределении плотности электрического заряда на поверхности проводящего тела его потенциал можно рассчитать, пользуясь выражением
U |
1 |
|
ds |
, после чего найти емкость Ñ q/U, учитывая, что заряд тела q ds. |
|
4 |
r |
||||
|
s |
s |
|||
|
|
|
Решение задачи нахождения заряда тела по его потенциалу (что зачастую приходится делать на практике) значительно сложнее, так как при этом приходится предварительно отыскивать неизвестное распределение плотности заряда.
2. Погрешность метода средних потенциалов уменьшается с увеличением длины проводов (при h const), так как в этом случае распределение заряда вдоль них в целом ближе к равномерному, хотя вблизи концов проводов плотность зарядов остается существенно большей, чем в их средней части.
5. Погрешность метода средних потенциалов зависит от распределения заряда на поверхности тел: чем оно ближе к равномерному, тем меньше погрешность
320 Ответы на вопросы, решения упражнений и задач
превышает удельную электрическую проводимость земли. Если заземлитель
выполнен из меди, то при ,земли 10 2 Cм/м отношение этих величин составляет 5,7 107/10–2 5,7 109 00 1.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Электрический потенциал в однородной среде удовлетворяет уравнению Лапласа div grad U 0, а в неоднородной среде — уравнению div grad U 0.
Эти уравнения совпадают с уравнениями, которые описывают потенциал электростатического поля в соответствующей среде.
2. Параметры линии, рассматриваемой как электрическая цепь с распределåí- ными вдоль нее параметрами r è g, суть волновое сопротивление линии z rg
и коэффициент распространения , r g. Из уравнений (см. т. 2, § 16.3)
Uâûõ Uâõ ch ,l – Iâõz sh ,l, Iâûõ Iâõ ch ,l – U âõ z sh ,l длинной линии находим с
учетом соотношения Uâûõ Iâûõ rí выражение Uâûõ(l ) |
U |
âõ rí |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
rích,l zsh,l |
|
|
|
|
|||
Если линия разомкнута, то, принимая rí ., получаем Uâûõ(l) |
U |
âõ |
|
. |
||||
|
|
|
|
|
||||
ch ( |
|
rg l) |
||||||
|
|
|
|
|
Для нахождения проводимости g на единицу длины линии воспользуемся аналогией электрического поля в неидеальном диэлектрике с электростатическим полем, для чего используем формулу для расчета емкости, приведенную в § 25.1,
ï. 3, g |
,C |
|
, |
. |
|
|
|||
|
l |
ln DR 1 |
3. Учитывая, что электрическое поле в пластине однородное, ее сопротивление
r |
l |
|
1 |
. Так как оно не зависит от размеров сторон квадратной пластины, то и |
|
,s |
,d |
òîê i U1 U 2 также не зависит от размеров сторон пластины. Таким образом, r
любая квадратная пластина одной и той же толщины и удельной электрической проводимости ее материала имеет одно и то же сопротивление постоянному току.
4. Во всех точках пластины, за исключением точек, лежащих на поверхности раздела сред с различными удельными электрическими проводимостями, потенциал описывается уравнением Лапласа.
В точках поверхности выреза A имеем Jn – , U 0 и, следовательно, U 0. |
||
|
n |
n |
С обеих сторон трещины ÀÂ также имеем условие |
U 0, так как сквозь трещи- |
|
|
|
n |
ну ток протекать не может. В точках поверхности выреза B потенциал удовле- |
||
творяет условиям , U ,ï |
U , Ui Ue, где индексы i, e нормали n означают, что |
|
n |
n |
|
i |
e |
|