Теоретические основы электротехники-3

Зависимость HÂ (r) изображена на рис. 27.2, á.

Пусть ток направлен таким образом, что положительное направление вектора Hâ совпадает с таковым для оси z. Ïðè ýòîì Hâ скачкообразно меняется на вели-

÷èíó Hâ на поверхности z 0 и на величину –Hâ на поверхности z h. В соответ-

ствии с условием div Hâ H âz ì на этих поверхностях появятся магнит-z

ные заряды: –m на нижней поверхности и +m на верхней, тогда как во всех остальных точках области магнитных зарядов не будет. Хотя объемная плотность магнитных зарядов на указанных поверхностях обращается в бесконеч- ность, их поверхностная плотность конечна и равна ì (r) – Hâ(r) < 0 на нижней и ì (r) + Hâ(r) > 0 на верхней поверхности.

Найденные магнитные заряды полностью определяют магнитное поле во всех точках области, где Hâ 0, т. е. там, где его можно описать с помощью скалярного

27.4. Выражение магнитного потока и энергии магнитного поля через векторный потенциал

Установим связь между магнитным потоком сквозь некоторую поверхность s и векторным потенциалом A магнитного поля. Имеем

B ds rot Ads.

Согласно теореме Стокса, rot Ads Adl. Следовательно,

sl

Adl.

l

Таким образом, магнитный поток сквозь поверхность s равен линейному интегралу векторного потенциала по замкнутому контуру, ограничивающему эту поверхность.

Для вычисления магнитного потока через вектор магнитной индукции при помощи интеграла B ds необходимо определить вектор B во всех точках по-

s

верхности s. При вычислении магнитного потока через векторный потенциал A достаточно знать последний только на контуре, ограничивающем эту поверхность. Интегрирование по поверхности заменяется интегрированием по контуру, что во многих случаях оказывается весьма полезным.

V

рассчитать напряженность Í и индукцию Â магнитного поля во всех точках бесконечного пространства. Вычисление энергии магнитного поля Wì можно упро-

142 Часть 4. Теория электромагнитного поля

стить, если преобразовать интеграл по неограниченному объему V в интеграл по объему VJ , в котором существует создающий магнитное поле электрический ток плотностью J.

Для такого преобразования воспользуемся соотношением Â rot A и известным из векторной алгебры выражением div [AH ] H rot A – A rot H, èëè H rot AA rot H + div [AH ]. После подстановки в формулу для энергии магнитного поля выражения A rot H + div [AH ] вместо H rot A имеем

Можно показать, что второе слагаемое в (*) стремится к нулю, поэтому

1

Wì 2 AJ dVJ ,

VJ

что позволяет ограничить вычисление интеграла лишь в той части объема, в которой плотность электрического тока не равна нулю.

Оперирование векторным потенциалом облегчает рассмотрение ряда важных положений теории магнитного поля, так же как пользование скалярным потенциалом упрощает рассмотрение многих вопросов электростатики.

27.5. Общая задача расчета магнитного поля постоянных токов

Общей задачей расчета магнитного поля постоянных токов является нахождение вектора магнитной индукции или вектора напряженности магнитного поля во всех точках пространства по заданному распределению тока в пространстве. Эта задача полностью решается нахождением векторного потенциала À как функции координат. При этом магнитная индукция определяется из соотношения Â rot A. В общем случае аналитическими методами эту задачу удается решить в ограниченном числе случаев.

Решение задачи расчета трехмерного магнитного поля в неоднородных средах при использовании векторного магнитного потенциала, как правило, связано с большими трудностями. Они определяются, во-первых, тем, что для трехмерного магнитного поля в неоднородных средах за редким исключением невозможно найти аналитическое решение и поэтому приходится прибегать к различным численным методам. Во-вторых, при использовании численных методов нали- чие трех скалярных составляющих векторного магнитного потенциала и необходимость удовлетворить граничные условия приводит к тому, что системы конеч- но-разностных уравнений оказываются громоздкими и плохообусловленными.

Интересуясь магнитным полем вне проводников с током, т. е. только в области пространства, где плотность тока равна нулю, имеется возможность воспользоваться также другим методом. В этой области пространства магнитное поле можно охарактеризовать скалярным магнитным потенциалом Uì. Вектор напряженности поля при этом определяется из соотношения H –grad Uì.

Методы расчета магнитного поля на основе скалярного магнитного потенциала аналогичны примененным при расчете электростатических полей, и в этом их

большое достоинство. Такая аналогия дает возможность решить ряд задач, относящихся к расчету магнитных полей, путем сопоставления их с соответствующими решениями задач электростатики. Однако существенным недостатком метода является невозможность расчета магнитного поля в областях с токами.

Расчет магнитного поля в областях с токами на основе использования скалярного магнитного потенциала может быть реализован при условии приведения вихревого магнитного поля к безвихревому. При таком подходе можно использовать все численные методы, изложенные в главе 24 для расчета электростатических полей.

27.6. Плоскопараллельное поле

Рассмотрим магнитное поле системы бесконечно длинных параллельных цилиндрических проводников с токами в однородной среде. Ось OZ направим параллельно осям проводников. В таком случае линии напряженности поля целиком лежат в плоскостях, параллельных плоскости XOY, и картина поля во всех этих плоскостях одинакова, т. е. поле такой системы токов плоскопараллельное. Поверхности равного магнитного потенциала Uì суть цилиндрические поверхности с образующими, параллельными оси OZ. Линии равного потенциала в плоскости XOY определяются уравнением

Uì (x, y) const.

Интервалы между соседними линиями равного потенциала будем выбирать так, чтобы при переходе от одной линии к другой соблюдалось условие

Uì const.

Уравнение линии напряженности поля можно получить на основе соображений, аналогичных тем, которые были использованы для получения уравнения линии напряженности электрического поля. Условимся считать положительными токи, направленные к наблюдателю. Выберем одну линию напряженности поля в качестве начальной. На рис. 27.3 она отмечена жирной линией.

Соединим произвольную точку M (x, y) с некоторой точкой A начальной линии отрезком MmA. Пусть 4H есть поток вектора H сквозь поверхность, которую описал бы отрезок MmA, перемещаясь параллельно самому себе в направлении оси OZ и проходя путь l. Условимся рассматривать поток на единицу длины проводов. Введем обозначение Vì 4H/l. Величина Vì , называемая ф у н к ц и е й п о т о к а, зависит от положения точки M и, следовательно, является функцией координат этой точки. Для всех точек, лежащих на одной и той же линии напряженности поля, функция Vì(x, y) имеет одинаковое значение. Следовательно, уравнение

Vì (x, y) const,

определяющее совокупность таких точек, и является уравнением линии напряженности поля.

144 Часть 4. Теория электромагнитного поля

Условимся располагать на чертеже линии напряженности поля так, чтобы при переходе от любой линии к соседней всегда получать одно и то же приращение Vì функции потока.

Обозначив через dn элемент длины линии напряженности поля и через da элемент длины линии равного потенциала, будем иметь всюду dn 5 da. Координату n условимся считать возрастающей в направлении вектора H. Координату a будем считать возрастающей влево от вектора H для наблюдателя, расположившегося так, что вектор H кажется ему направленным снизу вверх (см. рис. 27.3). Функцию потока будем считать возрастающей в том же направлении, в котором увеличивается a.

Напряженность магнитного поля выражается через Uì è Vì â âèäå

Первое равенство уже было приведено ранее. Второе выражение следует из того, что напряженность поля численно равна потоку вектора H сквозь единицу поверхности, нормальной к линиям напряженности поля. Пусть da4H — приращение потока вектора H, соответствующее приращению только одной координаты a. Поток da4H проходит через поверхность l da, нормальную к линиям напряженности поля. Следовательно,

Выражения (*) совершенно аналогичны соответствующим выражениям в § 24.8, определяющим напряженность электрического поля.

Эти равенства пишутся на основании тех же соображений, что и соответствующие равенства (**) в § 24.8. Из них путем повторного дифференцирования получаем уравнения:

т. е. обе функции, Uì è Vì, удовлетворяют уравнению Лапласа. Необходимо, однако, подчеркнуть, что это имеет место только в области пространства, не занятой электрическим током. Только в этой области возможно выразить напряженность поля в виде градиента скалярного потенциала Uì. Такая оговорка не относится к выражениям напряженности поля через функцию потока:

которые по самому их смыслу должны быть справедливы также и внутри проводников с током.

Наконец, отметим, что функция потока Vì, введенная для характеристики плоскопараллельного поля, весьма просто связана с векторным потенциалом. В рассматриваемом случае векторный потенциал направлен всюду параллельно оси OZ, ò. å. Ax Ay 0; Az 0, так как вектор плотности тока всюду параллелен этой оси. Поэтому имеем

Умножая равенства (**) на и сопоставляя их с последними равенствами, получаем

Az Vì C,

причем постоянная C может быть отброшена как не имеющая существенного значения.

27.7. Применение функций комплексного переменного

Магнитный потенциал Uì и функция потока Vì в области, не занятой токами, связаны между собой соотношениями (**), совпадающими с уравнениями Коши–Римана, которым должны удовлетворять функции :(x, y) è #(x, y), определяющие вещественную и мнимую части аналитической функции ( : + j#f(z) комплексного переменного z x + jy. Поэтому для описания плоскопараллельных магнитных полей вне токов, так же как и при описании плоскопараллельных электрических полей, можем воспользоваться аналитическими функциями комплексного переменного, положив : Vì è # Uì, т. е. принимая

( : j# Vì jUì f (z). Составляющие вектора H могут быть получены из уравнений:

27.8. Поле линейных проводов. Принцип соответствия плоскопараллельных электрических и магнитных полей

Рассмотрим функцию ( K ln z + C, ãäå K — вещественная величина и CC1 + j C2. Выражая переменную z в полярных координатах, будем иметь z re j è

( Vì jU ì K ln r jK C1 jC2 . Уравнение линий напряженности поля можно написать в виде

Vì K ln r C1 const, ò. å. r const. Уравнение линий равного потенциала имеет вид

146 Часть 4. Теория электромагнитного поля

U ì K C2 const, ò. å. const.

Линии напряженности поля суть окружности с общим центром в начале координат. Линии равного потенциала — радиальные лучи. Такой характер имеет магнитное поле линейного провода с током, проходящего перпендикулярно к плоскости XOY через начало координат. Постоянная K определяется из условия, что при обходе вокруг тока i в положительном направлении угол изменяется на 2 , а магнитный потенциал получает приращение, равное Uì –i. Стало быть, i –K 2 , è K –i/(2 ). Окончательно получаем выражения для Vì è Uì:

Чтобы интервал между двумя линиями равного потенциала соответствовал определенному приращению Uì потенциала, эти линии должны отстоять друг от друга на равные углы .

Для того чтобы линии напряженности поля делили поле на трубки равного потока, необходимо соблюсти для двух соседних, -й и ( + 1)-й, линий условие

ò. å.

r 1 N const. r

Следовательно, радиусы линий напряженности поля должны возрастать в геометрической прогрессии, знаменатель которой можно выбрать произвольно.

На рис. 27.4 изображено магнитное поле уединенного провода, причем принято N 1,5 è /4.

В том случае, когда имеется n линейных проводов с токами, можно воспользоваться принципом наложения и находить комплексный потенциал из выражения

1 k n

( Vì jU ì 2 2k 1 ik ln(z zk ) C,

ãäå zk определяет точку, через которую проходит провод с током ik.

Сравнивая полученные выражения для потенциала и функции потока магнитного поля линейных проводов с токами с соответствующими выражениями для потенциала и функ-

ции потока электрического поля линейных заряженных проводов (см. § 24.10) и сопоставляя картину магнитного поля на рис. 27.4 с картиной электрического поля на рис. 24.10, замечаем их соответствие с той лишь разницей, что U è V поменялись местами. Отсюда следует замечательный вывод:

Картина магнитного поля линейных токов совпадает с картиной электрического поля линейных зарядов, если токи и заряды распределены в пространстве одинаково. Различие между этими картинами заключается лишь в том, что на месте линий напряженности электрического поля располагаются линии равного магнитного потенциала и на месте линий равного электрического потенциала располагаются линии напряженности магнитного поля.

Поэтому достаточно построить только картину одного поля, электрического или магнитного, второе же получается на основе только что высказанного положения, которое можно назвать п р и н ц и п о м с о о т в е т с т в и я плоскопараллельных электрического и магнитного полей.

27.9. Прямолинейный провод с током во внешнем однородном поле

Функция ( Dz + C определяет собой однородное магнитное поле. Действительно, имеем

( Vì jU ì D x jDy C1 jC2 .

Линии напряженности поля суть прямые, параллельные оси OY. Они выражаются уравнением

Vì Dx C1 const

èëè

x const.

Вектор напряженности поля направлен параллельно оси OY. Напряженность поля равна

V

H y xì D H 0 .

На основании принципа наложения можем утверждать, что функция

( 2i ln z H 0 z C

определяет собой поле прямолинейного провода с током i во внешнем однородном поле, напряженность которого Hy –H0. Òàê êàê

то уравнение линий напряженности поля может быть написано в виде

а уравнение линий равного потенциала может быть представлено в виде

148 Часть 4. Теория электромагнитного поля

Такое поле изображено на рис. 27.5. В точке b напряженность поля равна нулю. Линию напряженности поля, проходящую через эту точку и помеченную цифрой 2, можно рассматривать как одну линию abfdbc. В этом случае она подобна линиям 3, 4 и 5, расположенным вправо от провода с током. Ее можно рассматривать и как две линии: линию abc и замкнутую линию bfdb. В таком случае она подобна двум линиям, отмеченным цифрой 1, одна из которых проходит слева от провода, а другая охватывает провод.

27.10. Поле проводов, имеющих конечное сечение произвольной формы

При исследовании магнитного поля вблизи массивных проводов, имеющих се- чение сложной формы, эти провода уже нельзя рассматривать как линейные. Разобьем провод на бесконечно тонкие параллельные нити. Координаты центра се- чения нити в плоскости XOY обозначим через x è y (рис. 27.6). Поверхность сечения нити равна ds dx dy. Каждая такая нить является линейным проводом с током di J ds, ãäå J — плотность тока, и по отношению к ней справедливы полученные выше выражения для функции потока и потенциала. Функция потока

и потенциал, определяемые в точке M(õ, y) током i, протекающим во всем проводе, получаются суммированием функций потока и потенциалов, определяемых в этой точке токами, протекающими в отдельных нитях. Следовательно, выражения для величин Vì è Uì в точке M(x, y) должны быть получены интегрированием по сечению s провода выражений для функции потока и потенциала, определяемых в точке M(x, y) токами в нитях. Таким образом, можно написать

ãäå r — расстояние от центра сечения нити тока до точки M(x, y) и — угол, составляемый осью ÎÕ с радиус-вектором r .

Формулой для Uì можно пользоваться лишь при рассмотрении поля вне провода с током, так как понятие скалярного потенциала только здесь имеет смысл. Формула же для Vì пригодна при рассмотрении поля как вне провода с током, так и внутри него.

Полученное общее выражение функции потока в случае J const может быть написано в виде

Здесь r — расстояние от точки M до элемента ds поверхности. Величину g называют с р е д н и м г е о м е т р и ч е с к и м р а с с т о я н и -

е м от точки M до поверхности s. Поясним этот термин. Разобьем площадь s íà n равных частей s (ðèñ. 27.7) òàê,

Увеличивая число площадок, получаем в пределе при n .

ln g 1 ln r ds. s s

Таким образом, имеем

Ясно, что среднее геометрическое расстояние от точки до плоской поверхности зависит только от формы контура, ограничивающего эту поверхность, и от положения точки по отношению к этой поверхности.

27.11. Поле проводов круглого сечения

Поле вне провода круглого сечения такое же, как если бы весь ток i проходил по оси провода. Поэтому вне провода, согласно изложенному в § 27.8, имеем

ãäå r0 — расстояние от точки M, в которой определяется Vì, до центра сечения. Найдем выражение для функции потока внутри провода. Напряженность поля на расстоянии r0 от оси провода определяется на основании закона полного

тока и соображений симметрии:

r 2

H dl H2r0 J r02 i R02 , ãäå R — радиус сечения провода (r0 < R). Имеем

H i r0 . 2R2

Поток вектора H сквозь площадку, имеющую длину в направлении оси провода, равную единице, и ширину dr0, равен H dr0. Следовательно,

150 Часть 4. Теория электромагнитного поля

Знак минус необходимо поставить, так как Vì è r0 возрастают при i > 0 в противоположных направлениях.

Интегрируя, находим

Подразделяя поле на трубки равного потока Vì, получаем

èëè

r02, 1 r02, K.

Так как внутренний радиус внутренней трубки равен нулю, то имеем связь между радиусами линий магнитной индукции:

27.12. Поле двухпроводной линии передачи

Магнитное поле нескольких постоянных токов, протекающих в прямолинейных проводах, имеющих круглые сечения любых размеров, вне проводов такое же, как если бы эти токи протекали по линейным проводам, совмещенным с осями действительных проводов. В самом деле, постоянное магнитное поле соседних проводов не индуцирует в теле данного провода электродвижущих сил. Поэтому распределение тока в теле каждого провода остается таким же, как и в том слу- чае, когда этот провод уединен. Так как магнитное поле тока, протекающего в уединенном проводе круглого сечения, вне провода такое же, как если бы весь ток был сосредоточен на оси провода, то и при любом числе проводов круглого сече- ния при рассмотрении поля вне проводов можно их заменить линейными проводами, совмещенными с геометрическими осями действительных проводов. Необходимо подчеркнуть, что это правило справедливо только по отношению к пространству вне проводов, только при постоянном токе и только в том случае, если магнитная проницаемость материала проводов равна магнитной проницаемости окружающей среды, например для медных или алюминиевых проводов в воздухе.

Такое правило неверно по отношению к электрическому полю нескольких массивных проводов круглого сечения, так как близость соседних проводов вызывает перераспределение заряда на поверхности данного провода.

Для построения картины магнитного поля токов, протекающих в двух линейных проводах, образующих двухпроводную линию передачи, воспользуемся ранее рассчитанной картиной электрического поля двух заряженных линейных