Теоретические основы электротехники-3

162 Часть 4. Теория электромагнитного поля

ренной в §§ 24.18 и 24.19 задаче о расчете электрического поля при наличии во внешнем электрическом поле тела из диэлектрика с абсолютной диэлектриче- ской проницаемостью .

Действительно, как уравнения поля, так и граничные условия аналогичны в обоих случаях.

Для магнитного поля имеем во всей интересующей нас области пространства rot H 0, так как в этой области отсутствуют макроскопические токи. Следовательно, уравнения магнитного поля имеют вид

rot H 0; B H 0 H 0 M; divB 0.

В соответствующей электростатической задаче в рассматриваемой области пространства div D 0, так как в этой области нет свободных зарядов. Поэтому уравнения электрического поля имеют вид

rot E 0; D E 0 E P; divD 0.

Заметим, что уравнения rot H 0 è rot E 0 эквивалентны уравнениям

H gradU ì è E gradU.

Граничными условиями на поверхности тела, внесенного во внешнее магнитное поле, являются равенство в обоих средах нормальных составляющих вектора магнитной индукции и касательных составляющих вектора напряженности поля:

Bn1 Bn2 è H t1 H t 2 .

Для тела из диэлектрика, внесенного во внешнее электрическое поле, гранич- ные условия имеют аналогичный вид:

Dn1 Dn2 è E t1 E t 2 .

Таким образом, при исследовании поля тел во внешнем магнитном поле можем воспользоваться аналогичными задачами, решенными в электростатике, с заменой E íà H, D íà B, P íà 0 M è íà . Так как поляризованность вещества P dp/dV, а намагниченность M dm/dV, то в аналогичных задачах электриче- ский момент соответствует умноженному на 0 магнитному моменту.

27.20. Шар и эллипсоид вращения во внешнем однородном магнитном поле

В § 24.19 был рассмотрен шар из диэлектрика, находящийся во внешнем электрическом поле. Было найдено, что шар поляризуется однородно.

Точно так же шар из вещества с абсолютной магнитной проницаемостью , помещенный во внешнее однородное магнитное поле, поляризуется однородно. Пусть шар помещен в пустоте и > 0. Тогда вектор напряженности H? поля, определяемого намагниченностью шара, оказывается внутри шара направленным против вектора напряженности H0 внешнего поля. В этом случае поле вектора H? называется р а з м а г н и ч и в а ю щ и м п о л е м. Используя формулы,

полученные в § 24.19, и произведя в них соответствующую замену, получим формулы для интересующего нас случая. Напряженность размагничивающего поля определяется формулой

Вне шара поле, вызванное намагниченностью шара, такое же, как поле тока в весьма малом замкнутом контуре, находящемся в центре шара, имеющего магнитный момент m, равный геометрической сумме магнитных моментов всех элементарных токов в объеме шара.

Пользуясь формулами, полученными в § 24.19, находим

0 m 40 R3 H ? 4R3 0 0 2 0 0 H 0 ,

ãäå R — радиус шара.

Намагниченность M вещества шара равна магнитному моменту, отнесенному к единице объема шара. Следовательно,

Результирующая напряженность и результирующая магнитная индукция

164 Часть 4. Теория электромагнитного поля

27.21. Магнитное поле в неоднородной среде. Применение метода интегральных уравнений

Решение задачи расчета магнитного поля в неоднородной среде становится полностью аналогичным соответствующей задаче электростатики при введении в рассмотрение магнитных зарядов объемной и поверхностной плотностью ì

èì, эквивалентных создающим поле токам.

ãäå Hn — нормальная к поверхности s составляющая напряженности магнитного

ïîëÿ, i e .i e

При расчете поля в кусочно-однородной среде по аналогии с интегральным уравнением (***), полученным в § 24.20, находим интегральное уравнение отно-

Свойства этого интегрального уравнения такие же, что и уравнения (***) § 24.20. При использовании скалярного магнитного потенциала и введении эквивалентных электрическим токам магнитных зарядов расчет входящей в правую часть уравнения (**) величины H0n становится полностью аналогичным расчету величины E0n в соответствующей задаче электростатики.

Правая часть уравнения (**) может быть выражена также и через создающие внешнее магнитное поле электрические токи, если для расчета напряженности

такая замена не выполняется.

27.22. Коэффициенты размагничивания

Для эллипсоидов как H?, òàê è M пропорциональны напряженности H0 внешнего поля. Стало быть, можно написать

H ? NM.

Коэффициент пропорциональности N называют к о э ф ф и ц и е н т о м р а з - м а г н и ч и в а н и я. От него зависит при данной намагниченности значение напряженности размагничивающего поля. Коэффициент размагничивания зависит только от формы намагничиваемого тела. Для шара получаем

N H ? 1 .

M 3

Расчет дает для эллипсоида вращения формулу

причем есть отношение оси вращения эллипсоида, которая предполагается направленной вдоль линии внешнего поля, к оси, ей перпендикулярной. Первым выражением для N удобно пользоваться при > 1, вторым — при < 1.

Для бесконечной, расположенной поперек поля пластины, которую можно рассматривать как сплющенный эллипсоид, находим N 1, приняв 0. Это — наивысшее возможное значение N. Для шара, полагая 1 и раскрывая неопределенность, получаем N 13. Для бесконечно длинного стержня, расположенного вдоль поля, полагая . и раскрывая неопределенность, получаем N 0.

Свойство эллипсоидов однородно намагничиваться в однородном внешнем поле используется в магнитометрии. Для исследования магнитных свойств ферромагнитных материалов можно изготовить из этих материалов образцы, имеющие форму эллипсоида вращения или близкую к ней форму. Однородность намагничивания особенно важна именно при испытании ферромагнитных материалов, так как их магнитная проницаемость зависит от напряженности поля и только при однородном намагничивании значение во всем объеме образца будет одинаковым.

Ввести в рассмотрение коэффициент размагничивания, зависящий только от формы тела, строго говоря, возможно только для эллипсоидов и их частных слу- чаев: шара, пластины, бесконечно длинного цилиндра с эллиптическим или круглым сечением. Однако для приближенных практических расчетов магнитного поля, которое образуется при внесении в однородное внешнее поле тел иной формы, например коротких цилиндров, все же вводят в расчет коэффициенты размагничивания таких тел. Такой расчет является только ориентировоч- ным, так как тела, отличные по форме от эллипсоидов, намагничиваются неоднородно в однородном внешнем магнитном поле.

ñòÿì s1, s2, …, s6 и вычислим их приближенно:

Здесь величины 1ñð, 2ñð, …, 6ñð являются средними функций (x, y, z) в соответствующих кубах.

Конечно-разностное уравнение

в котором ìñð m/h3, выражает потенциал U0 узла 0 через потенциалы соседних шести узлов. Совокупность таких уравнений образует систему, которая может быть разрешена относительно искомых потенциалов узлов.

При численном расчете плоскопараллельного магнитного поля в неоднородной среде получим разностное уравнение относительно векторного магнитного потенциала, принимая за исходное соотношение H dl i. При этом исключает-

l

чего разобьем его на четыре интеграла по сторонам ab, bc, cd, da контура:

170 Часть 4. Теория электромагнитного поля

Входящий в разностное уравнение (A0 – A1) k1 + (A0 – A2) k2 + (A0 – A3) k3 + + (A0 –A4) k4 i òîê i сквозь площадку, ограниченную контуром abcda, выразим через плотности J1, …, J4 тока в квадратах i Φ Jñð h2 0,25 ( J1 + J2 + J3 + J4) h2 и получим окончательно:

По аналогии с разностными уравнениями (*) уравнения (**), записанные для совокупности ячеек сетки, образуют систему алгебраических уравнений, решение которой позволяет определить векторный потенциал в совокупности точек области.