Теоретические основы электротехники-3

ее проводов, равном трем, четырем, n. Элементами цепи являются собственные и взаимные частичные емкости проводов.

7. Постройте кривую зависимости емкости Ñ двухпроводной линии от расстояния D между осями проводов. К каким значениям стремится емкость C ïðè à) сближении проводов, á) D .?

25.3. Емкость линий передачи

ВОПРОСЫ

1.Возрастает ли емкость двухпроводной линии при увеличении высоты подвеса проводов над поверхностью земли?

2.Высота подвеса одного из проводов двухпроводной линии над поверхностью

земли равна h1. Расстояние между проводами D < h1. При каком положении второго провода емкость между проводами имеет à) наибольшее, á) наименьшее значение?

3.Провода двухпроводной линии, протянутые на высоте h над поверхностью земли, проходят далее в ущелье, расстояние от стен которого до проводов также

равно h. Как изменяется емкость линии на единицу ее длины? (,ç ,ñòåí 0).

4.Могут ли быть комплексными à) коэффициенты электростатической индукции, á) потенциальные коэффициенты, â) частичные емкости?

5.Почему понятие емкости между проводами, введенное в условиях электростатики, можно использовать при анализе процессов в линии, когда в проводах те- чет электрический ток и их поверхности не эквипотенциальны?

6.Коэффициент, связывающий комплексные заряд провода и напряжение между проводом и землей, является также комплексным: q (a + jb)U. Какова емкость провода относительно земли?

7.Будет ли передаваться активная мощность из одной фазы в другую при расположении проводов линии в вершинах равностороннего треугольника, когда средняя высота подвеса проводов значительно превышает расстояние между ними?

8.К транспонированной трехфазной линии приложена несимметричная система напряжений. Будет ли в такой линии передаваться активная мощность из одной фазы в другую?

УПРАЖНЕНИЯ

1. (Р) При какой высоте h подвеса проводов двухпроводной линии над поверхностью земли погрешность расчета емкости, возникающая при пренебрежении влиянием земли, не превысит значе-

ния 1,0 %? Расстояние между проводами равно D 1 м, радиусы проводов R1 R2 1 ñì (ðèñ. Â25.2).

122 Вопросы, упражнения, задачи к главам 23, 24 и 25

3.(Р) Рассчитайте емкость воздушной двухпроводной линии, провода которой

подвешены над поверхностью земли на высоте h1 4 ì, h2 4,5 м при расстоянии D 0,5 м между ними. Радиусы проводов R 0,6 ñì.

4.(Р) Рассчитайте емкость воздушных двухпроводных линий (рис. В25.3). Потенциал отмеченных штриховой линией поверхностей равен нулю. Определите погрешность расчета емкости при пренебрежении влиянием проводящей поверхности. Исходные численные данные сведены в таблицу.

Ðèñ. Â25.3

5. (Р). Один из проводов воздушной двухпроводной линии, протянутой над поверхностью земли, изолирован и не заряжен. Найдите его потенциал, а также напряжение U12 между проводами, если потенциал другого провода равен U 10 кВ, радиусы проводов R1 R2 1 см, расстояние между ними D 20 см, высота подвеса h 3 м. (Потенциал земли равен нулю.)

6. (Р) Наименьшая высота подвеса над землей проводов одинаковых радиусов R трехфазной транспонированной линии равна h (рис. В25.4), расстояние между соседними проводами равно D. При каком расположении проводов емкость линии имеет à) наименьшее, á) наибольшее значение?

124 Вопросы, упражнения, задачи к главам 23, 24 и 25

25.4. Метод средних потенциалов

ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ

1.(О) Почему трудности расчета емкости тела значительно уменьшаются, если известно распределение плотности заряда на его поверхности?

2.(О) Зависит ли погрешность расчета емкости между двумя прямолинейными параллельными отрезками проводов методом средних потенциалов от длины l отрезков и расстояния h между ними?

3.При каком условии метод средних потенциалов позволяет получить точное решение?

4.Какую форму имеет уединенное проводящее тело, емкость которого, рассчи- танная методом средних потенциалов, имеет точное значение?

5.(О) Зависит ли погрешность расчета емкости между двумя сферами методом средних потенциалов от à) их радиусов при заданном расстоянии между их центрами, á) расстояния между центрами при заданных радиусах сфер?

Глава двадцать шестая

Электрическое поле постоянных токов

26.1. Уравнения электромагнитного поля постоянных токов

В настоящей главе будем рассматривать поле постоянных токов в неподвижных проводниках и проводящих средах. Постоянный ток может протекать только в замкнутой проводящей цепи. Если электрическое сопротивление цепи отлично от нуля, то прохождение тока в ней вызывает падение напряжения. Следовательно, как в диэлектрике, окружающем проводники с постоянным током, так и внутри самих проводников будет существовать не только магнитное, но и электрическое поле. Эти постоянные поля называют с т а ц и о н а р н ы м и.

Первое уравнение Максвелла rot H J в этом случае указывает, что H, а следовательно, и B, òàê æå êàê è J, не зависят от времени. Поэтому из второго уравнения Максвелла rot E –B/t следует, что вне источников ЭДС rot E 0.

Таким образом, уравнения электромагнитного поля для постоянных токов в неподвижной проводящей среде вне источников ЭДС приобретают вид

rot H J; rot E 0; J ,E;

D E; B H ; divD ; divB 0.

Условие rot E 0 свидетельствует, что вне источника ЭДС электрическое поле постоянных токов является, так же как и электростатическое поле, безвихревым. Такое поле является потенциальным, т. е. для его характеристики может быть введена функция координат U (x, y, z), называемая электрическим потенциалом, причем E –grad U.

26.2. Электрическое поле в диэлектрике, окружающем проводники с постоянными токами

Рассмотрим сначала электрическое поле в диэлектрике, окружающем проводники с постоянными токами. Так как при отсутствии токов в диэлектрике следует принять в нем 0, то поле в диэлектрике характеризуется уравнениями:

rot E 0, ò. å. E gradU; D E; divD 0.

Для однородной среды, когда const, эти уравнения дают div E 0 èëè div grad U 0, т. е. потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа.

Таким образом, в самом диэлектрике такое поле ничем не отличается от электростатического. Однако граничные условия на поверхности проводников уже не соответствуют тем, которые имеют место в электростатике. В электростати- ческой задаче поверхность каждого проводника является поверхностью равного потенциала. При прохождении по проводнику электрического тока в проводнике возникает падение потенциала, и, следовательно, поверхность проводника уже не будет равнопотенциальной. Линии напряженности электрического поля в диэлектрике подходят к поверхности проводника не под прямым углом, так как на поверхности проводника появляется касательная составляющая напря-

Если среда неоднородна в отношении проводимости, то линии тока остаются в ней непрерывными, что следует из принципа непрерывности тока, выражаемого условием J ds 0 èëè div J 0, которое представляет собой обобщенную

s

форму первого закона Кирхгофа соответственно в интегральной и в дифференциальной формах. Но в такой неоднородной среде линии напряженности электрического поля будут прерывными. На поверхности раздела двух сред с различными удельными проводимостями нормальная составляющая вектора напряженности электрического поля изменяется скачкообразно.

Поверхности проводников, являющиеся границами между проводящей средой и диэлектриком, очевидно, образуются совокупностью линий тока, так как нормальная к ним составляющая вектора плотности тока равна нулю.

Âнастоящей главе будем исследовать пространственное распределение тока

âмассивных проводящих средах. Поле вектора плотности тока в таких средах, вообще говоря, будет неоднородным, и для вычисления тока i, проходящего сквозь некоторую поверхность s, взятую в проводящей среде, необходимо произ-

водить интегрирование i J ds.

s

Внутри проводящей среды вне источников ЭДС всюду соблюдается условиеE dl 0 èëè rot E 0, что выражает второй закон Кирхгофа соответственно в

интегральной и дифференциальной формах в области, где нет источников ЭДС Поле оказывается потенциальным. Поверхности равного электрического потенциала, определяемые уравнением U(x, y, z) const, пересекаются линиями напряженности электрического поля под прямым углом, а следовательно, в изотропной среде они пересекаются под прямым углом и линиями тока.

Таким образом, электрическое поле и поле вектора плотности тока в проводящей среде вне источников ЭДС характеризуются системой уравнений:

rot E 0; J ,E; divJ 0.

Эти уравнения вытекают из приведенной в § 26.1 системы уравнений, причем уравнение div J 0, как было указано в § 23.5, является следствием уравнения rot H J, òàê êàê div rot H 0.

Вопрос о пространственном распределении тока чрезвычайно важен при рассмотрении многих практических задач, например при исследовании токов в зем-

если в последних заменить вектор электрического смещения D вектором плотности тока J, электрический заряд q — током i и абсолютную диэлектриче- скую проницаемость — удельной проводимостью ,.

В выражении J ds i величина i есть ток сквозь сечение s трубки тока.

s

Этот ток протекает сквозь любое сечение трубки, в частности в начале трубки, где ток вводится в рассматриваемую проводящую среду из электрода, погруженного в эту среду. В выражении D ds q величина q есть заряд на поверхно-

s

сти заряженного тела в начале рассматриваемой трубки электрического смещения, а s — любое сечение этой трубки. Отсюда ясно, что если условия для вектора J ,E на границе данной проводящей среды с удельной проводимостью , совпадают с условиями для вектора D E на границе такой же формы диэлектрика с абсолютной диэлектрической проницаемостью , то электрические поля

âпроводящей среде и в диэлектрике должны быть аналогичны друг другу.

Âэлектростатической задаче границей диэлектрика является поверхность проводящего тела. Эта поверхность есть поверхность равного потенциала, и вектор D к ней нормален. В примерах, рассмотренных в предыдущем параграфе, границей плохо проводящей среды (почвы или несовершенной изоляции) является поверхность проводников. С большой степенью точности эту поверхность можно считать поверхностью равного потенциала и вектор плотности тока J

âплохо проводящей среде считать направленным по нормали к ней. На основании изложенного можно утверждать, что картина электрического поля токов (в почве или в изоляции) в этих задачах должна совпадать с картиной поля в соответствующих электростатических задачах.

На этом основан так называемый м е т о д э л е к т р о с т а т и ч е с к о й а н а - л о г и и, позволяющий в ряде случаев при расчете токов в проводящей среде воспользоваться готовыми решениями соответствующих задач электростатики. Метод электростатической аналогии дает возможность также заменить исследование электростатического поля экспериментальным исследованием поля тока в проводящей среде, о чем будет сказано в § 30.13.

Âчастности, формулы для электрической проводимости G i/U сред, в которых протекает ток, могут быть получены из соответствующих формул для ем-

кости C q/U тел, так как в аналогичных задачах ток i заменяется зарядом q. Электрическая емкость тела или емкость между телами определяется геометри- ческими параметрами тел и абсолютными диэлектрическими проницаемостями сред, окружающих тела. Поэтому, чтобы получить формулу для G, достаточно заменить в соответствующей формуле для C абсолютные диэлектрические проницаемости диэлектриков удельными проводимостями , проводящих сред. Если проводящая среда и соответственно диэлектрик однородны, то в формулу для проводимости G удельная проводимость , входит множителем и соответст-

130 Часть 4. Теория электромагнитного поля

венно в формулу для емкости Ñ абсолютная диэлектрическая проницаемость также входит множителем. В таком случае для аналогичных задач имеем

G , .

C

26.6. Ток утечки в кабеле и сопротивление изоляции кабеля

Формулу для проводимости G можно было написать сразу, пользуясь методом электростатической аналогии. Для этого достаточно в формуле для емкости кабеля

C 2l ,

ln r2 r1

приведенной в § 25.1, п. 5, заменить на ,.

26.7. Сопротивление заземления

Для осуществления соединения какой-либо точки электрической цепи с землей зарывают в землю металлические проводники, к которым и присоединяют соответствующую точку цепи. Систему таких зарытых в землю проводников называют з а з е м л и т е л е м. Так, например, при соединении в звезду обмоток высокого