Теоретические основы электротехники-3

Соответственно для сторон, имеющих длину b и расстояние между осями

Внешние индуктивности сторон, имеющих длины a è b, равны

Внутреннюю индуктивность всей рамки находим, замечая, что длина контура

где — абсолютная магнитная проницаемость материала провода. Таким образом, получаем окончательно

28.7. Взаимная индуктивность между двумя двухпроводными линиями

Найдем выражение для взаимной индуктивности между двумя двухпроводными линиями, образованными проводами круглого сечения. На рис. 28.10 цифрой

В числителе под знаком логарифма стоят расстояния между прямым проводом одной линии и обратным проводом другой линии, а в знаменателе — рас-

ЭДС взаимной индукции, обусловленная токами в других проводах линии. Рассмотрим трехпроводную линию, т. е. линию, в которой отсутствует нейтральный провод. Обычно активные сопротивления r и индуктивности L одинаковы для всех трех проводов. Однако взаимные индуктивности M12, M23 è M31 между проводами при несимметричном расположении проводов будут отличаться друг от друга. Если токи в линии изменяются по синусоидальному закону, то можно воспользоваться символическим методом и для падения напряжений в проводах написать выражения:

Выражения, стоящие в круглых скобках, все вещественны только в случае симметричного расположения проводов, когда

M12 M 23 M 31 M.

Действительно, принимая во внимание, что a2 + a –1, в этом случае полу-

Разность L – M L в последних уравнениях можно рассматривать как эквивалентную индуктивность одного провода. Индуктивность L уединенного провода длиной l и с радиусом сечения R выражается формулой

где — абсолютная магнитная проницаемость материала провода.

Взаимная индуктивность M между параллельными проводами диной l с расстоянием между осями D ïðè l 00 D выражается формулой

184 Часть 4. Теория электромагнитного поля

При этом перед формулой следует взять знак плюс, так как положительные направления токов во всех проводах мы принимаем в одну сторону вдоль линии передачи. Таким образом,

При несимметричном расположении проводов расстояния между осями про-

водов не равны друг другу: D12 D23 D31.

Однако если через равные интервалы вдоль линии осуществлена транспозиция проводов, то выражение для L сохранит свой вид, если под M понимать среднее значение взаимной индуктивности для трех участков линии:

ãäå

D' 3D12 D23 D31 .

В несимметричной трехфазной линии при прохождении по ней переменного тока имеют место своеобразные энергетические процессы. В уравнениях (*) при M12 M23 M31 выражения, стоящие в круглых скобках, являются комплексными. Их мнимые части после умножения на j! дадут вещественные величины, имеющие смысл активных сопротивлений.

Складывая выражения, стоящие в уравнениях (*) в круглых скобках для всех трех фаз, получим при каждой взаимной индуктивности вещественный множитель a2 + a –1. Следовательно, сумма дополнительных активных сопротивлений во всех трех фазах равна нулю, т. е. если в отдельных фазах они положительны, то в других они отрицательны. Иными словами, если из одних фаз энергия отдается, то в другие она поступает в том же количестве, т. е. совершается перенос энергии путем электромагнитной индукции из одной фазы в другую.

В заключение главы отметим, что разработке методов расчета индуктивностей посвящен ряд работ советских авторов: Г. Н. Петрова, Л. А. Цейтлина, В. А. Фока и других.

Вопросы, упражнения, задачи к главам 26, 27 и 28

26.1. Электрическое поле постоянных токов в диэлектрике и в проводящей среде

ВОПРОСЫ

1.Чем различаются электрические поля, определяемые понятиями «статиче- ские» и «стационарные»?

2.Почему при протекании электрического тока по проводам, выполненным из вещества с конечной электрической проводимостью, в окружающем их диэлектрике возникает электрическое поле?

3.(О) По проводам, находящимся в диэлектрике, протекает постоянный ток. В каких точках величина div D не равна нулю?

4.(О) Проводящее тело расположено в диэлектрике вблизи провода, по которому протекает постоянный электрический ток. Существует ли электрическое поле внутри проводящего тела? Каково значение плотности электрического заряда à) внутри тела, á) на его поверхности, â) в диэлектрике, ã) на поверхности провода с током, ä) внутри провода с током?

5.Постоянный ток течет по проводу, в объеме которого имеется полость. Существует ли электрическое поле внутри полости?

6.В диэлектрике выделен некоторый объем. Можно ли, не выходя за пределы этого объема, определить, является ли поле в объеме электростатическим или стационарным электрическим полем постоянного тока?

7.Почему в некоторых случаях стационарное электрическое поле в диэлектрике можно рассматривать как электростатическое?

8.Какое из полей в диэлектрике с большим основанием можно рассматривать как электростатическое: поле проводов высоковольтной линии передачи или поле шин низковольтной сильноточной линии, например, шин электросварочного устройства?

9.(О) На границе двух сред с различными удельными электрическими проводимостями выполняется неравенство div E 0. Свидетельствует ли оно о существовании электрических зарядов на поверхности раздела сред?

10.Во сколько раз изменяется густота линий напряженности картины электри- ческого поля постоянного тока, направленных по нормали к границе раздела

двух сред с удельными электрическими проводимостями ,1 è ,2?

11.(О) В проводящую среду с удельной электрической проводимостью , введен электрод проводимостью ,1 00 ,, в который входит ток. Каким следует принять граничное условие для потенциала на поверхности электрода при расчете электрического поля в проводящей среде?

12.В электростатическом поле трубки вектора электрического смещения опираются на равные заряды противоположных знаков. Каково аналогичное утверждение для трубок вектора плотности электрического тока в проводящей среде?

186 Вопросы, упражнения, задачи к главам 26, 27 и 28

13.Почему в некоторых случаях целесообразно перейти от исследования электростатического поля к экспериментальному изучению электрического поля тока в проводящей среде?

14.(О) При выполнении какого условия поверхность заземляющего электрода можно считать эквипотенциальной? Выполняется ли это условие на практике?

УПРАЖНЕНИЯ

1.(Р) Запишите уравнения, которым удовлетворяет электрический потенциал стационарного поля в à) однородном, á) неоднородном диэлектрике.

2.(Р) Длинная двухпроводная линия постоянного тока с проводами круглого сечения с радиусом R протянута в однородном неидеальном диэлектрике с удель-

ной электрической проводимостью ,. Сопротивление двух проводов линии на единицу ее длины равно r. На входных зажимах линии действует напряжение Uâõ. Найдите зависимость напряжения на выходных зажимах линии от ее длины l при условии, что линия à) разомкнута, á) замкнута на резистор rí. Расстояние D между осями проводов значительно превышает их радиусы.

3.(Р) На двух противоположных сторонах квадратной проводящей пластины

постоянной толщиной d заданы потенциалы U1 è U2. Покажите, что ток i пластины не зависит от размеров ее сторон.

4.(Р) Две противоположные стороны 1, 2 прямоугольной пластины постоянной толщиной (рис. В26.1) покрыты слоем вещества, удельная электрическая прово-

димость ,ý которого значительно больше удельной электрической проводимости ,ï вещества пластины. Они присоединены к источнику тока. В пластине имеется вырез A, а также трещина AB, препятствующая прохождению тока. Другой вырез B в пластине заполнен веществом с удельной электрической проводимостью , ,ï. Запишите уравнение, которое описывает потенциал электрического поля, а также краевые и граничные условия на сторонах 1, 2, 3, 4 пластины, вырезах и трещине.

5.(Р) Между двумя плоскими заряженными пластинами 1, 2 конечных размеров (рис. В26.2) имеется два слоя диэлектрика с проводящим и диэлектрическим вкраплениями. Пользуясь методом электростатической аналогии, изобразите устройство, поле постоянного тока в котором аналогично электростатическому полю между пластинами.

6.(Р) Получите формулу и постройте кривую зависимости проводимости G изоляции цилиндрического конденсатора от расстояния D между осями обкладок.

Рассчитайте G при радиусах обкладок R1 5 ñì, R2 10 ñì, D 2 см; удельная электрическая проводимость неидеального диэлектрика , 10–9 Ñìм. Длина обкладок конденсатора 1 м.

7.(Р) Удельные электрические проводимости диэлектриков слоев двухслойно-

го цилиндрического коаксиального кабеля равны ,1 10–8 Ñìì, ,2 10–9 Ñìм. Радиусы обкладок и граничной поверхности слоев R1 3 ñì, R3 5 ñì, R2 4 см. Определите подведенное к конденсатору напряжение, при котором ток утечки составляет 2 10–3 А. Длина кабеля 1 км.

8.(Р) Диэлектрическая проницаемость среды, окружающей двухпроводную

линию, равна 20, ее удельная электрическая проводимость , 10–8 Ñìм. При какой частоте подведенного к линии синусоидального напряжения амплитуда тока проводимости в среде равна амплитуде тока электрического смещения?

27.1. Скалярный потенциал магнитного поля

ВОПРОСЫ

1.Какой характер имеет магнитное поле, скалярный потенциал которого изменяется по линейному закону вдоль одной из координат и не зависит от двух других координат?

2.Какому уравнению удовлетворяет скалярный магнитный потенциал поля в à) однородной в магнитном отношении среде, á) неоднородной среде?

3.(О) Какие ограничения следует наложить на выбор пути интегрирования вектора напряженности магнитного поля, чтобы его скалярный потенциал был однозначным?

4.Почему, несмотря на неоднозначность скалярного магнитного потенциала, определяемая с его помощью напряженность поля однозначна?

5.(О) Может ли скалярный магнитный потенциал иметь разрывы в некоторых точках пространства? Могут ли иметь разрывы его первые производные по пространственным координатам?

6.(О) В чем заключается упрощение расчета исходного вихревого поля H при разложении его на вихревую Hâ и потенциальную –grad Uì составляющие:

H Hâ – grad Uì?

7.(О) Правую часть уравнения div grad Uì div Hâ, взятую с обратным знаком, по аналогии с уравнением относительно потенциала электрического поля можно рассматривать как объемную плотность «магнитных» зарядов. Какова размерность «магнитных» зарядов, их объемной, поверхностной и линейной плотности?

8.Почему вихревую составляющую Hâ поля рассчитать значительно проще, чем искомое вихревое поле H ?

9.Потенциал Uì вихревого поля в области, где протекает электрический ток, не может быть введен в рассмотрение. Почему все же можно ввести и рассчитать

3.(О) Электрический ток течет по кольцевому проводнику, помещенному в однородную среду (ñ const), и имеет в цилиндрической системе координат единственную составляющую J . Каково направление вектора A?

4.Почему на оси провода бесконечно малого сечения с током i векторный магнитный потенциал не имеет смысла?

5.Какой из методов расчета трехмерного магнитного поля — на основе скалярного или векторного магнитного потенциала — требует большего объема вычислений?

6.Магнитная индукция однородного поля равна B iBx. Изменяется ли векторный магнитный потенциал вдоль координат õ, ó, z?

7.(О) Векторный магнитный потенциал A iC | y | не зависит от координат õ, z. Какое поле описывает этот потенциал? Где расположен и как направлен ток, создающий такое поле?

8.Магнитный поток сквозь поверхность равен нулю. Означает ли это, что на контуре, ограничивающем поверхность, векторный магнитный потенциал à) обращается в нуль, á) имеет равное нулю среднее значение?

9.Во всех точках контура направление векторного магнитного потенциала перпендикулярно вектору dl, касательному к контуру. Чему равен магнитный поток сквозь поверхность, ограниченную контуром?

10. Можно ли, пользуясь выражением Adl, вычислить магнитный поток

l

сквозь поверхность, проходящую à) полностью в проводящей среде, á) частично в проводящей среде и частично в диэлектрике?

УПРАЖНЕНИЯ

1.Электрический ток течет по круглому кольцу, расположенному в неоднородной среде. При какой форме размещенных в поле тока намагничивающихся тел векторный магнитный потенциал имеет во всех точках пространства только

одну отличную от нуля составляющую A ? Почему при произвольной форме ферромагнитного тела имеются и другие составляющие?

2.Объясните, почему введенная соотношением B rot A функция A носит название векторного потенциала магнитного поля?

3.(Р) Используя аналогию уравнений Пуассона для скалярного электрического потенциала и для составляющих векторного магнитного потенциала, выясните

характер изменения функции À(r) ïðè r . в случае плоскопараллельного поля.

4.(Р) Электрический ток i 100 А течет по бесконечно длинному прямолинейному проводу круглого сечения радиусом R 2 см, расположенному в однородной среде с магнитной проницаемостью 0. Рассчитайте и постройте кривые зависимостей À(r), Â(r) внутри и вне провода.

5.(Р) Используя метод наложения, рассчитайте зависимость À(õ) вдоль линии, соединяющей ближайшие друг к другу точки двух бесконечно длинных прямолинейных проводов круглого сечения с токами встречных направлений, распо-

190 Вопросы, упражнения, задачи к главам 26, 27 и 28

ложенных в однородной среде с магнитной проницаемостью 0. Расстояние между осями проводов d 10 см. Ток каждого провода i 80 À.

6. (Р) В пазу прямоугольной формы, изображенном на рис. В27.2, размещены два провода прямоугольного сечения с токами встреч- ных направлений. Допуская, что имеющий единствен-

ную составляющую Àz векторный магнитный потенциал зависит только от координаты ó, найдите зависимости Àz(ó), Âx(y) äëÿ 0 Β y Β h и постройте кривые их изменения. Ток одного провода i 50 А, магнитная проницаемость вещества провода 0.

7. (Р) Два одинаковых прямолинейных весьма длинных провода с токами i1 è i2 параллельны оси z и симметрич- ны относительно плоскости yz. Каким условиям удовле-

творяет векторный магнитный потенциал в точках плос- Ðèñ. Â27.2 кости yz ïðè à) i1 –i2, á) i1 i2?

8.(Р) Рассчитайте векторный магнитный потенциал À(r) поля, создаваемого то-

ками коаксиального кабеля. Радиус жилы R1 2 см, радиусы оболочки R2 4 ñì, R3 5 см. Ток кабеля i 100 А, магнитная проницаемость равна 0 всюду.

9.Прямолинейный бесконечно длинный провод с током i 10 А и радиусом се- чения R 2 см подвешен в воздухе над плоской поверхностью тела на высоте h 4 м. Определите векторный магнитный потенциал и его нормальную производную в точках поверхности, если она является поверхностью à) идеально намагниченного, á) идеально проводящего тела.

10.(Р) В плоскости прямолинейного весьма длин-

ного провода с током i 20 А расположены изображенные на рис. В27.3 контуры прямоугольной (à) и треугольной (á) формы. Рассчитайте сцепленный

с контурами магнитный поток, принимая a 2 ñì,

Ðèñ. Â27.3

b 4 ñì, l 4 см. Магнитная проницаемость равна0 всюду.

11.(Р) Один из круговых контуров расположен в плоскости z 0, а другой — в плоскости 0 цилиндрической системы координат. Определите потокосцепление взаимной индукции.

12.(Р) Расположение проводов двухпроводных линий

указано на рис. В27.4.

Рассчитайте взаимную индуктивность между линиями. Примите 0.