Теоретические основы электротехники-3

Такому соотношению приблизительно и удовлетворяет поле, построенное на рис. 24.21.

24.17. Графический метод построения картины поля для неоднородной изолирующей среды

Все вышеизложенное относилось к однородной среде. Допустим, что изолирующая среда состоит из нескольких однородных диэлектриков с различными зна- чениями , причем поверхности раздела между диэлектриками для плоскопараллельного поля являются цилиндрическими поверхностями и для поля тел вращения — поверхностями вращения вокруг общей оси. При этом лучше изображать на рисунке не линии напряженности поля, а линии электрического смещения, так как на поверхности раздела двух диэлектриков трубки смещения не претерпевают разрыва.

Òàê êàê D E è 4D 4E, то будем иметь для плоскопараллельного поля

ãäå 4>D 4D/l — поток смещения, рассчитанный на единицу длины проводников. Следовательно, для плоскопараллельного поля получается условие

n p k1,a

ãäå k1 const è p — абсолютная диэлектрическая проницаемость в той области, где строится ячейка сетки поля.

Для поля тел вращения

è

n r p k2 ,a

ãäå k2 const.

Кроме того, необходимо принять во внимание условие преломления линий электрического смещения на поверхности раздела двух диэлектриков (см. § 24.6).

24.18. Тело из диэлектрика во внешнем электростатическом поле

Практическое значение имеет задача о расчете поля в случае, когда тело из диэлектрика вносится в заданное внешнее поле. Положительно заряженные частицы, входящие в состав атомов и молекул вещества, смещаются в направлении поля, а отрицательно заряженные частицы — в противоположном направлении. На поверхности тела появляются связанные заряды разных знаков. Эти связанные заряды создают свое поле как внутри тела, так и вне его. Напряженность E результирующего поля является геометрической суммой напряженности E0 внешнего поля и напряженности E1 поля связанных зарядов. Трудность задачи

62 Часть 4. Теория электромагнитного поля

заключается в том, что поляризация вещества, а следовательно, и связанные заряды определяются результирующей напряженностью E, которая сама зависит от связанных зарядов.

Если тело из диэлектрика находится в среде, диэлектрическая проницаемость которой меньше диэлектрической проницаемости вещества тела, то внутри тела поле связанных зарядов направлено против внешнего поля. Это нетрудно усмотреть из рис. 24.22. Такое поле связанных зарядов внутри тела называют деполяризующим электрическим полем, и его напряженность обозначают через E?.

Ðèñ. 24.22

Задача расчета заключается в следующем. Необходимо найти распределение связанных зарядов, создающих такое поле, которое, будучи наложенным на заданное внешнее поле, дает результирующее поле, удовлетворяющее граничным условиям на поверхности тела — равенству касательных составляющих вектора E и равенству нормальных составляющих вектора D по обе стороны поверхности. В следующем параграфе рассмотрен простейший пример задачи такого типа.

24.19. Диэлектрический шар во внешнем однородном поле

Пусть шар из диэлектрика внесен во внешнее однородное поле напряженности E0 , существующее в пустоте. Предположим, что шар поляризуется однородно, т. е. что однородно результирующее поле, создающее поляризацию, и, следовательно, однородно и деполяризующее поле.

Обозначим напряженность деполяризующего поля через E?. Следовательно, напряженность результирующего поля внутри шара будет

E E 0 E ? .

Направим ось OZ в сторону внешнего поля (рис. 24.23). Вследствие симметрии относительно оси OZ достаточно рассмотреть поле в одной меридианной плоскости.

Потенциал U внутри шара найдется из условия

E U ,z

откуда

U E z const.

Глава 24. Электростатическое поле 63

Полагая U 0 ïðè z 0 и замечая, что z r cos , получим U (E 0 E ? ) r cos .

При этом составляющая –E0 r cos представляет собой потенциал внешнего поля, а составляющая E? r cos — потенциал поля связанных зарядов внутри шара.

Ðèñ. 24.23

Во внешнем пространстве однородно поляризованный шар создает поле такое же, как электрический диполь, помещенный в центре шара. Действительно, неполяризованный диэлектрический шар можно представить себе как две наложенные друг на друга разноименно заряженные сферы с зарядами, равномерно распределенными по их объему. Эти заряды образуются совокупностью положительных и соответственно отрицательных элементарных частиц, входящих в состав молекул диэлектрика. При однородной поляризации все молекулы поляризуются одинаково. Пусть d — длина осей элементарных диполей, т. е. среднее расстояние, на которое смещаются друг от друга в молекулах заряды противоположных знаков. Весь поляризованный шар эквивалентен двум равномерно и разноименно заряженным сферам, смещенным друг от друга на расстояние d. Но каждая сфера создает во внешнем пространстве такое же поле, как если бы весь заряд был сосредоточен в ее центре. Следовательно, две смещенные относительно друг друга сферы эквивалентны диполю.

Так как радиус R шара много больше длины d диполя, то вне шара потенциал поля, вызванного поляризацией шара, определится приведенной в § 24.2 форму-

ëîé p cos , ãäå p — электрический момент диполя, эквивалентного поляризо- 4 0 r 2

ванному шару.

Налагая этот потенциал на потенциал внешнего однородного поля, вне шара будем иметь

Обозначим результирующую напряженность поля и электрическое смещение вне шара E è D. Используем граничные условия на поверхности шара.

64 Часть 4. Теория электромагнитного поля

ò. å.

E 0 sin p cos (E 0 E ? ) sin . 4 0 R3

Следовательно,

p

Используя выражение E ? 4 0 R3 , получаем

0 E 0 2 0 E ? E 0 E ?

è

E ? 0 E 0 .Α 0

Таким образом, момент эквивалентного диполя равен

p 4 0 R3 E ? 4R3 0 Α00 E 0 .

Нам удалось выразить p è E через напряженность E0 заданного внешнего поля. При этом граничные условия на поверхности шара удовлетворяются для всех точек поверхности, т. е. для любого значения при r R. Следовательно, наше предположение, что шар в однородном поле поляризуется однородно, правильно.

Нетрудно найти распределение связанных зарядов по поверхности шара. Именно поверхностная плотность этих зарядов равна нормальной составляющей вектора поляризованности:

Pn P cos ,

Мы нашли распределение связанных зарядов из условия, что шар поляризован однородно. Можно высказать обратное положение, что распределение связанных зарядов на поверхности шара с плотностью, пропорциональной cos , вызывает однородное деполяризующее поле внутри шара.

Можно доказать, что таким же замечательным свойством поляризоваться однородно во внешнем однородном поле обладает эллипсоид. Шар является его частным случаем.

Нетрудно сообразить, что тело произвольной формы будет поляризоваться в однородном поле неоднородно. Рассмотрим, например, цилиндр конечной длины, помещенный в однородное поле так, что его образующие совпадают с направлением поля (рис. 24.24). Если предположить, что цилиндр поляризуется однородно, то связанные

заряды появятся только на его торцах. Очевидно, при этом поле связанных зарядов не может быть внутри цилиндра однородным, а следовательно, неоднородным будет и результирующее поле, что противоречит предположению об однородной поляризации.

24.20. Общий метод расчета электрического поля в неоднородной среде. Метод интегральных уравнений

В предыдущих параграфах были рассмотрены некоторые частные случаи расче- та электрических полей в однородных средах. В § 24.3 приведен общий метод определения потенциала в однородной среде по заданному распределению зарядов. В § 24.18 показано, что в случае неоднородных сред на границах раздела однородных сред появляются связанные заряды. Если среда неоднородна, то под воздействием внешнего поля связанные заряды появляются по всему ее объему. Распределение этих зарядов определяется не только напряженностью электри- ческого поля свободных зарядов, но и самими связанными зарядами. Напомним, что трудность решения рассматриваемой задачи заключается в том, что поляризация вещества, а следовательно, и связанные заряды определяются результирующей напряженностью E, которая сама зависит от распределения связанных зарядов. Таким образом, для применения метода § 24.3 необходимо привести неоднородную среду к эквивалентной ей однородной.

Допустим, что поверхность s разделяет объем Vi с неоднородной диэлектри- ческой проницаемостью i(x, y, z), и объем Ve с однородной диэлектрической проницаемостью e const. В объемах Vi è Ve распределены заряды с объемной плотностью i è e соответственно (рис. 24.25).

66 Часть 4. Теория электромагнитного поля

Для нахождения величин связанных за-

Допустим, что рассматриваемую задачу расчета поля в неоднородной среде мы хотим заменить задачей расчета поля в однородной среде с диэлектрической проницаемостью . Для этого следует определить объемную плотность зарядов, соответствующих новому значению диэлектрической проницаемости.

Для сохранения неизменными величин divE i è divE e при переходе к одно-

с другой стороны поверхности.

Напряженность электрического поля в точке на границе раздела сред можно разделить на две части: образованную всеми зарядами за исключением поверхностного заряда, расположенного в этой точке (En), и образованную поверхностным зарядом, расположенным в этой точке. Тогда нормальные составляющие напряженности поля с обеих сторон поверхности равны соответственно

Если их подставить в выражающее граничное условие соотношение iEnieEne, то можно найти величину :

Таким образом, переход от неоднородной среды к однородной можно выполнить, если в точках неоднородности поместить электрические заряды, объем - ная и поверхностная плотности которых определяются через неизвестные величины E è En, которые сами зависят не только от заданных сторонних, но и от искомых «вторичных» зарядов.

Для записи уравнений, которым удовлетворяют объемная и поверхностная плотности вторичных источников, выразим величины E è En через плотности

(r — вектор, направленный от точки, где расположен заряд, к точке, в которой находим величину E, и равный расстоянию между ними), E n E n и, подставляя их в полученные выше выражения (*), (**), находим:

Решая систему из двух интегральных уравнений, можем отределить плотности и зарядов и рассчитать напряженность E ïîëÿ.

В кусочно-однородной среде, когда диэлектрическая проницаемость i вещества тела, находящегося в среде с проницаемостью e, имеет одинаковое значе- ние во всех точках, имеем grad i 0, вследствие чего при переходе к однородной среде с диэлектрической проницаемостью «вторичные» источники размещены только на поверхности s и подчиняются уравнению

68 Часть 4. Теория электромагнитного поля

Решение интегральных уравнений является сложной задачей и может быть найдено в общем случае численными методами. В некоторых случаях, когда поверхность раздела является плоской, цилиндрической либо сферической, могут быть применены аналитические методы решения.

Свойства полученных уравнений, относящихся к интегральным уравнениям типа Фредгольма второго рода, зависят как от коэффициента при входящей под знак интеграла искомой плотности заряда, называемого ядром, так и от зна- чения множителя . При расчете трехмерного электрического поля ядро имеет

âèä cos(r, n), тогда как при рассмотрении плоскопараллельного поля оно, как r 2

нетрудно убедиться, суть cos(r, n). Для двухмерных полей входящие в уравне- r

ние интегралы по объему переходят в поверхностные, а интегралы по поверхностям — в контурные.

В данном случае решение этого уравнения тривиально, так как входящий в него интеграл равен нулю вследствие симметричного распределения зарядов на поверхности цилиндра: 2eE0n.

При условии однородности внешнего поля имеет место соотношение E0nE0 cos и, следовательно, 2e E0 cos .

Глава 24. Электростатическое поле 69

Можно показать, что полученное распределение заряда создает внутри ци-

зи с чем результирующее поле внутри цилиндра также является однородным на-

Ïðè i 0 e деполяризующее электрическое поле направлено навстречу внешнему, что имеет место при 0 0.

Решим методом интегральных уравнений рассмотренную в § 24.19 задачу о шаре с диэлектрической проницаемостью i, внесенном в однородное поле напряженностью E 0 , существующем в среде с диэлектрической проницаемостью .

Аналитическое решение интегрального уравнения для плотности вторичных источников при неоднородной поляризации тела даже при его простой форме затруднительно. В таких задачах интегральное уравнение решают численно.

24.21. Проводящее тело во внешнем электростатическом поле. Электростатическое экранирование

Большое практическое значение имеют также задачи, в которых рассматриваются заряженные или незаряженные проводящие тела, внесенные в заданное внешнее электрическое поле. Поле внутри проводящего тела исчезает. В пространстве вне тела внешнее поле изменяется. На поверхности тела наводятся (индуцируются) электрические заряды. Это называется я в л е н и е м э л е к - т р о с т а т и ч е с к о й и н д у к ц и и. На рис. 24.28 в виде примера показано результирующее поле около проводящего тела, внесенного в поле заряженных пластин.

70 Часть 4. Теория электромагнитного поля

Если внесенное тело не было заряжено, то сумма наведенных на нем зарядов оказывается равной нулю. Эти заряды распределяются так, чтобы их поле внутри проводящего тела в точности скомпенсировало поле всех внешних зарядов. Ничто не изменится, если проводящее тело будет полым — во всей полости тела поле также будет отсутствовать. Этим обстоятельством широко пользуются для электростатического экранирования электрических измерительных приборов и эле-

ментов измерительных схем от внешних электрических полей. С этой целью приборы помещают в замкнутые металлические оболочки, называемые экранами. Как показывает опыт, достаточно выполнить экраны из мелкой металличе- ской сетки.

Если желательно придать самому экрану потенциал, равный нулю, то экран соединяют с землей. Это бывает полезно, например, в случае, если от прибора, заключенного в экран, выходят проводники к внешней схеме, которая находится при потенциале, близком к потенциалу земли.

Заземленный экран способен в равной мере защищать внешнее пространство от поля зарядов, помещенных внутри экрана.

Подобную экранирующую роль играет защитная свинцовая оболочка кабелей (рис. 24.29, à). Поле, существующее между отдельными проводами кабеля, не выходит за пределы свинцовой оболочки, и этим исключается электростати- ческое влияние кабеля на близлежащие провода линий связи. Иногда в кабеле экранируют каждый провод в отдельности (рис. 24.29, á), чем достигается более равномерное распределение поля около каждого из проводов кабеля.

Ðèñ. 24.29

Интересуясь результирующим полем, которое образуется вне проводящего тела, внесенного во внешнее поле, например в случае, показанном на рис. 24.28, мы должны рассматривать это поле как результат наложения поля наведенных на теле зарядов на заданное внешнее поле. Если, кроме того, внесенное тело имеет суммарный заряд, отличный от нуля, то необходимо наложить еще и поле этого заряда.

Пример расчета результирующего поля приведен в следующем параграфе.