Теоретические основы электротехники-3

Вопросы, упражнения, задачи к главам 23, 24 и 25

23.1. Уравнения электромагнитного поля в дифференциальной форме

ВОПРОСЫ

1. (О) Какими характерными свойствами должны отличаться задачи, которые можно решить на основе уравнений электромагнитного поля, записанных в интегральной форме?

2. Правильно ли понимать под электрическим током только движение заряженных частиц или тел?

3. Создается ли магнитное поле электрическим полем, à) не изменяющимся во времени, á) изменяющимся во времени по линейному закону, â) изменяющимся во времени по синусоидальному закону?

4. (О) Зависит ли входящий в правую часть уравнения E dl d магнитный dt

l

поток от электрического тока, индуцируемого этим потоком?

5.(О) При каком условии в проводящем теле, находящемся в не изменяющемся во времени магнитном поле, может индуцироваться ЭДС?

6.Каково значение величины rot H в однородном магнитном поле?

7.Можно ли, зная направление и значение напряженности магнитного поля в точке, указать в этой точке à) направление вектора rot H, á) значение модуля вектора rot H?

8.Во всех точках некоторой области выполнено уравнение rot H 0. Может ли в этой области существовать магнитное поле?

9.(О) Можно ли понимать под магнитной индукцией B, входящей в правую часть второго уравнения Максвелла, индукцию стороннего поля, не зависящую от индуцируемого им электрического поля?

10.(О) Является ли безвихревым электрическое поле, единственная составляю-

щая напряженности Ex прямоугольной системы координат которого есть функция только координаты x?

11.Является ли функция div D векторной?

12.Зависит ли значение функции div A в точке от выбора системы координат, в которой ее рассчитывают?

13.Может ли соленоидальное поле быть вихревым?

14.Чем различаются изображения силовых линий электрического поля в областях, где имеются сосредоточенные электрические заряды и где их нет?

15.Плотность какого из зарядов входит в правую часть уравнения div E 1 : свободного или связанного?

электрического поля на расстоянии r 2 ñì < R от оси стержня, пренебрегая индуцируемым в стержне током.

7. (Р) Является ли вихревым электрическое поле, напряженность E которого задана выражением à) E iby + jax + kcz, á) E jear, â) E iE1 + jE2 + kE3,

ã) E (iax + jby + kcz)–2, ä) E (iax + jby + kcz), å) E kEm sh ax, æ) E jEm sin cz, ç) E (iax + jby + kcz)r 32, ãäå a, b, c, E1, E2, E3 — постоянные, r x 2 y 2 z2 .

8. (Р) Бесконечно длинная стальная пластина, ширина d которой значительно превышает ее толщину h, расположена в плоскости y 0, нормальной к линиям индукции B Bm sin ! t однородного магнитного поля. Определите плотность Jz(x) тока по ширине пластины при допущении, что магнитная индукция, обусловленная индуцированным в пластине током, значительно меньше Bm. Удельная электрическая проводимость стали равна 106 См/м. Рассчитайте ток в пластине при d 5 ñì, h 2 ìì, Bm 0,001 Òë, ! 314 ñ–1.

9.(Р) Рассчитайте плотность J(r) тока, индуцированного в тонком стальном диске, толщина h которого значительно меньше радиуса R 2,5 см и плоскость которого перпендикулярна линиям магнитной индукции B 0,001 sin 314 t Тл внешнего однородного поля при допущении, что магнитная индукция, созданная

индуцированным в диске током, значительно меньше индукции внешнего магнитного поля. Удельная электрическая проводимость стали равна 106 Ñì/ì.

10.(Р) Напряженность электрического поля задана одним из выражений, приведенным в упр. 7. Найдите плотность (x, y, z) электрического заряда, создающего потенциальное поле и распределенного в однородной среде с проницаемостью .

11.Запишите теорему Гаусса div E / в таком виде, когда в правую часть входит не только свободный, но и связанный заряд плотностью ñâÿç .

12.(Р) Запишите выражение div D в дифференциальной форме в прямоугольной системе координат при условии, что среда анизотропна и оси координат à) совпадают с главными осями анизотропии, á) не совпадают с главными осями анизотропии.

13.Используя символический оператор ), запишите выражение rot A в прямоугольной системе координат.

14.(Р) В воздушном пространстве между проводящими пластинами напряженность электрического поля изменяется по закону E(x) iE0 (1 + ax), ãäå x — координата, отсчитываемая от одной из пластин (i — îðò îñè õ). Определите плотность (x) объемного электрического заряда, помещенного между пластинами.

15.(Р) Объемная плотность электрического заряда, находящегося в воздухе между двумя весьма длинными соосными проводящими цилиндрическими по-

верхностями радиусами R1 è R2, изменяется по закону ϑr). Найдите напряженность E (r) электрического поля при R1 Β r Β R2.

16. (Р) Запишите в прямоугольной системе координат дифференциальные операторы à) rot rot H, á) div rot A, â) )U, ã) )()U), ä) )ΚE, å) )Κϑ)U).

104 Вопросы, упражнения, задачи к главам 23, 24 и 25

17. (Р) Определите, может ли магнитная индукция выражаться формулами

à) B iB0e– x, á) B (iax + jby), â) B (iax – kcz), ã) B jB0e– x, ä) B kBm sh x, å) B j((ax)2 + (by)2)–0,5, æ) B B0(jx +jy – kz), ç) B (i(x2 + y2)–0,5 + j(x2 + y2)–0,5,

è) B iBm sin kx, ê) B jBm sin kx.

18. (Р) Учитывая уравнение div 0, получите выражение div E â à) однородной среде с удельной электрической проводимостью ,, á) неоднородной в отношении электрической проводимости среды, в которой течет ток проводимости плотностью J ,E.

23.2. Система уравнений электромагнитного поля

ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ

1.(О) Почему в систему уравнений электромагнитного поля входит уравнение div B 0, тогда как уравнение div 0 не входит?

2.Может ли существовать векторное поле A, удовлетворяющее уравнениям rot A f 0, div A C 0, т. е. поле, созданное как векторными, так и скалярными источниками?

3.(О) Можно ли поле плотности тока представить в виде rot F, ãäå F — некоторая векторная функция, не равная напряженности H ïîëÿ?

4.(Р) Подсчитайте полное число переменных, входящих в систему уравнений электромагнитного поля, учитывая, что векторные переменные содержат в общем случае три составляющих. Сопоставьте полученное число с количеством уравнений.

5.(Р) Используя уравнения электромагнитного поля, выведите соотношение

div (,E + Jïåð), выражающее принцип сохранения электрического заряда.t

6. (Р) Полная система уравнений электромагнитного поля упрощается в ряде частных случаев. Запишите уравнения для не изменяющихся во времени полей. Разделите их на две несвязанные группы, описывающие электрические и магнитные поля.

7. (Р) Основываясь на уравнениях rot E B, rot H получите уравненияt

относительно à) напряженности электрического поля, á) напряженности магнитного поля, рассматривая поле в 1) проводящей среде, принимая J ,E è ïðå-

небрегая током электрического смещения, 2) диэлектрике, принимая J E .t

23.3. Граничные условия на поверхностях раздела сред с различными свойствами

ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ

1. (О) Почему граничные условия Bn1 Bn2, Et1 Et2, как и условия Ht1 Ht2, Dn1 Dn2 не являются независимыми в случае переменного электромагнитного поля?

2.(О) В чем причина возникновения скачка нормальной к поверхности раздела сред составляющей напряженности à) электрического, á) магнитного поля?

3.Какие из составляющих векторов D, E, B, H могут претерпевать разрыв в точ- ках поверхностей раздела двух сред с различными электрическими и магнитными свойствами?

4.(О) Сохраняют ли непрерывность касательные и нормальные составляющие векторов D, E, B, H на поверхности раздела двух анизотропных сред с различными электрическими и магнитными свойствами?

5.Какое из условий: Dn1 Dn2 èëè Et1 Et2 сохранит свой вид при наличии сво-

бодного заряда с поверхностной плотностью на поверхности раздела двух сред с различными диэлектрическими проницаемостями?

6. (Р) Запишите условие, связывающее нормальные к поверхности раздела двух сред с различными диэлектрическими проницаемостями составляющие вектора электрического смещения, если размещенный на ней свободный электрический заряд имеет поверхностную плотность .

7.(Р) Запишите условие, связывающее касательные к поверхности раздела двух сред с различными магнитными проницаемостями составляющие вектора напряженности магнитного поля, если размещенный на ней слой тока имеет плотность j.

8.(Р) Покажите, что в точках поверхности раздела ферромагнитного тела и воздуха выполняется равенство n2(H1 – H2) n2M, ãäå n2 — вектор нормали к поверхности, направленный внутрь ферромагнитной среды, M — намагниченность, 1, 2 — индексы воздушной и ферромагнитной среды.

9.Поверхностью раздела сред 1 и 2 является плоскость z 0. Известны векторы

Рассчитайте величины D2, E2, E1, B1, H1, B2 на поверхности раздела сред. Их проницаемости 1 20, 2 40, 1 500, 2 1000.

10. Поверхностный ток с линейной плотностью j 103 А/м имеет направление, параллельное оси x и размещен на плоскости z 0, являющейся поверхностью раздела сред с магнитными проницаемостями 1 0 ïðè z < 0 è 2 1000 ïðè z > 0. Напряженность магнитного поля в среде с проницаемостью 0 равна H1 (i103 + j2 103 + k 103) А/м. Рассчитайте напряженность магнитного поля и магнитную индукцию в среде с проницаемостью 2.

11.(Р) Внутри находящегося в воздухе параллельно оси z бесконечно длинного

круглого цилиндра, диэлектрическая проницаемость которого 20, электриче- ское поле однородно и его напряженность E jÅy j >ΔΔ В/м. Рассчитайте значе- ния составляющих векторов напряженности Ee и смещения De на его поверхности в воздухе. Сохраняет ли однородность поле в воздухе?

12.(Р) На плоской поверхности x const раздела воздуха и магнитной среды с тензором магнитной проницаемости ( ) напряженность магнитного поля в воз-

106 Вопросы, упражнения, задачи к главам 23, 24 и 25

äóõå H1 iHx1 + jHy1. Определите напряженность H2 магнитного поля в магнитной среде, а также магнитную индукцию B2 â íåé è B1 в воздухе, принимая, что главные оси анизотропии à) совпадают с осями x, y, á) не совпадают с осями x, y.

24.1. Потенциал электростатического поля

ВОПРОСЫ

1.(О) Почему потенциал связывают с напряженностью поля соотношением E – grad U, а не соотношением E grad U?

2.Почему напряженность электростатического поля не изменяется при увели- чении либо уменьшении потенциала во всех точках области на одно и то же число? Изменится ли напряженность поля, если изменить потенциал во всех точках в k ðàç?

3.Чему равна напряженность электростатического поля в области, где потенциал имеет постоянное, не зависящее от координат точки значение?

4.В направлении вектора n потенциал изменяется с наибольшей скоростью. В каком направлении потенциал не изменяется?

5.Под каким углом к поверхности проводящего тела подходят линии напряженности электрического поля?

6.Чему равна функция grad U внутри проводящего тела?

7.Полный заряд системы тел равен нулю. Может ли на большом расстоянии r от них потенциал убывать как r–1, r–2, r–n?

8.Как следует разместить два расположенных рядом диполя, чтобы на большом расстоянии от них потенциал убывал как r–2, r–4?

9.(О) В линии передачи провода рассматривают как бесконечно длинные. При каком условии потенциал поля в бесконечно удаленных точках можно принять равным нулю?

10.(О) Почему для расчета потенциала заряженного тела можно пользоваться

трической проницаемостью ? Ведь само проводящее тело нарушает однородность среды?

поля заряженного проводящего тела, если в его поле расположено проводящее незаряженное тело?

12. (О) Можно ли для расчета потенциала поля зарядов, распределенных с объ-

странства e?

12.(О) Какая из задач электростатики имеет более простое решение: à) при заданном распределении зарядов на поверхностях проводников или á) при заданных потенциалах проводников? Диэлектрик, окружающий проводник, однороден.

13.На замкнутой поверхности, охватывающей однородную среду, задан потенциал U const. Свободные заряды внутри поверхности отсутствуют. Существует ли поле внутри поверхности? Изменится ли ответ, если à) потенциал на поверхности не постоянен, á) среда кусочно-однородна, â) внутри поверхности имеется свободный электрический заряд?

14.Может ли на поверхности внесенного в электростатическое поле тела претерпевать разрыв à) потенциал, á) нормальная к поверхности тела составляющая напряженности поля, â) касательная к поверхности тела составляющая напряженности поля?

УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ

1.(Р) Потенциалы обкладок однослойного конденсатора равны –U0 è U0. Счи- тая, что потенциал в пространстве между обкладками изменяется только в направлении, нормальном к обкладкам, определите закон его изменения в случае à) плоского, á) цилиндрического конденсатора. Расстояние между обкладками равно d. Радиус внутренней обкладки цилиндрического конденсатора равен R.

2.(Р) В пространстве между плоскими электродами, потенциалы которых равны 0 и U0, распределен заряд с объемом плотностью . Найдите потенциал и напряженность поля в точках между электродами, принимая диэлектрическую

проницаемость равной 0 и допуская, что поле изменяется только вдоль координаты, отсчитываемой по нормали к электродам. Расстояние между электродами равно d.

3.(Р) Потенциалы цилиндрических соосных катода и анода (их радиусы Rê, Rà (Rê < Rà) , а длина l значительно превышает радиусы) равны Uê 0, Uà U0. Часть межэлектродного пространства (от r Rê äî r R0 0,5(Rê + Rà)) заполнена электронами с постоянной объемной плотностью . Найдите зависимости U(r), E(r), считая поле электростатическим и не изменяющимся по координатам и z; 0 всюду.

4.Покажите, что составляющие Åx, Åy, Åz напряженности электростатического поля удовлетворяют в однородной среде уравнению Лапласа.

5.(Р) В пространстве между заземленными обкладками плоского воздушного

конденсатора распределен электрический заряд плотностью à) 0 const, á) ax, â) 0 + ax, ã) ax2 + bx + 0, ä) 0e x, å) 0e– x, æ) m sin kx. Координату x отсчитываем вдоль нормали к обкладкам.

Найдите потенциал и напряженность поля. Расстояние между обкладками равно 2d. Примите 0 при 0 < x < d è 0 ïðè d < x < 2d; 0 всюду.

6. (Р) В среде с диэлектрической проницаемостью 20 потенциал электростатического поля выражается одной из формул: à) U ax, á) U ax2+ bx + U0,

110 Вопросы, упражнения, задачи к главам 23, 24 и 25

â) U U0 + ax2, ã) U U0 e x, ä) U Um sin kx, å) U Um a, æ) U Um sh kx, ç) U ar2, r

è) U ar –3 + br –2 + cr –1 + U0 .

Определите, существует ли в области электрический заряд и рассчитайте его плотность.

7. Может ли в области, где объемная плотность заряда равна нулю, потенциал электростатического поля быть представлен выражением:

à) U ax2 + by2 + cz, á) U axy + byz + cxz, â) U ax3 + bxy + cz2, ã) U a r cos ,

ä) U a + br? r

8.Определите объемную плотность электрического заряда, потенциал которого равен à) U axyz, á) U axy2z. Диэлектрическая проницаемость среды равна 0.

9.(Р) На цилиндрической поверхности радиусом R потенциал изменяется по за-

êîíó U Um sin k , ãäå k — некоторое целое положительное число, 0 < Β 2 . Считая, что поле является плоскопараллельным, найдите потенциал U(r, Λ è íà-

пряженность E(r, ) поля в предположении, что 0 всюду. Убедитесь в том, что при k 1 внутри поверхности поле однородное.

10.(Р) Сформулируйте соображения, определяющие выбор системы координат, в которой целесообразно записывать и решать уравнения Лапласа и Пуассона.

11.Плоский конденсатор содержит k слоев диэлектрика, проницаемости кото-

рых равны 1, 2, 3, ..., k. Поверхности раздела диэлектриков — плоскости, параллельные обкладкам конденсатора. Запишите граничные условия для потенциала и его производной на поверхности между i è i + 1 слоями. Подсчитайте число постоянных при интегрировании уравнений Лапласа и число условий для потенциала и его производной.

12.(Р) Проводящее тело с полостью, помещенное в электростатическое поле, принимает потенциал U. Найдите потенциал в полости.

13.(Р) Бесконечно длинный проводящий цилиндр радиусом R помещен в нор-

мальное к его оси однородное электростатическое поле напряженностью E0 100 В/м. Используя решение упражнения 9, найдите плотность наведенного на поверхности цилиндра заряда, принимая вне цилиндра 0.

14. (Р) В пространство между обкладками плоского воздушного конденсатора, расстояние между которыми d 2 см и напряжение U0 10 В, вставлена незаряженная проводящая пластина толщиной d1 0,2 см, поверхности которой параллельны обкладкам. Расстояние от пластины до обкладки, потенциал которой равен нулю, d2 0,5 см. Рассчитайте потенциал U(ó) и напряженность Å(ó) поля в трех областях: в пластине и в двух воздушных слоях (ось y перпендикулярна пластинам).

15. (Р) Решите предыдущую задачу при условии, что конденсатор цилиндриче- ский, радиусы обкладок которого R1 2 ìì, R2 5 мм. Толщина проводящего ци-