Теоретические основы электротехники-3

202 Часть 4. Теория электромагнитного поля

Для того чтобы лучше выявить основные соотношения в электромагнитном поле, рассмотрим сначала простейший случай — плоскую электромагнитную волну, распространяющуюся в однородном и изотропном диэлектрике. Электромагнитная волна называется плоской, когда все величины, характеризующие интенсивность электромагнитного процесса, зависят только от одной из декартовых координат, например от координаты z. Приблизительно такой характер имеет электромагнитная волна, излученная антенной, если эту волну рассматривать в небольшой области пространства на большом расстоянии от излучающего центра.

Итак, предположим, что векторы E è H не зависят от координат x è y, ò. å.

Следовательно, E è H являются функциями только z è t. Учитывая еще усло-

Предположим, что поле вызвано источниками, не содержащими постоянных токов и постоянных зарядов, как это и имеет место в случае излучения волн антенной. Ток и напряжение в антенне не имеют постоянных составляющих. В таком случае векторы E è H не могут иметь составляющих, не зависящих от времени, и уравнения (в ) и (е ) дают

E z const 0; H z const 0.

Выберем направление осей OX è OY так, чтобы вектор E был направлен по оси OX. Это всегда можно сделать, если вектор E все время остается параллельным некоторому направлению, т. е. когда волна является поляризованной. Такие условия, в частности, обеспечиваются при излучении электромагнитных волн не-

Следовательно, вектор H направлен по оси OY. Мы получаем первый существенный вывод: в электромагнитной волне, свободно распространяющейся в однородном и изотропном диэлектрике, векторы E è H взаимно перпендикулярны:

Дифференцируя второе уравнение по z и первое по t, получаем

в неискажающей однородной линии. Решение последних уравнений было найдено в виде

Пользуясь этим решением, можем написать выражения для Ex è Hy, заменив в последних выражениях u1 íà Ex, i1 íà Hy, x íà z, C íà è L на . Произведя эту замену и обозначая функции от (z – vt) è îò (z + vt) через F1(z – vt) è F2(z + vt), áó-

Так как по условию Ex è Hy не имеют составляющих, не зависящих от времени, то и функции F1 è F2 не имеют этих составляющих.

Выясним смысл, который имеют частные решения:

В любой точке, движущейся в положительную сторону оси OZ со скоростью dz/dt v, значения Ex1 è Hy1 остаются постоянными. Действительно, положение такой точки определяется координатой z vt + z0 и, следовательно, величины Ex1 è Hy1 в этой движущейся точке имеют значения:

204 Часть 4. Теория электромагнитного поля

Отсюда следует, что каждое определенное значение величины Ex1 или величины Hy1 распространяется в сторону положительной оси OZ со скоростью v. Поэтому можем утверждать, что эти частные решения определяют собой электромагнитную волну, распространяющуюся со скоростью v в положительном направлении оси OZ (прямую волну). Так как с величинами E è H связана определенная плотность энергии электромагнитного поля, то движущаяся электромагнитная волна несет с собой определенное количество электромагнитной энергии.

При помощи аналогичных рассуждений приходим к заключению, что частные решения

определяют собой электромагнитную волну, движущуюся со скоростью v в отрицательном направлении оси OZ (обратную волну).

Итак, мы получили, что электромагнитная волна распространяется в пространстве со скоростью

v 1 .

Эта скорость зависит только от магнитных и электрических свойств среды. В пустоте она равна

c 1 2,998 108 ì ñ 1 3 108 ì ñ.

0

Абсолютные значения напряженностей магнитного и электрического полей связаны как в прямой, так и в обратной волне соотношением

H E,

откуда получаем

H 2 E 2 . 2 2

Следовательно, если существует только прямая или только обратная волна, то энергии магнитного и электрического полей равны между собой.

Обратим внимание на аналогию, которую можно провести между рассмотренным явлением распространения плоской электромагнитной волны в диэлектрике, характеризующейся напряженностями Ex è Hy, и явлением распространения волн напряжения u è òîêà i в однородной линии при отсутствии потерь в линии. Уже было отмечено, что выражение для Ex совершенно аналогично выражению для u и соответственно выражение для Hy аналогично выражению для i. Это обстоятельство не является случайным. Действительно, можно рассматривать величину E как падение напряжения, отнесенное к единице длины линии напряженности электрического поля, и соответственно величину H — как ток, отнесенный к единице длины линии напряженности магнитного поля. При этом

отношение Ex1/Hy1 z имеет размерность электрического сопротивления и может рассматриваться как в о л н о в о е с о п р о т и в л е н и е с р е д ы аналогично волновому сопротивлению z LC однородной линии. В случае распространения волны в пустоте имеем

Выражение для скорости v 1/ распространения электромагнитной вол-

ны в диэлектрике аналогично выражению для скорости v 1/LC распространения волн в линии.

Можно было бы ввести вместо электромагнитных констант 0 è 0 две другие, выражающиеся через них, физические константы, а именно:

что лучше бы выражало волновые свойства поля.

Чтобы уяснить возможность существования одновременно и прямой и обратной волн, рассмотрим переход волны из среды с абсолютной диэлектрической

èабсолютной магнитной проницаемостями 1 è 1 в среду с проницаемостями Α

è2. Предположим, что среды разделены плоскостью и что волна распространяется в направлении, нормальном к плоскости раздела. Падающая в первой среде

на поверхность раздела волна (E 1, H 1) (прямая волна) частично проходит сквозь поверхность раздела, образуя во второй среде преломленную (прямую) волну

(E 2, H 2) и частично отражается от поверхности раздела, образуя в первой среде отраженную (обратную) волну (EΤ1, HΤ1). Соотношения между напряженностями поля для этих волн на поверхности раздела можно написать, использовав на основании вышеотмеченной аналогии соотношения между напряжениями и токами в падающих, преломленных и отраженных волнах тока и напряжения.

Имеем на поверхности раздела:

ãäå z1 1 > è z2 2 2 — соответствующие волновые сопротивления пер-

вой и второй среды.

Åñëè z2 z1, то отраженные волны отсутствуют.

Åñëè z2 > z1, òî E 1 è EΤ1 имеют одинаковые знаки, a H 1 è HΤ1 — разные знаки. В первой среде в результате частичного отражения волны напряженность электрического поля E1 E 1 + EΤ1 возрастает, а напряженность магнитного поля H1 H 1 + HΤ1 убывает. При z2 < z1 имеем обратную картину.

206 Часть 4. Теория электромагнитного поля

Все остальные выводы, полученные при исследовании распространения волн в однородных линиях без потерь, могут быть соответствующим образом перенесены на исследуемый случай распространения плоской электромагнитной волны в диэлектрике.

В общем случае, когда направление распространения падающей волны составляет некоторый угол с нормалью к поверхности раздела сред, для нахождения отраженной и преломленной волн необходимо использовать все граничные условия для векторов E, D, H è B.

29.2. Вектор Пойнтинга

Определим мощность потока энергии, отнесенную к единице поверхности, нормальной к направлению распространения волны. Будем предполагать, что существует только волна, движущаяся в одном направлении. В таком случае объемная плотность энергии электромагнитного поля равна

который связан с dl соотношением dl v dt.

Мощность потока энергии, отнесенная к единице поверхности, нормальной к вектору скорости v, численно равна количеству энергии, которая проходит через единицу поверхности, нормальной к вектору v, в единицу времени. Она получа-

Принимая во внимание, что dl/dt v, находим

S EH.

Эта величина может рассматриваться как вектор S, направленный в сторону движения волны, т. е. в направлении вектора скорости v.

Представления о потоке энергии и о мощности потока энергии, отнесенной к единице поверхности, были развиты в 1874 г. в работе Н. А. Умова, в которой он применил эти представления к случаю передачи энергии в упругих средах. На одиннадцать лет позже Пойнтинг применил эти представления к случаю переда- чи электромагнитной энергии и получил выражение вектора S через векторы E è H. Соответственно, вектор S получил наименование в е к т о р а П о й н т и н г а.

Найдем связь между направлением вектора Пойнтинга и направлениями векторов E è H. В прямой волне, как это следует из выражений, полученных в предыдущем параграфе, Ex1 è Hy1 всегда одного знака, т. е. в тот момент, когда вектор

E направлен в сторону положительной оси OX, вектор H направлен в сторону положительной оси OY. Вектор же скорости v в прямой волне направлен в сторону положительной оси OZ. Взаимное расположение векторов E, H è S для прямой волны показано на рис. 29.2.

В обратной волне Ex2 è Hy2 всегда имеют различные знаки и вектор v направлен в отрицательную сторону оси OZ. Взаимное расположение векторов E, H è S в обратной волне изображено на рис. 29.3.

Мы видим, что направление вектора Пойнтинга совпадает с направлением поступательного движения оси правого винта, головка которого вращается в плоскости, содержащей векторы Å è H, в направлении от E ê H по кратчайшему расстоянию.

Следовательно, вектор S можно представить как векторное произведение векторов E è H:

S [E H ].

Он определяет собой мощность потока электромагнитной энергии, отнесенную к единице поверхности, нормальной к направлению распространения волны. Выражение для вектора Пойнтинга было получено в предположении, что среда однородна и изотропна и что существует только прямая или только обратная волна. В следующем параграфе будет показано, что это выражение справедливо в общем случае.

Остановимся на важном практическом случае, когда Ex è Hy изменяются во времени по закону синуса. Предположим, что существует только одна прямая волна. Имеем

E x1 F1(z vt) E xm sin(!t Τ);

H y1 F1(z vt) E xm sin(!t Τ),

причем ! — угловая частота колебаний.

Последние уравнения удовлетворяются при условии, что существует равенство ! t + Τ k (z – vt), ãäå k — постоянная величина. Так как это равенство должно удовлетворяться для любого момента времени t, то, приняв t 0, найдем Τ kz. Следовательно, !t –kvt è k –!/v. Таким образом, начальная фаза Τ может

быть представлена в виде Τ –! z. Стало быть, имеем v

208 Часть 4. Теория электромагнитного поля

На рис. 29.4 изображены векторы E è H в разных точках оси OZ для момента времени t 0. Величины E è H распределены в пространстве по закону синуса, и все это распределение перемещается в положительную сторону оси OZ со скоростью v.

Действительно, точка, в которой Ex 0, опреде-

ляется условием: !t – ! z 0, èëè z vt, ò. å. äâè- v

жется со скоростью v в положительном направ-

Ðèñ. 29.4 лении оси OZ. На рис. 29.4 штриховыми линиями изображено распределение поля в не-

который момент времени t1 > 0.

Расстояние, на которое распространяется электромагнитная волна в течение одного периода колебаний, называется д л и н о й в о л н ы. Обозначая длину волны через , будем иметь

vT v , f

ãäå f — частота колебаний.

Разность фаз колебаний в двух точках, удаленных друг от друга в направле-

нии распространения волны на расстояние , имеет значение ! !T 2 . Ñëå- v

довательно, длина волны есть расстояние между двумя ближайшими точками, в которых напряженность поля имеет максимальное положительное значение.

Чтобы наглядно представить себе все поле плоской волны, необходимо вообразить два взаимно перпендикулярных семейства линий напряженности электрического и магнитного полей, заполняющих собой все пространство, в котором распространяется волна (рис. 29.5). В каждой плоскости, параллельной плоскости XOY, линии напряженности поля распределены равномерно, но в направлении оси OZ густота линий меняется по закону синуса. Все это распределение дви-

Ðèñ. 29.5 жется со скоростью v в положительном направлении оси OZ.

29.3. Поток электромагнитной энергии

Вектор Пойнтинга, определяющий значение и направление потока электромагнитной энергии, передаваемой в единицу времени сквозь единицу поверхности, нормальной к направлению распространения волны, равен

S [E H ].

Покажем справедливость этого утверждения для любой среды, которая в общем случае может быть и неоднородной и анизотропной, и для любого характера поля. Свое рассмотрение ограничим только одним предположением, что электрические ( и ,) и магнитные ( ) свойства среды не зависят от напряженностей электрического и магнитного полей и не являются функциями времени.

Рассмотрим некоторый произвольно выбранный объем V пространства, ограниченный замкнутой поверхностью s.

Предположим, что энергия (Wý + Wì) электрического и магнитного полей, заключенная в объеме V, изменяется во времени. Скорость ее уменьшения равна

Выражая плотность тока смещения в виде разности результирующей плотности тока и плотностей токов проводимости и переноса и используя первое уравнение Максвелла, находим

D ,E Jïåð rot H ,E Jïåð . t

Кроме того, второе уравнение Максвелла дает

B rot E.t

Таким образом,

(Wý Wì ) ( E rot H ,E 2 Jïåð E H rot E) dV .

t

V

Заметим, что имеет место тождество

H rot E E rot H div[E H ].