Теоретические основы электротехники-3

к поверхности составляющая напряженности поля вне цилиндра равна Er (R)E0r – R–1Um sin . Учитывая, что E0r E0 sin , получаем Er (R) E0 sin + + E0 sin 2E0 sin è 0Er 20 E0 sin 1,77 10–9 sin Êë/ì2.

14. Так как электростатическое поле в проводящей среде отсутствует, то в проводящей пластине Å 0, а ее потенциал сохраняет некоторое постоянное значение U2. Решение

уравнения Лапласа d 2U 0 в областях 1, 3 (рис. Р24.8) dy 2

можно записать в виде U1 (y) C1 y+C2, U3 (y) C3 y + C4.

Используя заданные значения потенциалов U 0, U U0, а также условие постоянства потенциала U2 пластины, получаем уравнения: 0 C2, U2 C1 d2 + C2, U2 C4,

U0 C3 (d – d1 – d2) + C4. Число неизвестных (C1, C2, C3, C4, U2) превышает число уравнений, в связи с чем требуется использовать еще одно условие, которым яв-

ляется условие равенства нулю заряда пластины, означающее в соответствии с теоремой Гаусса равенство нулю потока вектора напряженности электрического поля сквозь охватывающую пластину поверхность. Вследствие неизменности поля по осям, параллельным обкладкам и поверхностям пластины, это условие означает равенство напряженности поля с обеих сторон пластины: –C1 –C3. Ðå-

Таким образом, напряженность поля в областях 1, 3 имеет одно и то же значение независимо от места расположения пластины.

15. В отличие от предыдущей задачи следует решать уравнение Лапласа в полярной системе координат:

Уравнения, позволяющие найти постоянные и потенциал U2, имеют вид: 0 C1 ln R1 + C2, U2 C1 ln (R1 + d2) + C2,

U2 C3 ln (R1 + d1 + d2) + C4, U0 C3 ln R2 + C4.

Условие равенства входящего в проводящий цилиндр и выходящего из него потока вектора напряженности электрического поля позволяет записать уравне-

ношение C1 C3 . Решив уравнения относительно неизвестных C1…C4, получаем величины

302 Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

16. Учитывая соотношение D E, справедливое в диэлектрике, проницаемость которого является функцией координат, записываем выражение div E , èëè div grad U – . В прямоугольной системе координат это уравнение принимает вид

Уравнение div grad U – имеет смысл не при любой функции (x, y, z). Если она разрывна, то в точках разрыва производные x, y, z не существуют и диф-

ференциальное уравнение в этих точках рассматриваться не может. К таким точ- кам относятся точки поверхностей раздела однородных сред с различными свойствами.

24.3. Плоскопараллельное электростатическое поле

ВОПРОСЫ

6. Удовлетворяющие уравнению Лапласа функции совпадают, если они имеют одинаковые значения на границе области. Однако граничные условия для потенциала и функции потока различны. Действительно, если на поверхности задано условие U const, то в общем случае на ней V const, и наоборот, если линия границы области является линией напряженности поля, где V const, òî íà íåé U const.

7. На поверхностях проводников обычно задан потенциал либо его нормальная к ним производная, а не функция потока, которая сама подлежит расчету. На границах области функция потока, как правило, неизвестна. Кроме того, потенциал, в отличие от функции потока, можно применить для анализа не только двухмерных, но и трехмерных полей.

24.4. Метод комплексного потенциала

ВОПРОСЫ

2. Функцию следует записать в виде ( : + j#, выделив ее действительную и мнимую части. Уравнение # #(x, y) определяет линию, на которой потенциал электростатического поля сохраняет постоянное значение. Поэтому уравнение линии, определяющей контур сечения проводника, #(x, y) const.

5. Поле в неоднородной среде не удовлетворяет уравнению Лапласа, тогда как действительная и мнимая части аналитических регулярных функций комплексного переменного удовлетворяют ему, и, следовательно, не могут описывать поле в неоднородной среде.

12. При конформном (т. е. сохраняющем углы между кривыми) отображении области плоскости z в область плоскости ( функцией ( f (z) могут изменяться геометрические характеристики тел, но не их заряды и потенциалы. Поэтому емкость тел сохраняется неизменной.

15.Поток сохраняется неизменным, так как заряд провода не меняется.

16.Так как напряженность поля при конформном отображении области изменяется, то и сила взаимодействия проводов, найденная в области (, будет отличаться от действительной силы во столько же раз, во сколько различаются напряженности Ez è E( поля в точках расположения проводов.

УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ

писать: U – Ex x – Ey y + U0, V – Ey x + Ex y + V0, так что комплексный потенциал поля ( V + jU (–Ey x + Ex y) + j (–Ex x – Ey y) + V0 + jU0.

4. Записать единое выражение для комплексного потенциала во всей области, содержащей несколько однородных сред, сложно ввиду необходимости нахождения такой функции ((z), которая имела бы непрерывную мнимую часть и разрывную ее производную по нормали к поверхности раздела сред. Подбор нескольких функций ((z), каждая из которых описывала бы поле в подобластях, содержащих однородные среды, сложен, так как эти функции должны удовле-

âèäà U f1(x, y) ëèáî V f2(x, y), ãäå f1(x, y) è f2(x, y) — заданные функции. 6. Искомый комплексный потенциал запишем, используя метод наложения,

â âèäå ( (1 + (2, ãäå (1 2− j ln z + C — комплексный потенциал уединенного

заряженного провода круглого сечения, а (2 Az + B — комплексный потенциал однородного электрического поля. Выбор входящих в выражение для комплекс-

ного потенциала ( 2− j ln z + Az + C постоянных À, Ñ определяет положение линий V 0 è U 0.

304 Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

7. Расположим провода на оси õ на одинаковом расстоянии 0,5d по обе стороны от начала координат. Пользуясь методом наложения, находим

n

8. Пусть провода имеют координаты zn R e , n 0, 1, 2, ..., N – 1, N — число проводов. Тогда в точке с координатой z комплексный потенциал можно рассчи-

9. Будем считать, что один из проводов с зарядом, линейная плотность которого − > 0, имеет координату x R. Комплексный потенциал N проводов с положи-

10. При расположении проводов согласно варианту à комплексный потенциал равен

( – 2− j ln (z – jh) + 2− j ln (z + jh) + C,

При расположении проводов согласно варианту á находим

( 2− j ln (z – d) + + 2− j ln (z + d) + C,

11. Приближенное значение радиуса провода в плоскости ! равно

Ïðè 2 он, в частности, возрастает в 2r0 ðàç.

Ближайшая к началу координат точка провода имеет в плоскости ! координату

В частности, при 2 она равна | R1 | Γ R2 | R2.

24.5. Электростатическое поле проводов круглого сечения

УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ

2. Наибольшее значение напряженности поля на поверхности цилиндра меньшего радиуса R1 будет в точке A1. Наибольшее значение напряженности поля на поверхности цилиндра большего радиуса — в точке A2. Наименьшие значения напряженности поля — в точках на противоположных сторонах цилиндров. Заменим цилиндры линейными проводами, совпадающими с электрическими осями цилиндров, и для условий рис. В24.3 используем выражения (см. § 24.12)

306 Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

Подставляя численные значения, получаем: kmax 5,3, kmin 0,3, U Φ 5,6 10 4 Â.

24.6. Картина электростатического поля

ВОПРОСЫ

1. Картина поля построена правильно только в случае à, когда ячейки сетки образуют подобные четырехугольники.

4. В силу скачкообразного изменения напряженности поля на поверхности тела при переходе через нее плотность линий поля изменяется скачком. В каждой из областей, как внутренней области тела, так и внешней, картину поля можно построить правильно, однако в этих областях ячейки сетки не будут подобными.

24.7. Метод инетегральных уравнений

ВОПРОСЫ

1. Объемная плотность вторичных источников обращается в бесконечность в точках поверхностей раздела сред с различными диэлектрическими проницаемостями. Для сохранения условия i Eni e Ene при переходе к однородной среде на поверхности следует разместить простой слой электрических зарядов плотностью âò.

2.Не сохраняется, так как вследствие непрерывности величины Et в однородной среде (Eti Ete) непрерывной будет и величина Dt: Dti Eti Dte Ete.

3.Можно, так как при переходе через двойной слой электрических зарядов имеет место скачок величины Et и, следовательно, Dt. Аналогично уравнению для величи-

íû âò можно получить интегральное уравнение для момента двойного слоя электрических зарядов, если за исходное принять уравнение Eti Ete вместо уравнения Dni Dne. Следует иметь в виду, что в отличие от плотности простого слоя зарядов момент двойного слоя является векторной величиной.

4. При равном нулю полном заряде q тела число входящих силовых линий поля равно числу выходящих линий, в связи с чем после замены среды на однородную должно выполняться условие âò ds 0, ãäå s — поверхность тела.

s

24.8. Метод зеркальных изображений

ВОПРОСЫ

5. При нецелом n не удается разместить провода в однородной среде таким образом, чтобы на сторонах угла потенциал сохранял постоянное значение. При

/n можно применить метод конформных отображений. Функция ! z / отображает внутреннюю часть двугранного угла плоскости z в верхнюю полуплоскость области !.

308 Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

2. Сила, действующая на отрезок провода длиной 1 м с зарядом линейной плот-

ïðè i . è i 0 соответственно. Подставляя численные значения, получаем f 1,8 10–8 Í.

24.9. Метод разделения переменных

УПРАЖНЕНИЯ

1.При изменении граничных условий изменяются как собственные числа, принимающие значения n/b, n 1, 2 ..., так и собственные функции, которые становятся равными sh (nx/b), sin (ny/b).

2.Решение U(x, y) не является единственным, так как потенциал U1(x, y)U(x, y) + C, ãäå Ñ — произвольная постоянная, также является решением зада- чи. В соответствии с теоремой Гаусса поток вектора напряженности электри- ческого поля, проходящий сквозь границу области, равен величине q , ãäå q —

заряд, находящийся внутри области. Поэтому функция U f должна удовле-n

творять интегральному соотношению l Un dl −. При отсутствии заряда внутри

области оно переходит в соотношение f dl 0.

l

3. Представим искомый потенциал внутри области в виде U(x, y) U1 + U2, ãäå U1 — потенциал, рассчитываемый методом разделения переменных при гранич- ных условиях U1 0 на двух сторонах области, например, при õ 0 è õ à и заданных граничных условиях на сторонах ó 0 è ó b, à U2 — потенциал, рассчи- тываемый при граничном условии U2 0 на сторонах области ó 0 è ó b и заданных граничных условиях на двух других сторонах.

ременных при неоднородных граничных условиях на сторонах области, задаваемых в виде U2 U1 (ñì. óïð. 3).

5. Разыскивая решение в виде U(r, ) U1(r)U2( ) U1(r) sin k и подставляя его в уравнение Лапласа, после несложных преобразований находим уравнение

24.10. Методы сеток и конечных элементов

ВОПРОСЫ

5. Величина U U ds пропорциональна энергии электрического поля зарядов,n

s

трактовать как величину, пропорциональную энергии поля создающих его источников.

6.В прямоугольных координатах полином второго порядка U(x, y) 0 + 1 x + + 2 y 3 x2 + 4 xy + 5 y2 имеет шесть коэффициентов 0 Μ 5, для определения которых необходимо, чтобы треугольный элемент содержал шесть узлов, которые располагают по три узла на каждую из сторон элемента. При этом три узла лежат в вершинах элемента.

7.Так как число узлов элемента должно быть равным количеству коэффициентов полинома, принятого для описания потенциала, то при à) U(x, y, z) 0 +

+ 1 x + 2 y + 3 z число узлов составляет четыре, причем их размещают в вершинах тетраэдра, а при á) U(x, y) 0 + 1 x + 2 y 3 z + 4 x2 + 5 y2 + 6 z2 + + 7 xy + 8 xz + 9 yz узлы, число которых составляет десять, располагают в че- тырех вершинах и на шести ребрах тетраэдра.

8. При линейной интерполяции потенциала на стороне, общей для двух треугольных элементов, потенциал изменяется по одному и тому же закону, так как потенциалы вершин элементов имеют одинаковые значения для соседних элементов. Однако вследствие скачка нормальных к общей стороне элементов составляющих напряженности поля модуль напряженности поля претерпевает разрыв на сторонах элементов. Для того чтобы при квадратичной интерполяции потенциал был непрерывным, необходимо, чтобы на общей стороне двух треугольников располагалось по три узла, общих для этих элементов. При выполнении этих условий касательная к их общей стороне составляющая напряженности электрического поля также непрерывна.

элементов, которые имеют общим узел с номером j. Производная функционала

тенциала внутри элемента имеет вид: Cpi Ui + Cpj Uj + Cpk Uk (здесь Cpi, Cpj, Cpk —

постоянные). Поэтому уравнение J 0 содержит столько слагаемых, сколькоU j

различных узлов принадлежит элементам, имеющим общим узел j, ò. å. m + 1.