Теоретические основы электротехники-3

применение понятия электрической цепи в его обычном смысле. Для расчета электромагнитных процессов в подобных системах необходимо прибегать к решению уравнений электромагнитного поля с учетом соответствующих гранич- ных условий.

Вопросы, упражнения, задачи к главам 29 и 30

29.1. Плоская электромагнитная волна в диэлектрике

ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ

1.На большом расстоянии от источника электромагнитного поля напряженность магнитного поля в диэлектрике пропорциональна функции 1/r. Каков характер зависимости E(r) в этой области?

2.Затухает ли электромагнитная волна, распространяясь в идеальном диэлектрике?

3.(О) При каких условиях в диэлектрике наряду с прямой волной существует и обратная?

öèÿ Ex(z, t) Em sin kz sin kvt, которая, однако, не имеет аргументом ни z – vt, íè z + vt. Означает ли это, что решение уравнения, представленное в виде Ex(z, t) F1(z – vt) + F2(z + vt), не является общим?

5.(Р) Напряженность электрического поля плоской электромагнитной волны суть E(z, t) j 10 cos (102t + 30z). В каком направлении оси z распространяется волна? Рассчитайте напряженность H(z, t) магнитного поля и скорость распространения волны.

6.(Р) Найдите напряженность магнитного поля плоской электромагнитной

волны, напряженность электрического поля которой выражена формулой E

ϑiEx + jEy)e j(!t – kz).

7.Плоская электромагнитная волна, изменяясь по синусоидальному закону с

частотой 50 Гц, проходит через границу раздела двух сред с проницаемостями 0,0 è 0, 800. Чему равна длина волны в первой среде? Во сколько раз изменяется длина волны на границе раздела сред?

8.(Р) Каково максимально возможное значение напряженности магнитного поля и магнитной индукции в плоской прямой волне в воздухе, если напряженность

электрического поля не может превышать значения 3 106 В/м? Рассчитайте объемную плотность энергии электромагнитного поля в воздухе при предельном значении напряженности поля E.

9. (Р) Плоская синусоидальная электромагнитная волна распространяется в диэлектрике с проницаемостями , в пространстве между соосными идеально проводящими жилой и оболочкой кабеля в направлении от генератора к нагрузке, сопротивление которой Rí. Найдите энергию электромагнитного поля, заклю- ченную в объеме диэлектрика кабеля длиной, равной длине электромагнитной волны. Сравните ее с энергией, поглощаемой в нагрузке за период изменения поля. Радиус жилы R1, внутренний радиус оболочки R2. Примите допущение об отсутствии отраженных от нагрузки волн.

10. (Р) Слой коаксиального кабеля характеризуется величинами 40, 0. Определите скорость распространения электромагнитной волны в кабеле и выразите ее через индуктивность и емкость кабеля на единицу его длины, считая удельное сопротивление материала жилы и оболочки 0.

29.2. Вектор Пойнтинга

ВОПРОСЫ

1.Имеет ли смысл понятие вектора Пойнтинга внутри проводников и на их поверхностях?

2.Направление вектора Пойнтинга в некоторой точке задано. Каково направление вектора скорости электромагнитной волны в этой точке?

3.Какова размерность вектора Пойнтинга?

4.Какова частота изменения вектора Пойнтинга при синусоидальном законе изменения во времени напряженности электрического и магнитного поля с частотой !?

5.Вектор Пойнтинга имеет касательную и нормальную составляющие на поверхности некоторого объема. Какая из составляющих определяет электромагнитную энергию, поступающую в объем или исходящую из объема?

6.Проводящее тело помещено в переменное электромагнитное поле. В энергию какого вида преобразуется электромагнитная энергия, поступающая внутрь тела сквозь его поверхность?

T T T

7. Какой смысл имеют величины ,E 2 dVdt, Jïåð E dVdt è [E H ] ds dt?

0 V 0 V 0 s

УПРАЖНЕНИЯ

1.(Р) Электромагнитная энергия передается по коаксиальному кабелю. Выразите вектор Пойнтинга через ток i кабеля и напряжение u между жилой и оболочкой, пренебрегая потерями в кабеле.

2.(Р) Прямоугольный контур расположен в поле плоской бегущей в направлении оси z синусоидальной электромагнитной волны. При каком расположении контура сквозь ограниченную им поверхность проходит наибольший ток смещения,

3.Плоский воздушный конденсатор заряжается от внешнего источника. Укажите направление вектора Пойнтинга в точках à) между обкладками, á) вблизи краев обкладок, â) в воздухе вблизи обкладок. Определите направление вектора Пойнтинга в тех же точках при разрядке конденсатора на резистор.

4.(Р) Сравните запасенную за время t заряда плоского конденсатора энергию поля с энергией, поступившей сквозь боковую поверхность, охватывающую его диэлектрик. Напряжение между обкладками изменяется по закону u(t).

276 Вопросы, упражнения, задачи к главам 29 и 30

8. (Р) Рассмотренная в предыдущем упражнении линия нагружена на сопротив-

ление Zí Z exp j , ãäå Z — волновое сопротивление линии. Найдите выражение 6

для вектора Пойнтинга на прямых a — a è b — b , считая заданными напряжение u2 è òîê i2 нагрузки. Объясните физический смысл изменения направления вектора Пойнтинга в некоторые моменты времени. Решите эту задачу также при длине линии, равной l 0,02 .

30.1. Плоская электромагнитная волна в проводящей среде

ВОПРОСЫ

1. Чем различаются процессы распространения электромагнитного поля в идеальном диэлектрике и в проводящей среде?

ской волны à) можно принять одну из постоянных равной нулю, á) следует принимать A1 0, A2 0?

3.Почему электромагнитная волна в проводящей среде затухает, а в идеальном диэлектрике нет?

4.(О) Почему волновое сопротивление проводника комплексное, а идеального диэлектрика вещественное?

5.(О) Плоская электромагнитная волна распространяется в неидеальном диэлектрике, характеризующемся удельной электрической проводимостью , и ди-

электрической проницаемостью . Затухает ли волна в такой среде? В каких пре-

делах может лежать угол сдвига по фазе между векторами напряженности E, H синусоидальной волны?

6. (О) Плоская электромагнитная волна распространяется в направлении, перпендикулярном поверхности бесконечной проводящåé ïластины конечной тол-

7.(О) Сохраняется ли постоянным угол сдвига по фазе между напряженностями электрического и магнитного полей плоской синусоидальной волны, распространяющейся в глубь безграничной проводящей среды?

8.(О) Почему с ростом частоты электромагнитного поля глубина его проникновения в проводящую среду уменьшается?

9.(О) Для определения скорости распространения электромагнитной волны в проводящей среде можно рассуждать так же, как и при рассмотрении поля

в диэлектриêå: фаза волны неизменна при z vt, так что получаем !t kvt, îòêó-

äà v ! 2!. Справедливо ли такое определение скорости распространения k ,

волны в проводящей среде?

278 Вопросы, упражнения, задачи к главам 29 и 30

Ðèñ. Â30.1

6.(О) К точкам ad изображенного на рис. В30.1 кабеля, подсоединен вольтметр, причем сам вольтметр и его соединительные провода расположены полностью в пространстве между жилой и оболочкой кабеля. Зависит ли показание вольтметра от расположения его соединительных проводов? В каком случае его показания будут: à) наибольшими, á) наименьшими? Какие напряжения измеряет вольтметр в этих двух случаях? Как изменятся ответы на эти вопросы, если провода вольтметра подсоединены к точкам bñ?

7.Проводящее тело находится во внешнем переменном электромагнитном поле. Какой смысл имеет интеграл S ds? Здесь S — вектор Пойнтинга, ds — элемент

8.(О) Ферромагнитное тело имеет ребра и углы. При каких условиях проникающую сквозь его поверхность электромагнитную волну можно рассматривать как плоскую?

9.Какие элементы содержит электрическая цепь, параметры которой такие же, как и электрические параметры отрезка провода при резком проявлении поверхностного эффекта? Единственна ли такая цепь?

10.Можно ли рассчитать аêòèвное сопротивление провода прямоугольного се-

чения по формуле r l ! , если поверхностный эффект проявлен резко? u 2,

(Здесь l — длина провода, u — периметр сечения провода.)

11. Поверхностный эффект проявляется резче при увеличåнии параметра ! ,,

так как длина волны связана с ним соотношением 2 2 . Почему при этом ! ,

сопротивление провода может как увеличиваться, так и уменьшаться?

УПРАЖНЕНИЯ

1. (Р) Расстояние ñ между соседними длинными сторонами двух шин прямоугольного сечения с одинаковыми токами противоположных направлений i= Im sin ! t значительно меньше их высоты h. Толщина 2d шин имеет тот же порядок, что и расстояние между ними, а длина шин l 00 h. Запишите выражения для напряженности H поля на длинных сторонах шин и рассчитайте распределения

напряженности поля и плотности тока по толщине шин, принимая 2d 20 ìì, h 200 ìì, 0, , 107 Ñì/ì, f 50 Гц, 250 Гц, 400 Гц, 800 Гц. Рассчитайте активные и реактивные сопротивления шин, I 10 êÀ.

2. (Р) По медной шине 1 (рис. В30.2) течет синусоидальный ток в прямом, а по таким же шинам 2, 3 — в обратном направлении, причем сумма токов шин равна нулю. Считая токи шин заданными, найдите значения напряженности магнитного поля на длинных сторонах шин и рассчитайте напряженность магнитного поля и плотность тока в шинах. Выполните расчеты при I1 1000 À,

I 2 –200 À, I 3 –800 À, c 6 ìì, d 6 ìì, h 100 ìì,

0, , 5,7 107 Ñì/ì, f 50 Ãö.

3. (Р) Шины 1, 2 (см. рис. В30.2) соединены параллель-

íî, èõ òîê I I1 I 2 равен току третьей шины (I 3 1000 А), текущему в противоположном направлении, причем значения токов I1, I2 неизвестны. Рассчитайте напряженность H поля на длинных сторонах шин, а также токи I1, I2, используя численные данные и результаты решения предыдущей задачи.

4. (Р) Токопровод (рис. В30.3) состоит из четырех шин. Толщина 2d каждой из шин значительно меньше их высоты. Расстояние ñ между шинами имеет тот же порядок, что и их толщина. Две левые шины с током i i1 + i2 прямого направления соединены параллельно. По двум другим шинам, также соединенным параллельно, течет ток i i3 + i4 противоположного направления. Запишите условия, позволяющие рас- считать токи каждой из шин и распределение плотности тока и напряженности H поля по их толщине.

5. (Р) Решите предыдущую задачу при условии, что параллельно соединены первая шина с третьей и по ним течет ток i i1 + i3 прямого направления, а вторая с четвертой с током i i2 + i4 противоположного направления.

6.Из четырех шин токопровода различные пары шин можно соединить параллельно, например, первую со второй, первую с третьей или первую с четвертой. При каком способе соединения отношение сопротивления r токопровода при пе-

ременном токе к его сопротивлению r0 при постоянном токе будет наименьшим? Примите численные данные такими же, как и в упр. 2.

7.(Р) Токи симметричной трехфазной системы протекают по шинам прямоугольного сечeния (см. рис. В30.2). Рассчитайте активные сопротивления шин, принимая геометрические размеры, материал шин и частоту изменения тока такими же, как и в упр. 2.

280 Вопросы, упражнения, задачи к главам 29 и 30

8. (Ð) Òîêè I1, I 2 , I 3 каждой из фаз симметричной трехфазной системы протека-

ют по двум, называемым расщепленными, шинам (рис. В30.4) прямоугольного сечения. Получите выражения для токов I1' , I1" , I '2 , I "2 , I '3 , I "3 каждой из шин, счи- тая высоту h шин значительно больше их ширины 2d и расстояния ñ между ними. (Характеристики материала шин ,, 0.)

9. (Р) В глубоком и узком пазу ротора электрической машины (ширина d паза значительно меньше его высоты h1) находится немагнитный проводник прямоугольного сечения высотой h ΗΗ h1, по которому течет ток i Im sin ! t (ðèñ. Â30.5).

Рассчитайте напряженность H(y) магнитного поля и плотность J(y) тока в точ- ках сечения проводника, принимая допущение, что магнитная проницаемость вещества ротора бесконечно велика. Постройте кривые зависимостей H(y), J(y) ïðè I 100 A, f 50 Ãö, , 3,6 107 Ñì/ì, d 1 ñì, h 5 см и определите активное сопротивление проводника длиной l 1 ì.

10. (Р) В глубоком и узком пазу ротора электрической машины (d ΗΗ h, h ΗΗ h1 ) находятся два немагнитных проводника 1, 2 прямоугольного сечения с током одного направления, соединенные последовательно (рис. В30.6). Рассчитайте и постройте кривые зависимостей H(y), J(y) ïðè 0 Β y Β 2h и найдите активное сопротивление каждого из проводников длиной l 0,5 ì ïðè d 0,5 ñì, h 2 ñì, I1 I2 >ΔΔ Ω f 50 Ãö, , 5,7 107 Ñì/ì, ñ 0.

11. (Р) В прямоугольном пазу (рис. В30.6) находятся два немагнитных проводника, соединенные параллельно. Рассчитайте ток и активное сопротивление каждого из проводников, при I1 + I 2 I 100 À è c 1 мм. Остальные численные данные та-

кие же, как и в предыдущем упражнении.