Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4609 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Сочинский Государственный Университет
Предмет:
Электрооборудование подстанций промышленных предприятий
Файл:

Теоретические основы электротехники-3

.pdf
Скачиваний:
78
Добавлен:
05.04.2018
Размер:
3.9 Mб
Скачать
☆

Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

351

Подставляя численные значения, получаем f Φ 440 Ãö ïðè n 1, f Φ 1750 Ãö ïðè n 2.

30.2. Активное и индуктивное сопротивления прoводов

ВОПРОСЫ

6. Так как переменное электромагнитное поле является вихревым, то напряже-

d

íèå uad E dl зависит от выбора пути между точками a, d. Другими словами,

a

показание вольтметра зависит от расположения его соединительных проводов, подходящих к точкам a, d. Чем больший внешний магнитный поток, созданный током жилы кабеля, охвачен соединительными проводами, тем большим будет и показание вольтметра. Поэтому при расположении проводов вдоль линии ad (см. рис. В30.1) показание вольтметра будет наименьшим, в этом случае проводами охвачен лишь внутренний магнитный поток провода. При расположении проводов вдоль линии abcd показание вольтметра будет наибольшим, так как наряду с внутренним потоком измерительные провода охватывают также полностью и внешний магнитный поток, приходящийся на длину l æèëû.

8. Ребра и углы тел в действительности всегда имеют конечный радиус закругления, так что их можно аппроксимировать соответственно цилиндром и сферой радиусом R. Соотношение радиуса закругления и длины электромагнитной волны в ферромагнитном теле определяет возможность рассмотрения последней как плоской: при R 00 ее можно считать плоской.

В плоской волне характеризующие ее векторы E, H зависят только от одной координаты. Это условие в рассматриваемом случае выполняется приближенно, если длина электромагнитной волны в ферромагнитном теле значительно меньше расстояния, отсчитываемого вдоль его поверхности, на котором амплитуда векторов E, H претерпевает значительное изменение.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Обозначим шины цифрами 1, 2, а их длинные стороны буквами à, b (рис. Р30.3). Для расчета поля внутри любой из шин принимаем прямоугольную систему координат, связанную с той шиной, поле в которой рассчитываем, и располагаем на- чало координат в центре сечения шины.

Напряженность магнитного поля в любой из шин записываем

 

 

 

– z

+ A2e

z

и определяем постоянные A1, A2 èç

â âèäå H A1e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ïðè z d:

 

 

условий H H a

ïðè z – d è H

H b

 

 

 

 

 

 

 

 

sh (z d)

 

 

sh (z d)

 

 

 

H

H a

 

 

 

 

 

H b

 

 

.

 

 

 

sh2 d

sh2 d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Используя граничные условия H1a

0, H1b

I h, H 2a

I h,

 

0, получаем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ðèñ. Ð30.3

H 2b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

352 Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

 

 

 

I sh (z d)

,

H

 

 

 

 

 

 

1

 

 

h sh2 d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

sh (z d)

,

 

H 2

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

sh2 d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J1

J2

I ch (z d) , h sh2 d

I ch (z d) . h sh2 d

Кривые зависимостей | H1(z) | для заданных численных значений изображены на рис. Р30.4.

Сопротивление токопровода содержит активную и реактивную составляющие, при- чем последнюю можно разделить на две: xi è xe, обусловленные соответственно внутренним и внешним магнитными потоками: Z Zi1 + Zi2 + jxe Zi + jxe. Внутреннее сопротивление Zi одной шины токопровода рассчитаем по формуле

 

l

 

 

*

 

 

Zi

 

[E, H ]ds

 

l cth 2 d

I 2

,h

 

 

s

 

 

 

 

а внешнее — по формуле xe ! Le ! 0 l c , ãäå c — расстояние между шинами, l — h

длина шины.

Ðèñ. Ð30.4 Ðèñ. Ð30.5

Подставляя численные значения, находим зависимость r r(f ), изображенную на рис. Р30.5.

2. Воспользуемся полученным в предыдущей задаче решением

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sh (z d)

 

 

 

 

 

sh (z d)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H

H a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H b

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sh2 d

 

 

 

sh2 d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

определяющим поле в любой из шин, записывая предварительно величины H1a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H1b

, H

2a , H 2b , H 3a ,

H 3b :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I1

 

 

 

 

I 2

 

 

I 3

 

 

I

1

 

 

 

 

 

 

I

1

 

 

 

 

 

H1a

0, H1b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, H

2a H1b

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

2h

2h

h

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I1

 

I 2

 

 

 

I

3

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H 2b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( I1

I 2

I

3 ), H 3a

H 2b

, H 3b

0.

 

 

 

2h

2h

 

2h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Получаем:

Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

353

 

 

I1 sh (z

d)

,

 

 

 

 

I

1 ch (z d)

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

sh2 d

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

sh2 d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I1 sh (z

d)

 

1

( I1

I 2 I

3 )

sh

(z d)

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h sh2 d

 

 

 

sh2 d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

I

1 ch (z

d)

 

 

( I

1

I

I

3

)

ch (z d)

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2h

sh2d

 

 

 

 

 

2h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

sh2d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sh (z d)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

( I1 I 2 I 3 )

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H 3

2h

 

 

sh2 d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

( I

 

I

 

I

 

 

ch (z d)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ðèñ. Ð30.6

 

 

 

 

 

)

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

2h

 

 

 

 

 

 

 

 

sh2d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Зависимость | J1(z) | изображена на рис. Р30.6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Применяя закон полного тока, можем получить величины:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I1

 

 

 

 

 

 

 

 

I 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H1a

 

H 3b

 

0,

 

H1b

 

H 2a

 

 

 

 

, H 2b

 

H 3a

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для нахождения величин H1b

 

 

H 2a воспользуемся выражением, полученным

при решении упр. 1:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sh (z d)

 

 

 

 

 

sh (z

 

d)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H

H a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H b

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sh2 d

 

 

 

sh2 d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а также выражением

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ch (z d)

 

 

 

ch (z d)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 dH

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

H a ,

 

 

 

 

 

 

 

H b ,

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, dz

 

 

 

sh2d

 

 

 

 

sh2d

 

Выбирая контур длиной l, образованный линиями, лежащими на сторонах 1b è 2à

шин, запишем уравнение E dl

 

 

 

 

 

 

 

 

 

– j! â âèäå E 2a l

E1b l

j! 0c l H1b è, ó÷è-

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I 3

 

I1

 

 

 

 

I1

 

cth 2 d, после несложных

тывая, что E 2a

 

 

 

 

cth 2 d, E1b

 

 

 

 

,h sh2d

,h

 

,h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

преобразований находим: I

 

 

 

I

 

 

 

 

 

. Подставляя

численные

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

(2cth2d c) sh2 d

 

 

 

 

 

 

 

 

значения, получаем: I 12 – j 215 À, I

988 + j 215 À.

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Учитывая условия симметрии, можем на основе закона полного тока записать соотношения:

 

 

0,

 

 

H1a

H 4b

H 2b

H

Величину H1b найдем, используя

 

 

1

 

 

 

 

 

 

3a

 

 

(I1

I

2 ), H1b

H 2a

H 3b

H 4a .

h

 

 

 

 

 

 

 

 

! закон электромагнитной индукции E dl –j 0

l

и выбирая такой контур интегрирования, длина которого равна l и две стороны

 

 

1b l j!

 

. Записывая вы-

которого проходят вдоль линий 1b è 2a: E

2a l E

0c l H1b

354 Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

ражения для E1b , E 2a , H1b и повторяя решение предыдущего упражнения, полу- чаем выражение для тока I1.

5. Как и при решении упр. 3 и 4, выражаем вначале напряженность магнитного поля на сторонах a è b шин через их токи. Для нахождения токов шин записыва-

!

ем уравнение E dl j для контура длиной l, образованного линиями, лежа-

l

щими на сторонах 1b è 3à шин. Аналогичное уравнение можем записать и для контура с линиями, лежащими на сторонах 2b è 4a øèí.

7. Будем считать, что ток I1 первой фазы протекает по левой шине, ток второй фазы I 2 I1(–0,5 – j3/2) — по средней, а ток I 3 I1(–0,5 + j3/2) третьей фа-

зы — по правой шине. Напряженность магнитного поля на длинных сторонах шин:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I1

 

 

 

 

 

I 3

 

I1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H1a H 3b 0,

H 2a

H1b

 

h

,

H 2b

H

3a

 

h

 

2h

( 1 j 3).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Активные сопротивления шин рассчитываем, пользуясь выражениями

 

 

l h

 

*

 

 

 

 

l h

 

 

 

 

*

 

*

 

 

 

 

 

 

cth 2 d,

r1 r3

 

 

Re ( E1b

H1b ), r2

 

 

 

 

 

Re (E 2a

 

H 2a E 2b

H 2b ), ãäå E1b

H1b

,

I 2

 

I 2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

E 2a

H 2a

, cth 2 d –

H 2b

,

 

 

, E 2b

H 2a

 

 

– H

2b , cth 2 d.

sh2 d

, sh2 d

Выполняя несложные преобразования, находим: r1 l ,h Re ( cth 2d),

r2 l ,h Re (2 cth 2d –

 

 

1

 

), и после подстановки численных значений по-

 

 

 

 

 

 

sh2d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

лучаем: r1 1,8 10–5 l Îì, r2 2,34 10–5 l Îì.

8. Соотношение, связывающее токи I1, I1 шин первой фазы I1 I1 I1, дополним

!

уравнением E dl j , записанным для контура, длинные стороны которого

l

(длиной l каждая) проходят вдоль шин по сторонам 1b первой шины и 2à второй

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

øèíû: E 2a

E1b

j!

0cH1b

j!

0c I1 h. Учитывая, что E

1b

H1b

,

cth 2 d,

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

E

2a

H 2a

 

 

cth 2 d – H

2b ,

 

, H 2a

H1b

, H 2b

I1

h, находим после

,

sh2 d

простых преобразований выражение, аналогичное полученному при решении

 

 

 

 

I1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

óïð. 3: I

 

 

 

 

 

 

. При расчете токов I

 

, I уравнение

 

E dl j!

 

 

 

 

 

1

 

(2cth2d

c)sh2d

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

принимает вид E 4a E 3b

0cH 3b , ãäå

 

 

 

 

 

 

 

 

I 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E 4a

H 4a

, cth2 d

H 4b

 

, H 4a

 

H 3b

, H 4b

 

 

,

 

 

 

, sh2 d

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E 3b

H

3a

 

H 3b

, cth2 d,

 

H 3a

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, sh2 d

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

.

Используя эти соотношения, находим величину H

3b

и далее токи I

2

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

355

9. Принимая допущение, что линии напряженности магнитного поля в пазу па-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

раллельны дну паза, в прямоугольной системе координат имеем H

k H z . Ïðè

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сonst в силу условия . вещества зубцов и тела ро-

h < y < h1 имеем H

 

I d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тора. Поэтому уравнение

 

 

 

 

j! 0, H следует решать при граничных условиях

dy 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

âèäà: H

0 ïðè y 0, H I d ïðè y h. Опреде-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

– y

+ A2e

y

 

 

лив входящие в решение H(y) A1e

 

 

 

 

постоянные A1, A2, получаем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I sh y

 

 

dH I ch y

 

 

 

 

 

H(y)

 

 

 

 

,

J(y)

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

d

sh h

 

dy

d

sh h

 

 

 

 

Электромагнитное поле проникает в провод

 

 

сквозь его верхнюю поверхность, ограниченную

 

 

линией y h, òàê ÷òî

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

–4

 

 

 

 

r

 

 

Re

S ds

 

 

 

 

Re( cth h) 2,3 10

 

 

Îì.

 

 

I

2

 

,d

 

 

Ðèñ. Ð30.7

 

 

 

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кривые H(y), J(y) при заданных численных значениях изображены на рис. Р30.7.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H

10. Запишем решение дифференциального уравнения

 

 

 

j! 0 ,H, описываю-

dy 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

щего поле в любом из проводников при граничном условии общего вида H H a

ïðè y 0 è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H H b ïðè y h на сторонах проводника:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sh (h y)

 

 

sh y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H(y)

H a

 

 

 

 

H b

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sh h

 

sh h

 

На сторонах проводника 1 имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H1a 0, H1b

I d, тогда как на сторонах про-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

водника 2 — H 2a

I d,

H 2b

2 I d. Поэтому можем записать соотношения:

 

 

 

 

 

 

 

I

sh y

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H1(y)

 

 

 

 

 

,

H 2

(y)

 

 

 

 

 

 

[sh (h y) 2sh y],

 

 

 

d sh h

 

d sh

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J (y)

 

I

 

ch y

, J

(y)

 

I

 

 

[ch (h y) 2ch y].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

d sh h

 

 

2

 

 

 

d sh h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Активное сопротивление проводника 1 можно

 

 

 

 

 

рассчитать по формуле, полученной при реше-

 

 

 

 

нии упр. 9, сопротивление проводника 2 — по

 

 

 

 

формуле

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

1

Re S ds

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l d

 

 

 

 

*

 

 

 

 

 

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Re[E

2 (h) H 2 (h)

E 2 (0) H 2 (0)].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I 2

 

 

 

 

 

 

 

 

Ðèñ. Ð30.8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

356 Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

Кривая зависимости H(y) изображена на рис. Р30.8. При заданных численных значениях получаем r1 Φ 3,58 10–4 Îì, r2 Φ 1,67 10–3 Îì.

11. Запишем напряженности электрического поля на сторонах 1b (ïðè y1 h) è 2à (ïðè y2 0) проводников, пользуясь решением предыдущей задачи:

 

 

I

 

 

 

 

 

ch h).

1

 

E1b

 

ch h, E 2a

 

(I

– I1

,d sh h

,d sh h

 

 

 

 

 

 

 

Для нахождения тока проводника 1 запишем уравнение закона электромагнит-

 

 

 

 

 

 

ной индукции E dl j!, выбирая контур интегрирования со сторонами, сов-

l

 

 

 

 

 

 

 

 

j!

 

d. Здесь c —

падающими со сторонами 1b, 2à проводников: E1b

E

2a

0c I1

расстояние между сторонами 1b è 2à проводников. Подставляя в это выражение

 

 

 

, получаем после простых преобразований

величины E1b

, E 2a

I

 

 

 

I

–6,6 – j 9,3 A, I

I – I

106,6 + j 9,3 A.

 

 

 

1

 

2ch h c sh h

2

1

 

 

 

 

 

 

Активные сопротивления проводов рассчитываем так же, как и при решении упр. 9 и 10.

12. Приведем решение при параллельном соединении проводников. Обозначая проводники, начиная от дна паза, цифрами 1, 2, ..., n, а их стороны как 1à, 1b, 2à, 2b и т. д., можем записать на основе закона полного тока величины напряженностей магнитного поля:

 

 

 

 

 

 

I1

 

 

 

 

 

 

I1

 

 

 

I1

I 2

 

H1a

 

0,

H1b

 

 

,

H 2a

H1b

 

 

,

H

2b

 

 

 

, ,

d

d

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I1 I 2

I n 1

,

 

 

I1 I 2

I n

 

.

 

H na

 

 

 

 

 

 

 

H nb

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В соответствии с законом электромагнитной индукции для контура со сторона-

 

 

j!

 

. Здесь c — расстояние между сторо-

ìè kb, (k + 1)à имеем E kb

E k 1,a

0cH kb

íàìè kb è (k + 1)a проводников.

Количество таких соотношений, получаемых при k 1, 2, ... n – 1, равно n – 1.

 

 

 

 

 

 

выражаются через токи

 

 

 

 

 

 

проводни-

Входящие в них величины E k ,

H k

I1

, I 2 , ,

I n

ков, так как (см. решение упр. 10)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sh (d y)

 

 

 

 

sh y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H k

(y) H ka

 

 

 

 

 

H kb

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sh d

 

 

sh d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ch (d y)

 

ch y

 

 

 

 

 

 

 

 

E k

(y) H ka ,

 

 

 

 

 

H kb ,

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

sh d

 

sh d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(I1 I k 1)

 

 

1

 

 

 

(I1 I 2 I k

Λ

 

cth d,

 

 

E kb

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,d

 

 

 

 

 

sh d

 

 

,d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(I1 I k )

 

cth d

(I1 I 2 I k 1) 1

.

 

 

E k 1,a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,d

 

 

 

 

 

,d

 

 

 

sh d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

357

Для нахождения n токов I1, I 2 , , I n следует (n – 1) соотношение дополнить уравнением I1+ I 2 + + I n I.

13. При заданной геометрии шин возможно, учитывая соотношение размеров (d ΗΗ h), разделение магнитного потока на внутренний, линии которого параллельны длинным сторонам шин и проходят в теле шин, и внешний, линии которого проходят параллельно этим сторонам шин в пространстве между шинами.

Внутреннюю индуктивность шин при переменном токе находим с помощью выра-

жения Li

xi

 

2l h

 

 

1

 

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Im

 

 

 

E H . Учитывая, что на внутренних (обращенных друг

!

!

 

 

 

 

 

 

I 2

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*

*

2l

 

к другу) сторонах шин E

 

cth 2 d, H

I h, получаем Li

 

Im( cth 2 d).

,h

!,h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Напряженность магнитного поля внутри левой

 

 

шины при постоянном токе равна Hi

iz

(ïðè

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2dh

 

 

отсчете координаты z от левой стороны шины).

 

 

Энергия магнитного поля, заключенная внутри

 

 

шин, равна W

 

2l

0

i2

 

 

 

4l

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d è L

0

 

d. Внешняя

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ì

 

 

3h

 

 

 

 

 

 

3h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

индуктивность шин равна Le 0 lc h. Кривая за-

 

 

висимости Li/L0 f(! ,) изображена на рис. Р30.9.

Ðèñ. Ð30.9

14. При расчете сопротивления прямоугольной шины в условиях резко выраженного поверхностного эффекта под величиной u, входящей в выражение

Z (1 + j)

l

 

 

 

!

 

, следует понимать периметр, равный u 1 2h. Используя найден-

u

2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ное при решении упр. 3, § 30.1

выражение Z1

l

cth d и выделяя вещест-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2,h

венную и мнимую части величин Z è Z1, находим погрешность расчета активного

и внутреннего реактивного сопрîòèâлений шины.

 

 

 

 

15. Учитывая соотношение E

 

 

! ,H, и используя выражение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

!

 

 

H

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lu

 

 

me

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2,

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

находим: P

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lu

 

tm

(здесь u — сечения провода, l — его длина).

 

 

2!

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16. Выражение для вычисления точного сопротивления провода

Zвнутр

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j! , J0 (x) J1(x) , ãäå x R j! ,, можем записать в виде

 

 

 

 

 

 

2 ,R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Zвнутр

 

l

 

 

 

!

 

(1 – j)

J0 (x)

rðïý(1 – j)

J0 (x)

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R 2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

J1(x)

 

 

 

 

 

J1(x)

358 Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

òàê êàê

l

 

!

 

rðïý — активное сопротивление провода при резком проявле-

 

2,

2 R

 

 

нии поверхностного эффекта. Учитывая, что активное сопротивление провода

определяется выражением Re [rðïý

(1 – j)

J0

(x)

], можем записать искомую по-

 

 

 

 

 

 

 

J1

(x)

 

 

 

грешность в виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rðïý r

Ξ

 

(1 j) J0

(x)

1

6

 

 

8

 

8

 

 

 

100% Ψ

Re

 

 

 

 

 

 

 

17

100%.

r

 

J1(x)

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

Ζ

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для заданных параметров имеем x R j! , 1,54

 

j, Φ –13,8 %.

17. Активное сопротивление медного провода rì

 

l

Re

x J0 (x)

,

2 ,R2

J1(x)

 

 

 

 

 

ãäå x R j! ,, оказывается равным rì 2,2 10–4 l Îì.

Такое же сопротивление имеют алюминиевый провод радиусом R 0,64 см и стальной провод радиусом R 2,4 ñì.

18. Сопротивление медного провода длиной l при переменном токе

 

 

 

 

 

 

rì

l

x J0 (x)

 

Φ 2 (здесь x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rì j! 0

, ì ). Радиус R сталь-

 

Re

 

, òàê ÷òî rì/r0

2 , ì Rì2

J1(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

(R

 

j!

 

,

 

4:

 

 

 

 

 

 

j! c , c

0

c

c

c

ного провода находим, решая уравнение Re R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J1(Rc j! c , c )

 

Rñ Φ 2,2 ñì.

19. Можно считать, что активное сопротивление провода практически не зависит от свойств вещества сердцевины, если электромагнитное поле проникает сквозь поверхность провода в алюминий на глубину, равную эквивалентной глубине проникновения b (f,àë)–0,5. Из уравнения b находим

f Ν

1

 

Φ 1810 Ãö.

2,

àë

 

 

 

30.3. Неравномерное распределение переменного магнитного потока и электрического тока

ВОПРОСЫ

6.При вычислении интеграла в законе полного тока следует принимать во внимание как сторонний, так и вихревой ток, охватываемые контуром интегрирования.

7.При постоянном токе это выражение пригодно для нахождения напряженности магнитного поля внутри сердечника. Если в обмотке протекает переменный ток, то следует учесть вихревой ток в сердечнике, линии которого замыкаются в

плоскостях, нормальных к осевой линии сердечника: 2rH iñòîðw + iâèõð.

Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

359

УПРАЖНЕНИЯ

1. Искомое отношение можно найти, используя выражение

nPâ(d2 ) d2 (sh kd2 sin kd2 )(ch kd1 cos kd1) . Pâ(d1) d1(sh kd1 sin kd1)(ch kd2 cos kd2 )

Для заданных численных значений получаем: à) n 6,25, á) n 6,1.

3. Учитывая, что наибольшая, наименьшая и средняя величины магнитной индукции определяются выражениями

B

 

B

ch kd cos kd , B

 

 

B

 

, B

 

B

 

ch kd cos kd

,

míá

míì

m0

mñð

m0

 

 

 

m0

2

 

 

 

 

 

kd

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ch kd cos kd

1, решение которого kd

получаем уравнение

ch kd cos kd

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

10 kd

 

 

 

 

 

1,5 позволяет получить: d 0,96 ìì ïðè f 50 Ãö è d 0,15 ìì ïðè f 2000 Ãö. 4. Напряженность магнитного поля на поверхности провода

 

 

 

Jm0

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

H me

 

 

 

 

J1(R j! ,) запишем с учетом соотношения Jm0

Jme

 

 

 

 

 

j! ,

J0

(R

 

j! ,)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(здесь Jm0 , Jme — комплексные амплитуды плотности тока на оси провода и на

 

 

 

J

 

J

(R

j! ,)

 

 

me

1

 

 

 

. Принимая во внимание,

его поверхности) в виде H me

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j! , J0

(R

j! ,)

 

 

 

 

что наибольшая плотность тока имеет место на поверхности провода и учиты-

 

I m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Jäîï 2R J1(R

j! ,

)

 

 

âàÿ, ÷òî H me

 

, находим искомый ток: I

 

 

 

 

 

 

.

Подстав-

2R

 

 

J0 (R

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j! ,

 

j! ,

 

 

ляя численные значения, получаем I

 

I

 

 

Φ

200 A.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Записывая проекцию уравнения rot ,

–1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rot H

– j!0 H íà îñü z цилиндриче-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ской системы координат, являющуюся осью провода, и учитывая, что H

H z (r),

 

 

 

d

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H

 

1 dH

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

получаем уравнение

 

 

 

 

 

 

j! 0,H

, совпадающее с уравнением относи-

dr 2

r

 

dr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тельно плотности тока в цилиндрическом проводе круглого сечения. Решение

 

J0(x) + B0N0(x), ãäå x r

 

 

уравнения H A0

j! ,, следует записать в виде H

A0 J0 (x) (так как на оси провода при x 0 имеем N0(0) .) и найти искомую по-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

стоянную À0 из граничного условия при r R, которое имеет вид H(R) H e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A0

 

 

H e

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J0 (R j! ,)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H e

 

 

 

 

 

j! ,).

 

 

H(r)

 

 

 

 

 

 

 

J

0

(r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J0 (R

 

 

j! ,)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

360 Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

Для расчета тока I H dl в проводе выберем контур интегрирования, располо-

l

женный в плоскости const, одна из сторон которого совпадает с осью провода, а другая проходит параллельно оси вдоль поверхности провода. Две другие стороны контура лежат на расстоянии l одна от другой и перпендикулярны оси. Используя найденное решение, находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H e l

 

 

 

j! ,) 1]

I

I

[H(R) H(0)] l

 

 

 

 

[J

0

(R

 

 

 

 

J0 (R

 

j! ,)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è Im 4,2 102 À ïðè l 1 ì.

30.4. Эффект близости. Электромагнитное экранирование

ВОПРОСЫ

4. Проводящая труба, охватывающая двухпроводную линию либо три провода трехфазной линии, сумма токов проводов которых равна нулю, обладает экранирующими свойствами и ослабляет поле линий в точках вне трубы.

Если каждый из проводов линии (однофазной или трехфазной) охватить проводящей изолированной трубой, то экранирующего эффекта не наблюдается.

Действительно, магнитное поле каждого из проводов в точках вне трубы сохранится тем же (что и без трубы), так как вследствие равенства нулю всего вихревого тока в стенках каждой трубы интеграл H dl вдоль пути, охватывающего

l

трубу, сохраняется равным току провода. Экранирующий эффект проводящих труб проявляется, если они электрически соединены между собой, когда вихревой ток каждой из них отличен от нуля.

5.Экранирующее действие сетчатых проводящих экранов (как и сплошных проводящих экранов) в переменном электромагнитном поле основано на эффекте ослабления поля за счет действия индуцируемых в теле экрана вихревых токов. Эффективность экранирования сетчатого экрана определяется соотношением размеров ячеек сетки и длины электромагнитной волны, а также удельной электрической проводимостью материала экрана. Экранирующее действие сетчатого экрана ослабляется, когда длина волны становится меньше размера ячейки сетки экрана.

6.Экран следует расположить так, чтобы щель, образуемая при соединении частей экрана, не препятствовала протеканию индуцируемых в стенках экрана вихревых токов. Так как вихревые токи в стенках экрана замыкаются в плоскостях, параллельных плоскости кольца с током, то для достижения наибольшего экранирующего эффекта щель следует расположить в плоскости кольца.

Соседние файлы в предмете Электрооборудование подстанций промышленных предприятий
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности