Теоретические основы электротехники-3

252 Часть 4. Теория электромагнитного поля

вдоль листа перпендикулярно заштрихованному на рис. 30.10 сечению. Рассмотрение этого случая представляет большой интерес, так как сердечники трансформаторов и электромагнитов, а также участки магнитных цепей электрических машин, пронизываемые переменным магнитным потоком, обычно собирают из листовой электротехнической стали. Переменный магнитный поток индуцирует электродвижущие силы в контурах, расположенных в плоскостях, нормальных к линиям магнитной индукции. В этих контурах под действием индуцированных ЭДС возникают вихревые токи. Как магнитный поток, так и вихревой ток распределяются неравномерно по сечению листа. Обычно длина l листа и его высота h (рис. 30.10) значительно превосходят его толщину d. При этом можно

пренебречь искривлением линий тока у краев листа и считать линии тока прямыми, направленными параллельно поверхности листа и перпендикулярно линиям магнитной индукции. Расположим оси координат так, как показано на рис. 30.10, т. е. так, чтобы, как и раньше, вектор E был параллелен оси OX и вектор H был параллелен оси OY. Начало координат поместим в середине сечения листа. При h 00 d è l 00 d электромагнитную волну можно считать плоской. Сделаем допущение, что const. При этом остаются в силе уравнения, полученные в § 30.1. Следовательно, имеем

Однако граничные условия теперь оказываются иными, нежели для случая, исследованного в § 30.1. Электромагнитные волны проникают в лист с двух его сторон, и на обеих поверхностях листа векторы B и соответственно векторы H должны быть одинаковы по величине и направлению. Это требование соблюдается при условии A1 A2 A. Следовательно,

Обычно нас интересует среднее значение Bñð индукции по сечению листа. Комплексная амплитуда этого среднего значения получается как среднее значение

комплексной величины Bm на толщине листа:

Для нахождения самих действительных амплитуд индукции и плотности

толщина листа 0,5 мм недопустимо велика. При звуковых частотах она должна быть порядка 0,05—0,10 мм. При радиочастотах уже и при таких малых толщинах листа поток распределяется весьма неравномерно по толщине листа — вихревые токи сильно ослабляют поле в середине листа. При высоких частотах находят применение сердечники, спрессованные из тончайшего ферромагнитного порошка и изолирующего материала.

Определим потери Pâ на вихревые токи в листе с учетом неравномерности распределения магнитного потока. Активная мощность, расходуемая в проводящей среде и отнесенная к единице объема, равна квадрату действующей плотности тока, деленному на удельную проводимость среды. Следовательно,

Магнитодвижущая сила вдоль контура abcda, ограничивающего заштрихо-

причем в правой части отброшен член третьего порядка малости.

Величина площадки, ограниченной контуром abcda, равна ds r d dr. Следовательно, в данном случае, когда вектор H имеет только одну составляющую

rot E E .r

Следовательно, второе уравнение Максвелла может быть написано в форме

E Hr t

èëè

ãäå A è B — произвольные постоянные; Jn (x) — функция Бесселя первого рода порядка n; Nn(x) — функция Бесселя второго рода порядка n.

Уравнение для плотности тока получается из общего уравнения Бесселя, если в нем положить n 0. Уравнение для напряженности магнитного поля получается, если положить n 1. Следовательно, общие интегралы этих уравнений

ãäå J0(x) è N0(x) — бесселевы функции первого и второго рода нулевого порядка, a J1(x) è N1(x) — бесселевы функции первого и второго рода первого порядка.

Обозначим радиус сечения провода через R. Постоянные A0 è B0 и соответст-

венно A1 è B1 îïределяются из граничных условий при r 0 è r R, ò. å. ïðè x 0 è x R j! ,.

Из подробного рассмотрения бесселевых функций следует, что J0(0) 1 è J1(0) 0, в то время как N0(0) . è N1(0) .. Òàê êàê íè Jm, íè Hm на оси провода не могут иметь бесконечно больших значений, то B0 0 è Â1 0.

Функция J0(x) есть комплексное число, так как x является числом комплексным. Через b0 обозначен модуль, а через 0 — аргумент комплексного числа J0 (x).

Напряженность магнитного поля может быть получена из уравнения (**):

258 Часть 4. Основные понятия и законы теории

Полученный новый ряд представляет собой не что иное, как бесселеву функцию J1(x) первого рода первого порядка. Через b1 обозначен модуль, а через 1 — аргумент комплексного числа J1(x).

В таблице дàíû çначения модулåé b0 è b1 и аргументов и 1 комплексных величин J0 (r j! ,) è J1(r j! ,) при нескольких значениях величины r.

Òàê êàê b0 с увеличением r! , монотонно возрастает, то амплитуда плотно-

сти тока имеет наименьшее значение на оси провода, и отношение амплитуд тока на поверхности провода и на его оси будет тем больше, чем больше угловая частота, удельная проводимость, магнитная проницаемость и радиус провоäà R. Что же касается угла 0, то он также монотонно возрастает с увеличением r! ,,

и в тех случаях, когда r! , достигает больших значений, фаза плотности тока

на некотором расстоянии от оси может оказаться прямо противоположной фазе плотности тока на оси, а при дальнейшем увеличении r может снова совпасть с фаçîé плотности тока на оси и т. д. Зависимости величин Jm/Jm0 b0 è 0 îò r! , даны на рис. 30.14. На рис. 30.15 показаны на временн'ой диаграмме векторы, характеризующие распределение плотности тока по величине и фазе вдоль радиуса проâîäа, причем в конце каждого вектора помечено соответствующее значение r! ,.

Рассмотрение рис. 30.14 и 30.15 приводит нас к тем же общим физическим положениям, которые были установлены выше и которые характеризуют явление поверхностного эффекта во всех без исключения случаях. Электромагнитная волна проникает внутрь провода сквозь его поверхность из диэлектрика, окружающего провод. По мере проникновения в глубь провода волна постепенно затухает, и амплитуды напряженности электрического поля и соответственно плотности тока убывают. При этом колебания по мере проникновения в глубь провода все более запаздывают по фазе по отношению к колебаниям на поверхности провода.

30.10. Активное и внутреннее индуктивное сопротивления цилиндрических проводов круглого сечения

Согласно соотношению, установленному в § 30.4 для провода круглого сечения, имеем

длина провода и u — периметр его сечения. Используя выражения (***) и (****)

Здесь b0e è b1e — значения модулей b0 è b1, à 0e è 1e — значения аргументов 0

è > комплексных величин J0(x) è J1(x) ïðè r R, т. е. на поверхности провода (при x R j! ,).

Угол, на который запаздывает по фазе напряженность магнитного поля относительно напряженности электрического поля на поверхности провода, равен

260 Часть 4. Теория электромагнитного поля

0e 1e . 4

Отношение внутренней индуктивности Lвнутр при переменном токе к ее зна- чению Lвнутр 0 при постоянном токе нетрудно найти, если принять во внимание, что Lвнутр xвнутр/! è ÷òî Lвнутр 0 l/(8 ). Имеем

 òàáëèце даны отношения zвнутр/r0, r/r0, Lвнутр/Lвнутр 0 и угол в зависимости