Теоретические основы электротехники-3

ни значения нормальных к поверхности грани составляющих вектора A. Суммируя потоки через все грани и деля сумму на объем параллелепипеда dx dy dz, находим

divA Ax Ay Az .x y z

Расхождение вектора иногда обозначают )A где ) (читается «набла») представляет собой символический дифференциальный векторный оператор Га-

òàê êàê ii jj kk 1 è ij jk ki 0.

Таким образом, теорему Гаусса в дифференциальной форме можно написать

Выражения для div A принимают вид:

22 Часть 4. Теория электромагнитного поля

мах координат.

Для неоднородной и анизотропной среды теорема Гаусса не применима. При этом следует пользоваться аналогичным, имеющим значительно более общий характер уравнением для вектора электрического смещения D. Именно, согласно постулату Максвелла, поток вектора электрического смещения сквозь любую замкнутую поверхность в любой среде равен свободному электрическому заряду, заключенному в пространстве, ограниченном этой поверхностью:

Dds q.

s

В дифференциальной форме постулат Максвелла принимает вид

ò. å.

divD

или в иной записи

)D .

В декартовых координатах это уравнение пишется в форме

Dx Dy Dz .x y z

Заметим попутно, что выражение rot A может быть записано через знак ) в виде векторного произведения [)A], в чем нетрудно убедиться.

23.5. Выражение в дифференциальной форме принципов непрерывности магнитного потока и непрерывности электрического тока

Имеющий фундаментальное значение принцип непрерывности магнитного потока утверждает, что линии магнитной индукции нигде не имеют ни начала, ни конца — они всюду непрерывны. Иными словами, магнитный поток сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю:

B ds 0.

s

В природе не существует магнитных масс, являющихся источниками линий магнитной индукции, подобных электрическим зарядам, которые дают начало линиям электрического смещения. Магнитное поле порождается только электрическими токами, и линии магнитной индукции, окружающие электрические

Оно выражает собой теорему Стокса и имеет чисто геометрический смысл преобразования поверхностного интеграла в интеграл по контуру. Действительно, представим себе поверхность s разделенной на элементы ds. Величина нормальной составляющей вектора rot A в соответствии с ее определением есть отношение суммы произведений A dl по всем сторонам контура, ограничивающего элементарную площадку ds, к величине поверхности ds. Следовательно, rot A ds представляет собой эту сумму. При составлении интеграла rot A ds ïî âñåé ïî-

s

верхности s произведения A dl для всех соприкасающихся сторон соседних элементарных площадок взаимно компенсируются, и остаются только произведения A dl по всем элементам dl контура l, ограничивающего всю поверхность s, что и приводит к последнему равенству.

23.7. Полная система уравнений электромагнитного поля

Рассматривая элементарные заряженные частицы, движущиеся в пустоте, и окружающее их поле, мы различаем два вида электрического тока: ток переноса и ток электрического смещения в пустоте. В части пространства, занимаемой движущимися заряженными частицами, существуют токи переноса, плотность которых имеет выражение Jïep v. В остальном пространстве, окружающем движущиеся заряженные частицы, существуют токи электрического смещения, имеющие плотность ñì D/ t, ãäå D — электрическое смещение в пустоте.

В общем виде можно написать: D/ t + v, причем в одних точках пространства первое слагаемое равно нулю, а в других точках равно нулю второе слагаемое.

Векторы D è E электрического поля и соответственно векторы B è H магнитного поля связаны через электрическую постоянную 0 и магнитную постоянную 0 соотношениями:

D 0 E è B 0 H.

Таким образом, полная система уравнений электромагнитного поля в этом случае имеет вид

Используя связи D 0 E è B 0 H, можно эти уравнения переписать так, чтобы они содержали только векторы E è B. Эти векторы следует рассматривать как основные векторы электромагнитного поля. Действительно, как мы видели (см. ч. I), сила, действующая на заряженную частицу, движущуюся в электромагнитном поле, определяется именно этими векторами. Учитывая, что 0 è 0 — постоянные величины, получаем

26 Часть 4. Теория электромагнитного поля

При микроскопическом рассмотрении явлений только что приведенный слу- чай является общим. При этом в некоторой области пространства элементарные частицы, обладающие электрическим зарядом, могут отсутствовать, и электри- ческие токи могут быть замкнутыми на себя токами электрического смещения, что, например, имеет место в излученной электромагнитной волне.

При изучении электромагнитных процессов в веществе обычно нет необходимости рассматривать сложную микроструктуру вещества. Действительное электромагнитное поле в веществе весьма резко изменяется от точки к точке в пространстве между элементарными заряженными частицами, входящими в состав вещества, и в каждой точке величины, характеризующие поле, являются быстро изменяющимися функциями времени вследствие движения с большой скоростью этих частиц. Однако эти неоднородности имеют микроскопический характер, и мы имеем все основания их осреднить в пространстве и во времени при рассмотрении макроскопических процессов. При этом осредненные величи- ны, вообще говоря, будут функциями координат и времени, но изменяющимися значительно медленнее, чем истинные величины при микроскопическом рассмотрении явления.

Если свободные заряженные частицы находятся в столь разреженном веществе, что они могут беспрепятственно ускоряться под действием электрического поля, не испытывая или почти не испытывая столкновений с молекулами вещества, то в таком случае под действием осредненного электрического поля возникает упорядоченный ток переноса. Примером может служить ток между электродами в сильно разреженном газе, когда расстояние между электродами меньше средней длины свободного пробега ионов и электронов.

Если элементарные заряженные частицы, движущиеся в веществе, многократно путем столкновения передают атомам вещества кинетическую энергию, приобретаемую при ускорении в осредненном электрическом поле, то под действием постоянного осредненного поля устанавливается постоянная средняя скорость заряженных частиц. При этом в изотропной среде осредненная плотность тока может быть выражена в форме произведения осредненной напряженности электрического поля E и величины ,, характеризующей электропроводность вещества и именуемой удельной проводимостью вещества. Такой ток называем током проводимости. Примерами могут служить токи в металлах, полупроводниках и электролитах.

Плотность тока переноса Jïep и плотность тока проводимости Jïp могут быть представлены в виде произведения осредненной объемной плотности заряда движущихся частиц на осредненную их скорость. При этом если в движении участвуют как положительно, так и отрицательно заряженные частицы, то плотность тока может быть выражена в виде J +v+ + –v–, ãäå + è v+ — объемная плотность заряда и средняя скорость положительно заряженных частиц и – è v– — тоже отрицательно заряженных частиц.

Для тока проводимости имеем возможность представить плотность тока в изотропной среде также в форме

Jïð ,E.

Удельная проводимость , зависит от температуры среды и в общем случае может зависеть также и от напряженности электрического поля.

Во всех остальных случаях, когда среду не представляется возможным характеризовать определенным образом зависящей от температуры и напряженности поля удельной электрической проводимостью, т. е. когда связь между плотностью тока и напряженностью электрического поля не представляется возможным выразить в форме J ,E, условимся явление движения заряженных частиц именовать током переноса. При таком условии в окрестности данной точки пространства может быть либо ток проводимости, либо ток переноса, а не оба эти вида тока одновременно.

Всякое вещество под действием электрического поля поляризуется. Элементарные заряженные частицы, входящие в состав атомов и молекул, смещаются: частицы с положительными зарядами — в направлении поля, с отрицательными зарядами — против поля. Этот процесс мы количественно характеризовали поляризованностью P вещества. Полное осредненное электрическое смещение D в веществе равно сумме осредненного электрического смещения D0 в пустоте и поляризованности P вещества:

D D0 P 0 E P.

Для осредненных значений D è E для изотропного вещества можно написать соотношение

D E,

где — абсолютная диэлектрическая проницаемость вещества. В выражении для плотности тока смещения в диэлектрике

ñì D (E)t t

будем подразумевать под ñì, D è E также осредненные значения соответствующих величин.

При внесении вещества во внешнее магнитное поле в веществе возникают согласованные элементарные токи, создающие магнитные поля, направленные против внешнего поля, если вещества диамагнитные, и в сторону внешнего поля, если вещества парамагнитные и ферромагнитные. Осредненное значение магнитной индукции может быть представлено при этом в виде суммы

B 0 H 0 M,

ãäå H — осредненная напряженность магнитного поля и M — намагниченность вещества. Соотношение между B è H для изотропного вещества пишется в виде

B H ,

где — абсолютная магнитная проницаемость вещества.

Рассматривая в дальнейшем осредненные в указанном смысле значения всех величин, будем иметь для любого изотропного вещества следующую систему уравнений электромагнитного поля:

28 Часть 4. Теория электромагнитного поля

Плотность тока для общности выражена в виде суммы трех составляющих. При этом надо иметь в виду, что по самому смыслу первой и третьей составляющих они не могут иметь места в одной и той же точке пространства одновременно. Две первые составляющие могут быть одновременно в полупроводящей среде. Однако в хорошо проводящих веществах всегда можно пренебречь второй составляющей по сравнению с первой и в диэлектриках обычно можно пренебречь первой составляющей по сравнению со второй.

При решении конкретных задач к приведенным выше уравнениям электромагнитного поля необходимо добавить граничные условия на поверхностях, являющихся границами между различными средами — границами между диэлектриками и проводниками, между двумя диэлектриками с различными , между двумя проводящими средами с различными ,, между двумя средами с различными . Эти граничные условия будут сформулированы в следующем параграфе. При исследовании переменных полей в общем случае должны быть заданы также начальные условия.

Кроме того, для решения вопроса о передаче энергии электромагнитным полем необходимо использовать выражение для объемной плотности энергии электромагнитного поля:

W Wý Wì ED BH . 2 2

23.8. Граничные условия на поверхности раздела двух сред с различными электрическими и магнитными свойствами

Рассмотрение уравнений электромагнитного поля, записанных в дифференциальной форме в выбранной системе координат, показывает, что величины H, E, B, D должны быть непрерывными функциями координат, так как в противном случае их производные не существуют. Функции H, E, B, D могут быть разрывными в точках на границах раздела сред с различными электрическими или магнитными свойствами, а также в точках поверхностей с весьма тонкими распределенными на них слоями зарядов или токов.

Так как уравнения электромагнитного поля не могут быть записаны в таких точках, то задача нахождения электромагнитного поля не может быть решена, если не дополнить уравнения соотношениями, связывающими составляющие векторов H, E, B, D по обе стороны поверхностей, являющихся границами раздела сред с различными электрическими или магнитными свойствами, и называемыми граничными условиями.

Рассмотрим поведение поля на границе раздела двух однородных и изотропных сред с различными электрическими и магнитными свойствами.

В каждой из сред поле будем характеризовать векторами X, Y, связанными между собой соотношением Y aX, ãäå a — скалярная величина, и удовлетво-

ряющими уравнениям rot X = 0, div Y = 0, или в интегральной форме: X dl 0, Y ds 0 (ðèñ. 23.7).

ò.е. на поверхности раздела равны касательные составляющие вектора X. Вообразим замкнутую поверхность, образованную плоскими поверхностями

s1 è s2, следы которых в плоскости рисунка суть линии ab è cd, и цилиндриче- ской поверхностью, пересекающейся с плоскостью рисунка по линиям bc è ad. Поток вектора Y сквозь эту замкнутую поверхность равен нулю, так как внутри поверхности нет источников поля Y. Пренебрегая потоком сквозь бесконечно малую цилиндрическую поверхность, получаем

Y ds Y ds Y1 cos 1s1 Y2 cos 2 s2 0,

т. е. на поверхности раздела равны нормальные составляющие вектора Y. Разделив равенство (*) на (**), с учетом соотношения Y1 a1X1 è Y2 a2X2,

получаем условие преломления линий при переходе их из одной среды в другую:

tg 1

tg 2

Если линии вектора X нормальны к поверхности раздела, то векторы Y будут одинаковы в обеих средах: Y1 Y2, но вектор X на поверхности раздела скачком изменяет свое значение, так как

X1 Y1 X 2 Y2 . a1 a2

Понимая под функцией X одну из величин E, H, а под функцией Y — D, J èëè B, можем записать соотношения, связывающие их касательные и нормальные составляющие на поверхности раздела двух сред с различными свойствами, характеризуемыми скалярной величиной a, равной , , или .

Полученные условия непрерывности соответствующих составляющих вели- чин E, H, D, J, B на поверхности раздела двух сред сохраняются также и в случае

30 Часть 4. Теория электромагнитного поля

анизотропных сред, свойства которых характеризуются тензорной величиной (a). Однако условия преломления линий при переходе их из одной среды в другую принимают более сложный вид.

В некоторых случаях на границах раздела сред с различными свойствами размещаются источники поля, такие как электрические заряды с поверхностной плотностью и подводимые извне сторонние токи с линейной плотностью j.

l

23.9. Электростатическое поле и поле постоянных токов как частные случаи электромагнитного поля

Уже было отмечено, что при движении заряженного тела около него возникают как электрическое, так и магнитное поля, т. е. обнаруживается электромагнитное поле, и что лишь в частном случае покоящегося заряженного тела около него обнаруживается только одно электрическое поле. Уже из этого простого факта следует, что уравнения, характеризующие электростатическое поле, должны вытекать как частный случай из общих уравнений электромагнитного поля. Очевидно, это будет простейший частный случай, характерный тем, что всюду плотность тока равна нулю. Рассмотрению этого частного случая будут посвящены следующие две главы.

Другим простейшим случаем является система неподвижных сверхпроводящих контуров, по которым протекают постоянные токи. Около таких контуров обнаруживается только статическое магнитное поле. Действительно, электриче- ское поле в такой системе полностью отсутствует, так как магнитный поток не изменяется во времени и, следовательно, в пространстве не индуцируется никаких ЭДС и, кроме того, сопротивление проводников, а следовательно, и падение напряжения в проводниках равны нулю. Магнитное поле неподвижных постоянных магнитов имеет такой же характер, как и поле около неподвижных сверхпроводящих контуров с токами, так как оно создается элементарными токами в теле магнита, протекающими без потерь энергии. Несколько более сложным и вместе с тем весьма важным частным случаем электромагнитного поля является поле постоянных токов, протекающих в неподвижных проводниках, обладающих отличным от нуля электрическим сопротивлением. В этом случае около проводников и внутри них обнаруживаются как постоянное магнитное поле, так и постоянное электрическое поле. Рассмотрению этих случаев посвящаются двадцать шестая, двадцать седьмая и двадцать восьмая главы.

Âпоследних двух главах будет рассмотрен общий случай — электромагнитное поле, изменяющееся во времени.

Проблема расчета электромагнитного поля при сложной форме геометрии области рассматривается в разделе математики, называемом математической физикой.

Âдальнейшем мы приведем некоторые из методов математической физики, оптимальные для рассмотренных ранее задач. Из большой совокупности подходов могут быть выделены три: непосредственные аналитические методы расчета