Теоретические основы электротехники-3

непрерывного распределения в пространстве и во времени рассчитываемых величин (напряженностей Å, Í поля, потенциалов U и других); численные методы, при которых искомые величины отыскиваются в конечней совокупности точек, называемых узлами, при помощи конечно-разностных уравнений; методы представления исходных уравнений поля в виде интегральных уравнений и методы физического и математического моделирования.

вдоль некоторого пути (рис. 24.1), идущего в точку P, где потенциал принят равным нулю. Выражение для потенциала при этом можно написать в виде

lP lP

U E dl E cos dl,

l l

причем lP — длина всего пути от точки O до точки P;— угол между направлением вектора E и касательной к пути.

Взяв частную производную от обеих частей равенства по нижнему пределу, найдем

Ul

откуда следует, что приращение потенциала, рассчитанное на единицу перемещения в каком-либо направлении, численно равно взятой с обратным знаком составляющей напряженности поля в этом направлении.

В частности, в декартовых координатах имеем

Если направление перемещения dl составляет прямой угол ( /2) с вектором E, òî cos 0 è U/l 0. Следовательно, мысленно перемещаясь в направлении, нормальном к направлению линий напряженности поля, будем иметь

U const, т. е. будем оставаться на поверхности равного потенциала. Линии напряженности поля нормальны к поверхностям равного потенциала. Уравнение

U(x, y, z) const определяет совокупность точек, лежащих на поверхности равного потенциала, т. е. является уравнением этой поверхности. Следы поверхностей равного потенциала в плоскости чертежа называют л и н и я м и р а в н о г о п о - т е н ц и а л а. Линии равного потенциала пересекаются с линиями напряженности поля всюду под прямым углом.

Совмещая направление перемещения dl с направлением вектора E, будем иметь

Это характерное направление совпадает с нормалью к поверхности равного потенциала. Поэтому условимся обозначать перемещение dl в этом направлении через dn, в соответствии с чем напишем:

Un

Очевидно, dn есть элемент длины линии напряженности поля, причем координату n считаем растущей в направлении вектора E.

Производная от потенциала по координате имеет наибольшее значение в направлении, нормальном к поверхности равного потенциала и противоположном

Аналогично roty grad U 0 è rotz grad U 0. Подчеркнем еще раз, что для заданного поля потенциал определяется с точностью до произвольной постоянной, зависящей от выбора той точки, где принимается U 0.

24.2. Убывание потенциала и напряженности поля на больших расстояниях от системы заряженных тел

Во многих случаях существенно знать, как изменяется потенциал при удалении на весьма большое расстояние от системы заряженных тел.

Простейшие случаи были рассмотрены в первой части. Так, напряженность поля и потенциал уединенного точечного заряда q на расстоянии r от него в однородной и изотропной среде соответственно равны

причем принимается равным нулю потенциал бесконечно удаленных точек. Любая система заряженных тел с отличным от нуля суммарным зарядом, рас-

положенных в конечной области пространства, может рассматриваться на расстояниях, весьма больших по сравнению с размерами этой области, как точеч- ный заряд. Поэтому при таких весьма больших расстояниях будут справедливы с точностью до малых более высокого порядка последние формулы, причем q — общий заряд системы. Следовательно, для любой системы заряженных тел, расположенных в конечной области пространства и имеющих суммарный заряд, отличный от нуля, потенциал стремится к нулю в бесконечности как 1/r и напряженность поля — как 1/r2.

В том случае, когда сумма зарядов всех тел, образующих систему, равна нулю, потенциал убывает в бесконечности еще быстрее. Такую систему можно подразделить на диполи, так как для каждого положительного заряда dq1 можно подобрать в системе равный ему по значению отрицательный dq2. Потенциал диполя на больших расстояниях r от него выражается формулой

ãäå p qd — электрический момент диполя; — угол между радиус-вектором r и осью диполя, положительное направление которой принимаем от отрицательного заряда к положительному (рис. 24.2).

Заметим, что потенциал равен нулю не только в бесконечности, но и во всех точках плоскости, нормальной к оси диполя и проходящей через середину оси диполя, так как для этой плоскости cos 0.

Составляющие År è Å напряженности поля вдоль радиуса r и по касательной к окружности радиуса r в плоскости, проходящей через ось диполя, оказываются равными

36 Часть 4. Теория электромагнитного поля

Итак, потенциал диполя на больших расстояниях от него убывает, как 1/r 2,

àнапряженность поля — как 1/r 3. Поэтому для любой совокупности заряжен-

ных тел, заключенных в конечной области пространства и имеющих суммарный заряд, равный нулю, потенциал убывает в бесконечности не медленнее, чем 1/r 2,

àнапряженность поля — не медленнее, чем 1/r 3. При этом возможно и более быстрое убывание потенциала, если оси отдельных диполей, на которые можно подразделить систему зарядов, ориентированы в противоположных направлениях и, следовательно, поля этих диполей ослабляют друг друга.

Во всех указанных задачах был принят равным нулю потенциал бесконечно удаленных точек. Это не может быть сделано при рассмотрении поля бесконеч- но длинных проводов, суммарный заряд которых отличен от нуля. Хотя реальные провода всегда имеют конечную длину, однако при исследовании поля очень длинных параллельных прямолинейных проводов часто упрощают задачу, допуская, что провода имеют бесконечную длину. Как увидим дальше, этим достигается существенное упрощение задачи. Рассмотрим уединенный бесконечно длинный прямолинейный провод, равномерно по длине заряженный, с линей-

ной плотностью заряда −. Напряженность поля такого провода, как было получе- но в первой части, равна

E − . 2r

Полагая, что точка P, в которой U 0, удалена от оси провода на расстояние rP , получим

В частности, можно принять U 0 ïðè rP 1. Тогда будем иметь

U − ln r. 2

Принять же rP . нельзя, так как интеграл при этом теряет смысл — потенциал всюду при любом конечном r становится бесконечным.

Однако если существует несколько параллельных проводов и при этом суммарный заряд их равен нулю, т. е. − /−k 0, что обычно и имеет место в реальных задачах, то потенциал в бесконечности можно принять равным нулю даже и в том случае, если условно рассматривать провода как бесконечно длинные. Рассмотрим сначала два провода с зарядами на единицу длины −1 − è −2 – −. На рис. 24.3 отмечены точки пересечения проводов с плоскостью рисунка. Про-

удаленных точек, то на всех конечных расстояниях r1 è r2 потенциал получается конечным:

U − ln r1 . 2 r2

Заметим, что при этом потенциал равен нулю также на плоскости, проходящей посередине между проводами, так как для всех точек этой плоскости r1 r2.

Определим, как убывает потенциал на больших расстояниях от проводов. При r 00 d имеем r1/r2 1 1 – d cos /r2 1 1 – d cos /r, ãäå r — расстояние точки A от середины отрезка, соединяющего оси проводов, а — угол между радиусом r è

Разлагая логарифм в ряд по степеням d cos /r и пренебрегая членами высших порядков малости, находим

U −d cos . 2r

Составляющие напряженности поля при r 00 d имеют выражения:

Таким образом, для пары бесконечно длинных проводов, имеющих равные и противоположные по знаку заряды, потенциал в бесконечности стремится к нулю, как 1/r, а напряженность поля — как 1/r 2. Любую систему бесконечно длинных параллельных проводов, расположенных на конечных расстояниях друг от друга и имеющих суммарный заряд /−k, равный нулю, можно разделить на пары проводов с равными и противоположными по знаку зарядами. Следовательно, потенциал такой системы убывает в бесконечности не медленнее, чем 1/r, а напряженность поля — не медленнее, чем 1/r 2.

причем интеграл распространяется вдоль всех заряженных проводов. Наконец, при конечном числе n зарядов, которые могут рассматриваться как

точечные, имеем

U 1 k2n qk . 4 k 1 rk

Учитывая соотношение E – grad U, можем записать следующие выражения для напряженности электрического поля:

Здесь r — вектор, направленный от точки расположения заряда к точке определения напряженности поля и равный расстоянию между ними.

Отметим еще раз, что формулами, приведенными в настоящем параграфе, можно пользоваться для вычисления потенциала только в том случае, если заряды распределены в конечной области пространства. В частности, формулой (*) можно пользоваться, если длина проводов конечна. Действительно, эта формула основана на выражении для потенциала точечного заряда, которое получено в предположении, что потенциал бесконечно удаленных точек равен нулю. Однако, как было показано выше, для бесконечно длинных проводов потенциал в бесконечности не может быть принят равным нулю, так как при этом на всех конечных расстояниях потенциал получился бы бесконечно большим. Соответст-

венно и интеграл − dl в применении к бесконечно длинным проводам всюду об-

l r

ращается в бесконечность.

Заметим, что в случае объемного и поверхностного распределения зарядов потенциал остается конечным и в тех точках, где или не равны нулю. В слу- чае же линейного распределения зарядов потенциал самих заряженных нитей, если предположить их бесконечно тонкими, получается бесконечно большим. Поэтому точки нитей должны быть исключены из рассмотрения. Точно так же для системы точечных зарядов потенциал обращается в бесконечность в точках, где сосредоточены заряды. Эти точки также должны быть исключены из рассмотрения.

Физический смысл имеет только объемное распределение зарядов. Тем не менее условное представление о поверхностном, линейном или точечном распределении зарядов весьма полезно при решении многих конкретных практиче- ских задач.

24.4. Уравнения Пуассона и Лапласа

Подставляя в уравнение

40 Часть 4. Теория электромагнитного поля

выражающее теорему Гаусса в дифференциальной форме, вместо величин Ex, Ey è Ez их выражения через потенциал:

Это дифференциальное уравнение носит название у р а в н е н и я П у а с с о - на. Интеграл

U 41 V dVr ,

приведенный в предыдущем параграфе, является решением уравнения Пуассона в случае, когда заряды распределены в конечной области пространства.

Если в рассматриваемой области пространства отсутствуют объемные электрические заряды, то уравнение Пуассона получает вид

и называется в этом частном случае у р а в н е н и е м Л а п л а с а. Электростати- ческое поле удовлетворяет уравнению Лапласа.

Левые части уравнений Пуассона и Лапласа представляют собой расхождение градиента потенциала и могут быть записаны в форме, не зависящей от выбора системы координат:

Нередко можно встретить запись левой части этих уравнений с помощью

Оператор )2 часто обозначают и называют оператором Лапласа или лапласианом. Следовательно, уравнения Пуассона и Лапласа могут быть написаны также в виде