2. Решение полиномиальных уравнений. Функцияpolyroots

Для решения полиномиальных уравнений вида

или нахождения всех корней полинома степени n, используют функцию

polyroots(v),

возвращающую вектор-столбец длины n, состоящий из корней полинома, как действительных, так и комплексных. Аргументом функцииpolyrootsявляется векторvдлиныn + 1< 100, содержащий коэффициенты полинома.

Решить полиномиальное уравнение можно следующим образом:

1. задать полином;

2. выделить переменную синим управляющим курсором;

3. создать вектор коэффициентов полинома, выполнив последовательность команд главного меню Symbolics / Polynomial Coefficients(Символика/Коэффициенты полинома);

4. вырезать вектор коэффициентов полинома в буфер обмена;

5. задать переменную vи присвоить ей значение вектора коэффициентов полинома, вставив его непосредственно из буфера обмена;

6. применить функцию polyroots(v)в каком-нибудь выражении, например,;

7. получить вектор корней полинома: X =.

Доступ к каждому отдельному корню − элементу вектора X− осуществляется с помощью индекса, например,X_i =.

Пример 4.7.Решить уравнение.

Решение.

Напечатаем левую часть уравнения, не приравнивая выражение к 0, и выделим синим курсором переменную x:

Выберем из главного меню Symbolics / Polynomial Coefficients(Символика/Коэффициенты полинома). Появившийся вектор коэффициентов полинома выделим целиком синим курсором и вырежем в буфер обмена, используя кнопкуВырезатьна панели инструментовFormatting(Форматирование) или комбинацию клавишCtrl + X.

Напечатаем v:= и вставим вектор из буфера обмена, используя кнопкуВставитьна панели инструментов или комбинацию клавишCtrl + V.

Для получения результата напечатаем polyroots(v) =:

3. Решение систем линейных уравнений

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений:

В матричном виде ее можно записать Ax = b, где

	– матрица коэффициентов при неизвестных системы (матрица левой части системы);
	− столбец свободных членов.

Как известно, система линейных алгебраических уравнений имеет решение, если ее определитель отличен от 0: .

Умножим обе части матричного уравнения Ax = bна обратную матрицу коэффициентов при неизвестных системыA^-1слева:. Учитывая, что, вектор-столбец решений системы можно искать в виде

.

Этот прием используется в Mathcadтак:

1. задается матрица коэффициентов при неизвестных системы A;

2. задается столбец свободных членов b;

3. вводится формула для нахождения решения системы ;

4. выводится вектор решений системы .

Кроме того, пакет Mathcadимеет встроенную функцию

lsolve(A, b),

возвращающую вектор-столбец решений системы линейных алгебраических уравнений. Аргументами функции lsolveявляются матрица коэффициентов при неизвестных системы и столбец свободных членов. Порядок решения аналогичен рассмотренному, но вместо формулыиспользуется.

Реализовать широко известный метод Гаусса решения систем линейных уравнений позволяет встроенная функция rref(M), возвращающая ступенчатый вид матрицыM. Если в качестве аргумента взять расширенную матрицу системы, то в результате примененияrrefполучится матрица, на диагонали которой – единицы, а последний столбец представляет собой столбец решений системы.

Решение системы линейных уравнений можно осуществить с помощью блоков Given…Find,Given…Minerr. При этом неизвестным системы задаетсяпроизвольноеначальное приближение, а проверка необязательна.

Пример 4.8.Решить систему линейных уравненийСделать проверку.

Решение.

1-й способ.Использование блокаGiven … Find.

Зададим всем неизвестным, входящим в систему уравнений, произвольные начальные приближения, например:

Напечатаем слово Given. Установим визир ниже и наберем уравнения системы, каждое в своем блоке. Используем при этомлогический знак равенства(Ctrl + =).

После ввода уравнений системы напечатаем X:=Find(x,y,z) и получим решение системы в виде вектора, состоящего из трех элементов:

Сделаем проверку, подставив полученные значения неизвестных в уравнения системы, например, следующим образом

После набора знака «=» в каждой строке должен быть получен результат, равный или приблизительно равный правой части системы. В данном примере системная переменная ORIGIN = 1.

2-й способ.Использование блокаGiven…Minerr.

Порядок решения системы этим способом аналогичен порядку использования блока Given … Findи представлен ниже вместе с проверкой.

3-й способ.Решение системы линейных уравнений матричным способом.

Создадим матрицу А, состоящую из коэффициентов при неизвестных системы. Для этого напечатаемA := , вызовем окно создания массивов (Ctrl + M). Число строк (Rows) и столбцов (Columns) матрицы данной системы равно 3. Заполним пустые места шаблона матрицы коэффициентами при неизвестных системы, как показано ниже:

Зададим вектор bсвободных членов системы. Сначала напечатаемb:=, затем вставим шаблон матрицы(Ctrl + M), где количество строк (Rows) равно 3, а количество столбцов (Columns) равно 1. Заполним его:

Решим систему матричным способом по формуле

Решим систему с помощью функции lsolve:

Решение системы с помощью функции rrefможно представить так:

В последнем случае матрица AR, полученная путем объединения матрицы при неизвестных системы и столбца свободных членов, является расширенной матрицей системы.

Для проверки правильности решения системы, полученного матричным способом, достаточно вычислить произведение , которое должно совпасть с вектором-столбцом свободных членовb: