Планирование и обработка эксперимента / Rakitskiy - Chislenniye metodi resheniya 1979

z(IJ (0,1)= 0,920137.

Ср:.3нение с формулой (91)

x(l) (nh) = (0,904837)11 +(0,006738)11 +(2 · l0-22) 11 , x<1J (0,1)= 0,911575,

а : .;,r-;же впд кривых рис. 12 наглядно убеждают в преи­

муществе аппроксимаций методов (25) - (28) по срав­

нению с рассмотренными ранее разностными схемами.

С.1едует, однако, отметить, что практическая реа.r~иза­

ция неявных методов Рунге - Кутта связана с рядом

тру.:~ностей.

Таким образом, кроме неявных методов Рунге - Кут­

та рассмо1ренные одношаговые разностные схемы, 1Как

..-\-устойчпвые, так и L-устойчивые, не обеспечивают рав­ но~1ерное приближение экспоненциальной функции для

отрш;.ате.'Iьных значений hl.. Следствием этого является

необходимость последовательного увеличения шага в

про:.:ессе интегрирования. Для примера (91) начальное значенпе шага h определяется первой экспонентой, пос­

.1е ее затухания - второй п лишь по окончании погра­

.~ачного слоя может быть испо.1ьзован шаг h,....,O,l. При­ че:-.1 :v~етоды (6), (29) - (31) даже в таком применении

не ;;репятствуют накопленпю вычислительной погрешно­

ш:е решения в пограничном слое, и разгон шага необ­

ходим и здесь.

72 Гл. 1. Численное интегрирование жестких систем

Так, например, метод (37) в применеюш к (61) по­

функцию ei.h, а корень у2 яв.rrяется паразитическим. Ве­

личина модуля у2 меньше единицы, и влияние второго

слагаемого в (94) убывает с каждым шагом.

Для того чтобы оба корня 'Yi и '\'2 были действите.1ь­

ны, необходимо выполнение неравенства

Ес.ТJ11 ,JОпо.11ште.ТJьное начальное ус.1овие д.1я разност­ ного уравненl!я (93) задано точно, то мето,J обеспечи­ вает воспропзведенпе экспоненты ei.h с погрешностью в

едшшцу второго разряда мантиссы при 1h/. I ~0,3. Для

сравнеш1я отметпм, что ,J..'Iя достпженпя той же точности l\lетоду (25) достаточно 11:.\1еть шаг в два раза б6.1ьшпм.

Прп нарушешш неравенства (95) д.rrя Л.<0 корнп '\'r

и у2 образуют комп.1ексную пару, и о точности воспроиз­ ведеrшп экспоненты не может быть 11 реч11. Все сказан­

ное не то.1ько не позво.1яет отказаться от пос.1едовате.1ь­

ного увет1чения шага в пограничном с.1ое, но и огра~ш­

чпвает Бозможную вет1ч11ну /i прп t<тпс по сравнеш1m

с одпошаговымп методамп.

Параз11т11ческ11й корень у2 прп нулевом зпаченпн h

равен l /3. Ана.1оп1чные корнп возникают 11 в другпх ме­ тодах этого к.1асса. Та1к разностная схема (38) порож­ дает ды1 компле1<сных паразитических корпя прп h=O, моду.111 которых прсnышают значение 0,426. Д.ТJЯ :.\tетода (39), в свою очередь, существует три таюrх корня. При

lt=O

\ '\'2 (О)1~0,3815, \ '\'з (О)\=\ '\'4 (О)\ ~0,5608.

вых и жестко устойчивых методов, имеющих значитель­

ное преимущество по сравнению с явными алгоритмами

Рунге - Кутта, Адамса и др. при интегрировании жест­

ю1х систем. О.:~.нако 11х применение в случае нелинейных

сIIстем

(97)

11риво,:~.1п к необходимости решать на каждом шаге ли­

нейные п 11е.1инейные системы алгебраических уравне­

НIIЙ. что в ряде с.'!учаев порождает серьезные трудности.

требует решения системы алгебраических уравнений от­

Пу~ть матрпца А жесткой системы (56) плохо обус­

.1ов.1ена: ее максимальное по модулю собственное число

Л.1 =-104, а минимальное 1.т=-1. При этом спектраль­ ное число обусдовденности k(A) = 104.

Ес.1и выбрать вне пограничного слоя шаг интегриро­

ванпя h =0,1 сообразно с величиной Лm, то для матрицы

делает затру;щительны:v~ обращение :v~атр"Ицы Р и ре­

шение ~системы (98).

Использование метода второй степени (25) приводит

к .111нейnой системе с матрицей

h2A2

P=E-hA+-

2 '

76 Гл. 1. Численное интегрирование жестких систе,ч

числа равны (1-Л..ih), и для спектральных чисел обус­

ловленности этих двух матриц справедливы неравенства

i= l, 2, •.. , т.

Для достаточно больших значений h матрица Р так­

же становится плохо обусловленной, и при ее обращении или решенпи спстемы ( 104) возникают известные труд­

ности.

На практике обычно приходится иметь дело не с точ­

ными элементами матрицы Р, а с некоторыми их ап­ проксимациями. Это объясняется двумя факторами.

Во-первых, точные аналитические формулы для подсче­ та элементов дf/дz могут либо отсутствовать, либо яв­

ляться слишком громоздкими и неудобными для непо­

средственной реализации. Их вычисление приходится

проводить с использованием конечно-разностных аппрок­

симаци1"1 производных. Например,

Во-вторых, даже при наличии точных формул ,:ця

элем·ентов дf/дz ·следует учитывать, что расчет на ЭВМ

осуществляется с ограниченным числом разрядов. По этой же причине формула (106) является более предпоч­

тительной, чем (105).

Оба фактора приводят к тому, что при обращении плохо обусловленной матрицы Р с относительно малы­

ми погрешностями задания ее элементов получаются ре­

зультаты, значительно отличающиеся от действите.1ь-

Основанием для применения этого метода яв.ТJяется тот факт, что матрица Р при этом, как правило, положи-

те:1ьно определена даже в тех случаях, когда матрица

дf/дz имеет собственные числа разного знака, а также

наличпе хорошего начального приближения.

Действительно, отрицательным собственным числам Л11 матрицы Якоби отвечают положительные собственные

чнсла µ.i матрицы Р

µk= l-hЛ.k,

а для того, чтобы вне пограничного слоя производные вектора решения жес'!'.кой системы (97) были достаточ­ но малы, положительные Л.11, должны быть относительно

малыми, и имеют место следующие неравенства:

µ"' = l-hЛ.k> О.

Как известно, метод сопряженных градиентов теоре­

тически позволяет получить решение не более чем за

т шагов, где т - размерность системы, однако реаль­

но наличие хорошего начального приближения (107) приводит к достижению необходимой точности значи­

тедьно быстрее. Этот факт проверялся практически на нел11нейной системе (97) 159-го порядка, получающейся

аппроксимацией уравнения теплопроводности для с.'IОЖ­ ной области, с упакованной формой хранения матрицы Р. В ходе исс"1едования выяснилось, что вне погранично­

го с.'!оя чисJю итераций в схеме метода сопряженных

градпентов было меньше размерности матрицы почтп на порядок при обеспечени11 необхо;:щмой точности реше­

ю1я в два десятичных разряда. Однако при увеличении

шага дискретности h общий объем вычислений сокра­

ща.1ся 11е пропорционально этому увеличению ввиду воз­

растания числа итераций из-за меньшей точности на­

ча.1ьного приб.11ижения при б6льшпх h.

Формулы, аналогичные (l 02) 11 ( l 03), возникают с прпменением к (97) других неявных линейных многоша­

схемы.