Добавил:

vv_sokol Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Академия Государственной противопожарной службы МЧС России

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Планирование и обработка эксперимента / Rakitskiy - Chislenniye metodi resheniya 1979

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.05.2017

Размер:

6.71 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 215 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Гл. 1. Численное интегрирование жестких систем

Проинтегрировав

по

частнм

(3)

еще

раз,

получаем

x(tn+1)= x(tп)-('t+C1)

dx (t

+ -

-r)

пd~

0 +

т2

) d2 х (t + - т) lh

+ ( 2+C1't'+C2

~-,;~--

0 -

h dЗх (tn+I -

т) (

-r2

)

- S--d~-з--

2+C1't'+C2

d't'.

Повторяя этот процесс v раз, окончательно имеем

(

/!.

•

~11.-t

) dl!.

)

x(tn+1)=x(tп)+~(-I)k

~ 'ti

х ;;1 --r

+ (-

~ 1Jv

тi С

dv+I х(tn+1 -

т)

l)v+l ~

.v-•

d тv+1

d 't' =

•

i=O

=Х

(f )+ ~ (~ hl Cl!.-i

dk Xn _cl!. dk Xn+I

!:!о

dtk

dtl!.

+(- l)v+l r~

't'

• v-i

"1J

t 1

i=O

(13)

В формуле

( 13) значения

констант Ck

произвольны

(кроме Со), и их различный выбор приводит 1к разнооб· разным степенным разложенпям. Так, если Ck=O (k=

= 1, 2, ... , v), то

из (13) получи:-.1

формулу

Тейлора

(10).

Выбор коэффициентов С1, в виде

(-h)k

/!. -

,.",

порождает следующее раз.'!ожение по степеням h:

Х (tп+1) =

Х (tп) +

х(l.п+1)

х (tn+1 -

"t)

h Е( -h)l!.-1

f(h -'t)v dv

dtk

d -rv+I

df,

11.=1

v <:d.

(14)

		§ 1.1. Разностные схемы			41
ПО.'IОЖИМ
	у
	Е			vl
	l=O
где В.,, (т/h) - полином БернуJ1ли v-й степени; Bv -					чис
.'10 Бернулли.
Тогда	из (13)	непосредственно следует формула
Эй.Тiера -	Маклорена
х(fп +h) =Х (fп)+..!!__( dx (fп+h)				+ dx (tп))-
		2	dt	dt
	- ~hk Bk [		dk х(fп+1)
	i,,J	kl	dtk
	k=2
( ~!h)v J' [Bv (			~ ) - Bv1-d_"+_1х_d_(~-~~~:~--т_)d Т.		(15)

Аналогично, задавая константы Ck уравнением

получаем следующее степенное раз.11ожение:

x(tn+1) =

	=	Х(tп)+ i'1~_!!__ (2v					-k)I [<- l)k-1		dk x(fn+1) +
			i,,J	kl (2v) 1 (v -				k)I	dtk
			k=I
+	dk Х(tп) ]		+	1 j~		(р2-р)		v d2"+1 х(tп+ рh)
+		dfk	+	(2v)/	о	(р2-р)		2v+1	d р, 2v<.d.
					о			dp
									(16)
	Формулы (14) -					(16),	подобно (10),		могут быть ис

по.1ьзованы для построения методов численного интегри-

42 Гл. 1. Численное интегрирование жестких систем

ровання. Так, пренебрежение интегралом в (14) прЕво

дит к нt.'явным одношаговым методам степени v

v ( -

h)k-1

dk-1 fп+I

(17)

zп+1

-zп -

E kl

-----=О,

dtk-1

k=I

ана.11ог!1чным

явным ( 11),

пренебреженпе

интегра.1ом

в (16) дает метод степени 2v

Zп+1·-Zп-

vl (2v -

k)!

[

l k-1

dk-1 fn+1

Е kJ (2v)I (v -

k)!

( -

)

dtk-1

k=I

+ d1i.-1 fп

]

=О, (18)

dtk-1

причем высшпе производные, так же как п ранее, вычис

ляются последовательным дифференцпрованием ( 1).

Д.11я того чтобы не вычислять непосредственно про

изводные правой части ( 1), обычно применяется идея

Рунге. Вместо ( 11) используется разностное уравнение

вида

(19)

а функrшя F(t," Zn, lz) строится так, чтобы ее разложе ние по степеням /z в точке tn совпадало до .hv-t включи

тельно с формулой ( 11), где v - степень метода. Мето

ды ( 19) называются явными методами пша Рунге - Кутта [2].

Наиболее употребпте.11ьны с.11едующпе методы:
второй степени
а) метод Эйлера -	Коши
Zn+l -Zп-	- h (k1п +k2n) =О,
	2	(20)
k1п = fн, k2п=	f (ln+l• Zп +h kiп);	(20)
k1п = fн, k2п=	f (ln+l• Zп +h kiп);

б) усовершенствованный метод ломаных

Zn+l -Zп - h kzn = О,

(21)

k1п=fп, k2п=f(tn+ ~ , Zп+fk1п);

	§ 1.1. Разностные схе.мы			48
третьей степени
	h	+ 3 kзп) =О,
Zn+1-Zn -- (k1п		+ 3 kзп) =О,
	4
k1п=fп,	k2п=f(tn + ~,		Zп++k1п)•	(22)
kзп=	f (tп+ : h,	zп++hk2п);
:~етвертой етепени
Zn+1 -Zп-	-h (kiп +2k2п +2kзп +k,п) = О,
	6
kiп= fп,	k11п= f (tп++•Zn +:kin)•			(23)
ksп=f(tп++, z,1 +: k2п). k,п=f(tп+h, Zп+hkзп)·
Подобно явным мето,J.ам типа Рунге - Кутта,				можно
ввести неявные, основанные на			( 17):
Zл.+1-Zп-hF (tп+1•			Zn+1• h) = 0	(24)

так, чтобы разложение F в (24) по степеням v в ТОЧ1Ке

tn+i совпадало бы до hv-1					включительно с ( 17) [43].
Например:
второй степени				h
z	+	- z		h
z	+	- z	-- ( 'l'Jn+I +nn+I) =0
	п 1		"	2	1	'12	,
							(25)
и
		Zn+1-Zn-h'l'J~+l =О,
		'l'J~+l= f ( fn+l -					(26)
't'/?+l = fn+l•		'l'J~+l= f ( fn+l -				: •	Zn+l -+'l"/?+l) ;

третьей степени

Zn+1-Zп-h4 ( rr1+1 +Зчj+1)= О,

fl7+l = f11+1• 'l'J~+l = f (tп+1- ~ , Zn+1- ~ rt?+'). (27)

ri;+1 =f(tпн-fh, Zпн-: hri~+1);

Гл. 1. Численное интегрирование жестких систем

четвертой степени

Zn+1 -Zn -

+ 2ч~+1 + 2r13+1 + ri4+1) =

О,

6 ( ri7+1

'Yln+I= f

..L

1•

r1n+I= f(t

+ _..!!_

•

Z + -~1Jn+I)

(2В)

'll

п ,

ч1+I = f ( fп+1-+'

Zn+i -

Т)~+I).

ri4+1= f(t11>

Zn+1-h1')3+1).

Применение идеи Рунге позволяет получить и мето

ды, основанные на ( 18):

второй

степени -

формула

трапеций (6)

метод

Zn+i-:_-Zп-hf

zn+l +Zn

) _ .

(29)

( iп+т·

-0,

четвертой степени

[21]

Zn+1-Zп-+[fn+1+fn+4f(tn+ ~'

zп+~+zn

(fп+1-f1.))]=О;

(30)

шестой степени

			5	27		3h	9h	)
			32	Zn + 32Zп+1		+54 fп-54 fn+1		,	(31)
п	(	,.!!.._	zn+l +Zn		1 h	(	,
fv=f		fпт 2	•	2	Т 24	-5fn	+5fn+1 I

+ 16f~-16fg}).

Многошаговые методы типа (2) могут быть построе ны способом неопределенных коэффициентов. При этом разложение (2) по степеням h для любого значения fn должно удовлетворять ( 12), что достигается при задан ном v соответствующим выбором ал и Ьл. Часто выби

рается f'(tn, Zn, h) =fn· Методы этого к.11асса называют-

§ 1.1. Разностные схемы

ся линейными мпоrошаrовыми. Рассмотрим наиболее употребительные.

1. Методы типа Адамса [3]: а) явные второй степени

h	(3 fп+1-fп) =О;	(32)
Zn+2-Zn+1-2
третьей степени
Zп+з-Zп+2-:~ (23fп+2-l6fn+1-f-·5fп)=O;		(33)

четвертой степенн

Znн-Zn+з- ~ (55fп+з-59fп+2+37fп+1-9fп)=О; (34)

б) неявные третьей степени

li		(35)
Z11+2-Zn+1-J2 (5 fп+2 +Bfп+1-fп)= О;		(35)
четвертой степени
li	+fп)= О.	(36)
Zп+з-Zп+2- - (9 fп+з+ 19 fп+2-5fп+1	+fп)= О.	(36)
24

Заметпм, что метод •1юманых Эйлера является явным методом Адамса первой степени, а формулы (5) и (6) - неявными методамп Адамса первой и второй степени со

ответственно.

2. Неявные методы дифференцирования назад, пред

ложенные для шпеrрирования жесткпх c11cтe:vr Куртисом

и Х11ршфе.1ьдером [44]:

второй степснп

Zn+2 -+Zn+1 ++Zn -

~ h fn+2 =О;

(37)

тре1ьей степени

z + -~z

+~z

+ _ _!_z

-~ hf

+з=-" О;

(38)

п з

11 п

четвертой степени

•

Zn+4- -Zп+з+-zп+2- -

Zп+1+-zп-- hf11+4

(39)

46	Гл. /. Численное интегрирование жестких систем

Приведенные алгоритмы могут быть названы универ

сальными в том смысле, что в основе их построения не

учитываются какие-либо свойства, особенности или спе цифика интегрируемого уравнения. Каждый из этих ме

тодов содержит один варьируемый параметр - шаг ин

тегрирования, выбирая который, можно добиться необ

ходимого количественного и качественного соответствия

между решениями дифференциального и разностного

ура1внений. При :интегрировании этими разностными схе мами систем дифференциальных уравнений их запись в векторной форме остается такой же, как и в случае од

ного уравнения, толыко в соответствующих выражениях

вместо скалярных величин появятся векторы и матрицы.

Для решения жестких систем дифференциальных

уравнений рядом авторов были предложены разностные схемы, 1.ключающие в формулы методов матрицу Якоби

не.1инейной систе:wы	(В.15). Та·к,	Д. Ламбертом и
С. Сигурд:соном были	рассмотрены	линейные много

шаговы~ методы с коэффициентами, зависящими от ап

проксимаций матрицы Якоби [52]. Значительно раньше

Х. Розенброком [58] матрица Якоби была введена в

разностные схемы типа Рунге-Кутта. Для а'Втономных

систем (В.15) при f(t,		х) =f(x) они имеют вид
R
Zn+I =--= Zn +~ Pi ki,
i=I
ki=hfn+rJ.ihдfn	ki,
дz
			дf(zп+~1 '1'1sks)	(40)
i-1	)	+ai h	дf(zп+~1 '1'1sks)
k1 = h f( Z11 +~~i~ks		+ai h	~:1	k1,

i =2, 3, ... , R,

где а;, Pis, y;s, Pi - параметры методов.

Вэтой же работе пред.rrагается •.метод второй сте-

пеш::

R = 2, Р1= О, Р2== 1, а1= а2= 1- ~2 ,

У21 =О, ~21 =	v2-1	(41)
	2

			§ 1.2. Устойчивость и точность								47
а :-.1еrод третьей степени -						.в работе Д. Калахана					[42]:
	R= 2,	р1 --		о' 75 '	Р2 ----	о' 2'"'И,		""1,.., --- ""2,.., --	vз+- 1 ,
									2уз		(42)
								?
				'\'21 =О,		~z1""' -		-Vз.
	С. С. Арте;-..1ьевы~1 и Г.					В. Деми.::~.овьш			[ 1] расс.\1ат
ривает'Ся набор .методов вида							(40) -с пер·вой			по четвер
тую степень вк.1юч·ительно
СХ.1=	СХ.2= СХ.з=		1,	СХ.4"'-"' l/16,		'\'21 =		Уз1 = Уз2 = '\'41		=
								= '\'42 = '\'4з=О;
~21 = -8/7,			~31 = -0,038349269,					~32= 0,633370153,			(43)
~41 = 1,206259208, ~42 = -0,369763356.
							~43= -1,336495852,
причем метод				(v+ l )-й	степени содержит все					значенш•
k;,	входящие		·В .\'!етод		v-й	степени, а величина v					рав
на	R:
R=2,		р1 =- 0,5625,			р2 = 0,4375;						(44)
R=3,		р1 -=·~		0,912627767,		р2 =		0,317622005,			(45)
		р3= -0,230249772;

R=4,		р1 =-=		-0,485393761,			р2 = -0,116929195,				(46)
		Рз =0,821495069,					р4= 0,780827887.

	В зак.11юченне заметим, что при R= l семейство										(40)
порождает разностную схему							(9).

§ 1.2. Устойчивость и точность

Впервые свойство жесткостп дифференциаль ных уравнений бы.10 от:-.1ечено в связи с вычислите.1ьны

ми трудностями их численного интегрирования традици

онны:vш явными методами. Рассмотрим эти особенностп

явных рззностных схем.

В результате численного решения дифференциа.11ьно rо уравнения вычисляется таблица значений искомой

функции, по.1ученных при некоторых последоватеаьных значениях аргумента. Одним нз основных требований,

'48	Гл. 1. Численное интегрирование :~tеестких систем

предъявляемых к этой таблице, является задание необ ходимого шага ее дискретности. Шаг, как правило, вы бирается таким, чтобы по полученным точкам можно было построить аппроксимирующую функцию (напри мер, интерполяционный полином по отдельным участ

кам), с достаточной точностью представляющую пове

дение процесса.

Так как переход от точки к точке в разностной схеме

требует выполнения определенного числа арифметиче

оких операций, то общий объем вычислений зависит от

числа шагов, и разумным представляется использование

большего шага дискретности на участках, где производ

ные относительно невелики, и меньшего на участках с

относительно большими производными. Например, реше

ние методом ломаных Эйлера (4) уравнения (1) при f(t, х) =q(t) приводит к ·К'вад~р·атурной формуле лооых

прямоугольников, которая может быть применена на

различных участках решения с различным шагом интег

рирования в зависимости от	свойств			функции		q(t). В
частно'\1 случае
q(t)=-104 e-10•t-e-t,		tE[O,			1),	(47)
разбиение на два промежутка	[О,	1о-3	],	[	1О-3, 1]	обеспе

чивает достаточно высокую точность и приемлемый объ

ем вычислений. При этом количество				вычислений			q(t)
на первом участке		определяется	функцией			е-10'1, а на
втором е--1• Одна1ко уже для линейного уравнения
dx	d q>		d q>	x(t0	)	= х0,	(48)
dt= а(х-<р)+ &= ax-aqJ+dt,
где q;(t) -	заданная	функция t,	проделать			описанную
процедуру не всегда удается. Решение (48) есть
	Х (t) = (x0 -qJ0) & 1+qJ (t),		qJ (0) = <р0•				( 49)
Применение метода ломаных к (48) приводит к раз
ностному уравнению
				, _	d qJ (tп)
				'Рп-	_d_t_

пли, в несколько ином виде,

(Zn+1-1Pn+1)= (1 +ha)(zn -1Pп)-(1Pn+1-1Pn -hqJ~)· (50)

1.2.

Устойчивость

точность

В решении		(50)
Zп = (1	+h а)п	(Zo-CJJo)+ fРп+
	п-1
	+L(1 +h a)k (h <p~-h-I +fPn-k-1-CJJп-k)
	k=O

(51)

первые

два

ч.1ена

яв.!Jяются

аппрокспмацпями

соответст

вующих слагаемых Пусть а=-104,

(49) qJ(t)

. =e-t,

[О,

1].

Тогда

уравнение

(48) (49)

-	будет жестким,	а поведение
-	существенно	различным. В

отдельных слагаемых

пограничном слое ре

шение угодно

>.(t) быстро изменяется как е-	1041	,
близко к qJ(t) =e-t. Желательным

а	затем сколь
	явилось бы

разбиение

отрезка

интегрирования

на участкп

приме

нение вне бо.11ьшого д.1я (47).

пограничного слоя при		te:: [-rпс.		1] достаточно
шага h	подобно тому, каiк это			было	сделано
Одна1<0,	как следует из	(51),	условие		устойчи

вости

разностного

уравнения J 1+h aj

(52)

требует

ограничения

на

шаг

дискретности

h<2·

и,

с.1едовательно.

нужно

сделать

более

тысяч

шагов

для

воспроизведения

простой

функции,

близкой

e-t

почти

на	всем отрезке [О,	l].
	Более того, для	Xo=q;o		первое слагаемое	в
(51) вообще отсутствует			и	x(t) =q;(t), но шаг

(49)	и
интегри

рования так как

все равно не может выражение, стоящее

быть выбран более в (51) под знаком

0,0002, сумми

рования,

прп

этом

неогранпченно

возрастает.

Даже

при

cp(t)=C1, мущение,

г..:~:е С1 -	постоянная
вызванное ошибкамп

и zo=C1, малейшее воз

округ.1енпя прп чпслен

;:ой

реализации

алгоритма,

приводит

тому

же

эффекту.

Тю-:, щая

для zo=C1 +в состав.'Iяющая

в решении e(l +ha)n,

появится быстро хотя величина в

расту может

быть очень малой. Таким образом,

возникает

сложная

ситуация.

Даже

l\Iетод первой степени практически на

нпя обеспечивает высокую точность

всем отрезке		реше
при	h<2· 10-		,	но
		4

любая

попытка

увеличения

шага

незамедлительно

при

водит к резкому погрешности).

возрастанию

погрешностп

(«взрыву»

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 215 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Планирование и обработка эксперимента

#
13.05.201712.08 Mб74Bakhvalov - Chislenniye metodi 2002.pdf
#
15.12.20211.95 Mб65Berestneva - Prikladnaya statistika 2012.pdf
#
13.05.2017859.02 Кб124Eliseev - Teploobmen i ispitaniya konstrukciy 2014.pdf
#
13.05.20175.45 Mб118Pustilnik - Statisticheskiye metodi analiza 2012.pdf
#
13.05.20176.71 Mб84Rakitskiy - Chislenniye metodi resheniya 1979.pdf
#
13.05.20177.84 Mб604Spirin - Metodi planirovaniya i obrabotki 2004.pdf