Планирование и обработка эксперимента / Rakitskiy - Chislenniye metodi resheniya 1979

20 Введение

пограничный слой длительностью Тле --0,003-0,005 не

однороден и, в свою очередь, разделяется на два участ­

ка, первый из которых тпе 1,..,,3.10-5 значительно !l.1ень­ ше второго (тле 1«тпе ).

2. Для линейной системы (23) собственные чис.1а '),i матриц~~ А по.1ностью определяют характер частных ре­ шений. Поэтому естественной представляется попытка

выявить те требования, которым должны удовлетворять

Л.i в предположении жесткости, считая для простоты, что кратные собственные числа отсутствуют.

Систему (23) часто считают жесткой [59], если :.1ат­ рица А об.1адает бо.1ьш11м чис.1ом обус.11овленности ( 16), т. е. k(A) » 1. О.:~.на,ко это не совсем так. Как будет ни­ же показано, в жесткой системе ~iатрица А, 1<ак прави­

ло, является плохо обуслов.1енной в смысле критерия

( 16) (и(к.1ючение составляет уже рассмотренный случай

на.11ичпя группы собственных чисе.1 с примерно одинако­ выми модулямп 11 большим промежутком наблюдения решения). Однако из плохой обуслов.1епности матрицы

А свойство жесткости (23) сле.:~.ует далеко не всеоа.

Это нетрудно заметить уже на системе третьего поряд­ ка с собственньвш числам11

Величина k(A) > 104, а решенне (23) не удовлетворя­

ет неравенстRу (21). На всем отрезке [О, 1] наблюдает­

ся си.'!ь~,о осци.ыирующее решен11е, 11 ш1ка1кого протпво­

речия .:,1ежду производны:\1и на отде.1ьных участках ш1-

тегральных крпвых не наблюдается.

В монографни [53] к I<лассу жесткпх систем относят­

ся такпе, для которых справедтшо неравенство

ничного с.11оя, что можно видеть на примере

Л~=-104, Л:ц=-1±10-lj, lE[O, 1).

имеем

степени; s - кратность корня АФ

Значенпя С 11 ер выбираются при условии max \x<1iJ ( t) \ = 1. Из неравенства

IE[O,T]

по.'lучаем требование на жорданову форму ! (А) матрп­ цы А жесткой системы

N

та~< как строки матрицы, стоящей в :1евой части нера­ венства (31), являются различными вариантами пропз­

со.J.НЫХ (30).

Попутно замет11м, что эта матрпца является жорда­ новой формой от производной матрицы Кошп .1ннейпой

нпя поrраничноrо с.'lОЯ быстропзменяющ11есн состав.1яю­

щпе решения практ11ческ11 псчезают, п нор~н1 пpo11звo.:i.­

F-i0ii ;,iзтр11цы Кош11 станс~ттся относнте.1ыю l\Ht:юi°r. Ос этом свндетельствует II неравенство (31) д.1я ее жор,J.а­

новой ct:op:v.ы.

В то же время пз;о.1ене11пе t влево от fc пршзодпт к то­

достаточно большIIм показателем.

Такое поведение ве.1Jичины llK(t, to) 11 яв.1яется яркн~ч

признаком жесткости (23).

5. Рассмотрим теперь, как связана жеспюсть спсте­ мы (23) с жес11костью неоднородной системы

A=Ax+q(t). (32).

dt

(21) доJiжно выполняться при любых начальных услови­

ях (to, Xt) е:Г. Выбирая в частном случае Xo=<p(fo),

убеждаемся, что условие вида (21) должно выполняться не только для самого вектора x(t), но и для его обоих с.'!агаемых в (32) по отдельности. А так как первое сла­ гаемое (32) является решением однородной системы (23), то эта однородная система должна быть жесткой.

Таким образом, 11з жесткости неоднородной системы (32) следует жесткость (23). Это утверждение свиде­

те:1ьствует о том, что жесткость является внутренним

свойств~м линейной системы и не может появиться толь­

ко благодаря изменениям функции q(t).

Все рассуждения остаются в силе и для того случая,

1(0Гда матрица А имеет переменные коэффициенты.

6. Рассмотрим поведение решения жесткой системы

вне пограппчного слоя.

Пусть среди т собственных чисел 'Ai матрицы А пер­

вые k чисел имеют большие модули, а отвечающие им частные решения быстро убывают в пределах погранич­

ного слоя

Выберем вектор Ui таким образом, что

( eAty и1 = eRe Л1 t cos (lm А1 t) и,.

Тогда, записывая решение (23) в виде

Х (t) = eAt х (0),

получим для скалярного произведения

·(U1, х) = (и1, eAt х0) =

= (( eAt)1 и1, х0) = eRe 111 cos (Im 1.,, t) (и1, х0).

Учитывая неравенство (33), вне пограничного слоя

.имеем почти точное равенство

матрицы А. Если же 'Ai и 'Ан1 составляют комплексную

пару, в качестве u.i может быть выбрана линейная ком­

бинация соответствующих собственных векторов.

Равенства, аналогичные (34), могут быть получены

ддя всех собственных чисел, удовлетворяющих (33). Ес­

.'IИ среди чисел '}.i имеются кратные, то для построения соответствующих скалярных произведений используют­

ся векторы, приводящие АТ к жордановой форме.

Так11м образом, для жесТ1кой системы дифференци­

альных уравнений (23) вне пограничного слоя между компонентами вектора x(t) устанавливаются почти точ­

ные линейные алгебраические связи. Их число отвечает

количес1ву быстроубывающих частных решений k. Поэ­ тому, выражая k компонент вектора x(t) через осталь­

ные, приходим к выводу, что вне пограничного слоя ре­

шение жесткой системы может быть описано решением

системы меньшей размерности, уже не являющейся жест­

кой. Примеры такого описания для простейших случаев

рассматрива.1ись выше.

Вопросы практического построения коэффициентов адгебраических связей вида (34) рассмотрены в третьей

гдаве.

7. При анализе интегральных кривых на рис. 1 отме­

ча.11ось, что даже при небольшом отклонении начальных

условий от графика кривой х= G(t) в любой его точке производная решения dx/dt резко возрастает по сравне­

ю1ю с производной dG(t)/dt. Аналогичным свойством

обладают и жесткие системы уравнений.

..:~.птся на интегральной кривой вне пограничного слоя,

то коэффициенты Ci, отвечающие большим по модулю

1.;, будут практически нулевыми. Производные же сла­ гаемых (26), соответствующих малым по модулю /.i. бу­

дут неве.11пю1.

Однако даже небольшое возмущение начальных ус­

.1овий х0* =Хо+ в приведет ;к тому, что в решении поя­

вятся быстро убывающие слагаемые (26) с большими lч, обладающие бо.11ьшими производными. Подобный эф­

фект резкого возрастания производных при отклонении

от решения вне пограничного слоя будет иметь место практически всегда, кроме -специального случая выбора

ве~<тора в таким образом, чтобы С; при быстроизменяю­

щихся экспонентах оставались нулевым11.

Мноr11е 11з рассмотренных выше свойств решений ли­

нейной жесткой системы (23) с постояннымп коэффи­ uпента!'.111 легко пере11ест11 на системы с переменной мат­ рпцей

dt

0,J.нако судпть о ее жесткостп по ссбствепным ч11с­ ,1юr l.;(t) ~1атрrщы A(t) можно, сс.1п собстnеш-rые веrпо­ ры А (t) пз;..:С'няются не CJI!Iilli''v:vr сп.1ыю. Хорошо извест­

но (см., напрrмер, [4]), что l.;(t) 11 хар;:~ктерпстичесюrе

покщ1атет1 Ляпунова решення системы (35), опреде­

.1яющпе рост этого решения, могут отличаться даже по

знаку. Так, напр11мер, для А (t) третьего порядка

Лшrейную систему (23) с постоянной :-.1атрнцей, обла­

J.ающую таrшм11 собственными чис.1ам11, с.Тiедует считать

жестко!~ пр11 tE[O, 1]. Однако система (35) не может

быть отнесена к чпс.1у жестюrх, что нетрудно видеть пз ее общего решепшr с быстрорастущиын экспонентами, rrмеющнми полож11те.11ь11ый показате.11ь:

где константы С1, С2, С3 определяются по начальным ус­

,1овиям.