Планирование и обработка эксперимента / Rakitskiy - Chislenniye metodi resheniya 1979
.pdf30 |
Введение |
Пренебреженпе |
:\1а.1ыы11 постояннымп Т1 п Т2 в от |
J.е.пьных звеньях \V1 ( р) п \f12(p) равносн.1ьно пренебре жению постоянной Т2*= 1 в передаточной функции Q(p)
замкнутой системы. Рассмотренный прнмер явJiяется
простым, п непрпятностн, возникающие с введением по
.1ож11те.'1ьной обратной связп, могут быть предугаданы.
В практпческих же задачах заранее предсжазать в.rшя
нпе того и.~п иного параметра в общем с.1учае невоз :\южно. Это прнводнт к 11еобхо.J.11мостп учета :v1аксима.1ь
но ВОЗ:\ЮАШОГО ЧI!С.1а факторов, ВЛИЯЮЩ!!Х на нзучае:.юе
яв:1енпе, 11 .1ш11ь зате:.1 осущестJЗляется оGоснованныЕ пе
реход к упрощенной :vюдЕ'.1П.
Постановка за.J.ачн управ"1ения объектюш, оппсывае
:v1ыми Тh.есткпмп уравнениями н системамп, не то.1ыю не
снимает проб.1е:.~ы жесткости, но и, 1\ак правпло, уrугуб
.1яет ее. Про1ш.1юстр11руе!\1 это на примере передаточ
ной функцпп разо:\llшутой еисте:.1ы, вк.1ючающей !1егу
.1нруС":.1ый об'Lеiп 11 регу.1ятор:
х; (р) - |
Q ( ) - |
,~ . |
|
|
-- |
р --- , |
|
|
|
Xi_ (р) |
- |
\Г (р) |
|
|
Р <1соютр;1~1 |
с::;уч;:~ ii. I~Ol'J,a |
коэффнuпснты |
аа, аi· ... , |
|
СТОЯЩ!!С |
прЕ C'TJj)L:JI:x стспсня:' р, .J.OCT<1TOЧIIO |
;чалы, il |
||
.J.нфферопша.11о!Юе уравr1ен11Е\ |
оштсывающсе |
.-щнампче |
||
СКIIС СlЗОЙства :..тr;го звена,
a 0 |
tl11i Х2 |
tim-l Х2 , |
1 |
ат-1 |
d.t2 ' |
|
. |
|
--- al |
1···1 |
-- -;-Х2 |
"-"flX1 |
|||||
|
d(I! |
dtm-1 |
|
|
|
dt |
|
|
яв.1яетс'1 |
жес гю1:-1 |
нз-за сн.1ьного |
разброса |
постоянных |
||||
време1ш решення. 1огда nере.J.аточная фун~;лпя заиrшу той С!iсте:\1ы зап11сьшае·;сн с.r~едующим образо:-.1:
|
- |
Q (р) |
|
|
|
k |
|
|
|
Qэ (р)- l |
+Q (р) |
|
\V (р)+k |
|
|||
Прп это:11 соответствующее диффере1шпа.1ьное уµав- |
||||||||
ненне |
|
|
|
|
|
|
|
|
а· = _!!i__ · |
· |
О |
' |
1 |
т |
- |
1 |
|
i |
k + l ' |
i = |
|
,"" |
|
' |
||
оказывается, как правп.10, не менее жесткпм, чем урав-
§ В.4. Примеры |
31 |
нение разомкнутой системы ввиду еще бо.1ьшего умень шения коэффициентов при старших производных.
В .качестве еще одного примера прояв.1ения жестко
стн обратимс;r к продо.1ьному возмущенно:\IУ движению сююлета. Ес.111 рассматривается пря:чо.1инейный устано вившийся полет без ско.1ьжен11я с небо.Гiьшим отк.11оне
нне:-.1 паrаметров от нача.1ьных в проuессе возмущенного
.:тшжеш:я, то у равнення возмущенноr-о дi3пжею:я самоле
т<. распадаютсн па две незаш1сп:--1ые с11сте!'.1ы, оппсьшаю
щас продо.1ьнос 11 боковое д•шження. Прю1еняя скорост
ную систему координат с 11ача.10~,1 в центре тяжести са
:.'IЮЛета, в rсоторой ось Ох i1аправ.1ен2 по скорости по.1е
та, ось Оу ортогона.1ьна осн Ох II .1еж11т в шюскостн снмметрин са:\юлета, а ось Oz напраь.1е11а вдоль разма
ха правого I<рыла, 11меб1
т -~~= P-Q-Gsin8.
dt
тV d 8 |
=У-G cos е, |
(37) |
dt |
|
|
Iz -d2.& |
= Mz-P ·ур, |
c.t ='6--6, |
dt2 |
|
|
где т -- масса самолета; Уг - п.1ечо сi1.1ы тяп1 двигате
.1я относптельно центра тяжестн са:vю.1ета; i1 - величи
на скоростн; Р - снла тяги, пр11.1оженпая вдо.1ь осп дви гатеюr; У - подъемная с1та. шшрав.11енная ортого11аль-
1ю к скоростп rю.1ета вверх; G - вес са:-.ю.'Jета, направ
.1с-нный вертш::а.'!Ьно вннз; Q - .1обовое сопротив.1ение,
наара13.'1Снное г.о осп скоростп набегающего потока;
JI, - момент внешних спл относl!те.1Lно осн Oz; fz - мо ·.rснт rшерщш самолета относпте.1ьно осп Oz; е - угол
:\Iсжду ьекторо:\'1 скорост11 II |
горизонта.1ыюй плоскостью; |
|
fТ - уго.1 тангажа (угол :.'IIeж.:i.y |
хордой крыла и гори |
|
зонта.1ыюй п.'lоскостью); а - |
уго.1 атакп. |
|
В общем с.1учае с11лы н МО:\Iенты, .:зходящпе в урав |
||
нения (37), зависят от многих |
параметров движения: |
|
угла атакп, плотности воздуха, |
скорости по.1ета, угла |
|
отк.1онения ру.'lя высоты, угпа тангажа и 11х производ ных во ~ременп.
32 Введение
Основываясь на методике малых возмущений и пере
ходя к (.езразмерной форме, получаем систему линейных уравнений для варпацнй
- |
V-Vo |
Ла=а-а0, |
_ |
-_ psV0 |
ЛV= |
Vo , |
Л{t-{t-'6-0, |
t-~t, |
|
где р - |
плотность воздуха, а |
s - площадь |
крыльев. |
|
В ус.повиях |
горизонтального полета для |
конкретных |
||
значений параметров самолета система (37) дифферен
циальных уравнений принимает впд
dЛ! = -О,104ЛV+О,043Ла-О,1 Л{t,
dt
dЛа |
= |
- |
dt |
-0,57ЛV-5,12Лa+roz, |
|
dЛ~ |
|
(38) |
-=- |
= (J}z• |
|
dt |
|
|
droz |
= |
- |
dt |
-12,574ЛV-43,690Лa-9,672roz. |
|
Корн11 хара,ктеристического уравненпя д.11я системы
(38)
Л1,2~-7,4±6,2j, /.3 ~-0.27, Л.4 ~+0,16; V-1-j
разделяются по модулю на две группы:
P·1 I= 1Л2 !?/ 1Лз1 > /Л.4 I,
что является 11шичным при горизонтальном двпжении
самолета и обусл9вливается физикой рассматриваемого
процесса. Двпжение, отвечающее большим по модулю
корням, называют коротко-периодическим двпжением, а
движение, отвечающее двум малым корням, - дю1нно·
периоцическим 11ю1 фугоидным движением.
Таким образом, система (38) является жесткой на
любом отрезке [О, Т], длительность которого значитель·
но превышает длину пограничного слоя (тпс <О,1).
В режимах набора высоты и планирования система
сохраняет свойство жесткости, хотя разброс корней ха·
рактеристического уравнения несколько уменьшается.
Также жесткой является система уравнений бокового
движения самолета и полного описания движения само·
лета, объединяющего боковое и продольное движения.
§ В.4. Примеры |
33 |
Подобное различие в движениях характерно не толь
ко для самолета, но и для ракет, подводных лодок, тор
пед и т. п.
Аппрокспмация уравнений в частных производных,
заданных в некоторой области, системой обыкновенных
дифференциа.Тiьных уравнений также является типичным
примером возникновенпя жес11кпх систем. Иллюстрацпей
этому может служить решение нелинейной нестационар ной задачп теп.1опроводностп для волноводного окна вы
вода энергии прпборов СВЧ, описываемой уравнением
- |
1 |
дФ |
1 д(дФ\ |
М2 Ф-аР2 |
(Ф)+k2 Р1 |
(Ф)f1(р), |
||||
|
- |
= - |
-- р -)-а1 |
|||||||
а2(Ф) |
дт |
р др |
др |
|
|
|
|
(39) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с пача.1ьны:м н граничными условиями |
|
|
||||||||
|
|
|
Ф iт=о= 0, |
Ф lp=l =-= |
0, |
дФ |
1 |
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
др |
р=О |
|
|
где J1 |
(~1p) - |
функция |
БессеJrя; |
а2 (Ф), |
Р1 (Ф), Р |
2 (Ф) - |
||||
не.1инейные функции Ф, аппроксимируемые степеннымп
пошшо:v1ами; |
а - |
приведенный коэффициент излучения; |
||
k2 - параметр |
тепловой нагруз1ки; -r - безраз:v1ерная |
|||
переменная; |
е |
- |
безразмерная |
температура; М2 - при |
веденный коэффицпент теплообмена. |
||||
Значення <Эп, ~t п а1 выбирались постояннымп: |
||||
ek = |
0,3, µ= 1,8412, |
al = 0,875. |
||
Используя метод коллокацин с интерполяционным поли
номом г.о р2, в силу симметрии задачи, и |
выбрав узлы |
р~= о, р~= 1/4, р~= 1/2, р~= 3/4, |
р~= 1, |
от уравнения (39) переходим к системе |
обыкновенных |
дифференциальных уравнений |
|
d Фо =а2(Ф0)[ ~( - 25Ф0+48Ф1-36Ф2+ 16Ф3-3Ф4)- |
|
d т |
3 |
-М2 а1Ф0-аР2(Ф0)+k2 Р1(Ф0)f1 (О)],
2 Ю. В. Ракнтски/! и др.
34 Введение
d Ф~= |
а2 (Ф1) [__!_ |
(8 Ф0-ЗОФ1+ |
24Ф2-2Ф3)- |
d 't |
-М2 |
CXi Ф1-аР2 (Ф1)+ k2 Р1 (Ф1)f1( +)]. (40) |
|
з |
|
|
|
d Ф2 = |
а2 (Ф2) [__.!_(-Ф0+24Ф1 |
-60Ф2+4ОФ3-ЗФ4)- |
|
dт |
З |
|
|
-М2 сх1Ф2-аР2(Ф2)+k2 Р1(Ф2)f1( +)].
d~~з = а2 (Ф3) [ ~ (-4Ф0+ 18 Ф1-50Ф3+ З6Ф4)
-Л12а1Ф3-аР2(Ф3)+ k2 Р1(Ф3) f1 ( ~ ) ] ,
где Фi=Ф(т, р2;), Ф4=0.
Спсте:~,.1а (40) |
яв.'Iяется :жесткой |
на промежутке [О, |
||
Т], 1·де Т> l, О, |
а |
ма ксима.11,ное по |
l\IO,.::i:yлю собственное |
|
чнс:;о :-.1атрицы |
Якобн, колеблясь от режи:-.1а к |
режиму, |
||
пр11нп:.н1ет значенпя порядка 100. |
Прнмсненпе |
метода |
||
пряi\1ых для аппрокспмащш (39) таюке прпводит к жест
кой снстеме, ана.т~огнчной (40).
Яв.пенпе жесткости весьма распространено в задачах х1пшческой технологпн, ставших уже традиционным ис точю1ком примеров «п.11ох11х» систем уравнений, с тру до:-.1 по;щающпхся интегрированию общепринятыми ме то.:~:а:ш1. В качестве характерного примера рассмотрим процесс термоинициированной гомополимеризации сти рола в массе, имеющий важное промышленное значение
при синтезе целого ряда полимерных материалов.
Снстема обыкновенных дифференциальных уравне·
ний, описывающих процесс полимеризации, имеет сле дующий вид:
: 1 = ki x~-(ktХ1+kзХа)Х1,
:· = ksX3X6-(keXз+k1Xz)X2,
dxs = -[k!xa+(k4 +ks) x4 +k8 x11 +kaX1] Хз,
dt
§ В.4. Примеры |
35 |
dx4 = (k9 х2+ k3 х1)х3-(k5 +k8) x;-k8 Х3Х4, |
|||
dt |
|
|
|
dхь |
k |
. |
|
- = |
|
4Х3Х4, |
|
dt |
|
|
|
dхв = |
k10 Х4Х1+ k4 Х3Х8- |
(41) |
|
dt |
|
-[(k5 + 2 k6) х4+ k8 х3+ k10 x5 - k6 х8] Х6, |
|
|
|
||
dx, = (2 k4 Х3+ k6 х6) Х6, |
|
||
dt |
|
|
|
dхв = k6 x~-2[(k6 +2k6) Х4+k8 Х3 |
+k10 Х5] Хв+ |
||
dt |
|
|
|
+k8 х3 х4+(k5 + 2k6) х;+2 k10 Х4 (х5 +х6)+
+(k9 Х2+ kз Х1) Х3,
dx9 с--= (k9 Х2--j-- k3 Х1) Х3-0, 5 k6 х;, dt
где ki -- · юшстr1ческ11е параметры, определяющие скоро
спr протска1шя отде.'!ьных элементарных реа1кций про
цесса н завпсящие от темпера.туры.
Сот·ветствующпс температуре Т=413° К ве.1ичины
парю1етров оказываются равными
k1 = |
3,0290310- ;, |
k2 = k6 = k 7 = 3,46236101, |
|
k3 = |
k4 = |
1,8701510з, |
k 5 = 7, 64053101, |
k11 = |
k9 = 5,93615 -2, |
k10 = 1,40000 -з. |
|
|
|
10 |
10 |
Пр11 |
этих |
::~начениях система (41) является жесткой, |
|
таr{ как спектральный радиус матрицы Якоби превыша ет величину 104, а интегрирование требуется проводить
на бо.1ьших промежутках времени t ~ 105-106, опреде
.1яемых физикой процесса.
Глава 1. Численное интегрирование
жестких систем
§1.1. Разностные схемы
Внастоящем параграфе рассматриваются не
которые разностные схемы для чнсленного решения
обыкновенных дпфференциальных уравнений, в основу
построения которых положены традиционные идеи, вос
ходящпе к Эйлеру, Коши, Адамсу и Рунге. При этом
приводятся лишь наиболее употребительные формулы
методов, используемые в дальнейшем.
Более детально можно озна<комиться с ними в
[2, 3, 39].
Рассмот-рю.1 обыкнавенное дифференциальное урав
нение |
|
~; =f(t, х), x(t0)=X0 |
(1) |
в предположении, что функция f(t, x)e=C~~·d> (Г). Дру
гими словами, f(t, х) непрерывна в некоторой области Г плоскости tx со своими производными до d-го порядка включительно. В дальнейшем предполагается, что об
ласть Г выпукла по х.
Пусть решение ( 1) требуется вычислить на отрезке
[t0, |
t0 + Т], принадлежащем |
интервалу существования |
|
решений |
( l), в виде таблицы при значениях fп = 10 + nh, |
||
где п - |
целое число, h>O - |
достаточно малая величина |
|
(h - |
шаг интегрирования |
или шаг дискретности та-б |
|
лицы).
Процесс вычисления таблицы решения (1) с по
мощью разностных схем носит названия численного ин
тегрирования (численного решения) дифференциального уравнения. При этом ( 1) заменяется некоторым раз
ностным уравнением |
|
r |
|
'I'(z, h)= L [akzпн-hb,J(ln+k• Zn+k• h)]= О |
(2) |
k=O
§ 1.1. Разностнь~е схемы |
97 |
такю1 образом, что значения Zn=Z(tn), выч11сляемые
согласно (2) точка за точкой, приближенно описывают
решение x(t) в точках tn=to+nh (п=О, 1, ... }, а коэф фиuиеН1ы ar и Ьr одновременно не равны нулю.
Уравнение (2) называется методом численного интег
рирования (разностной схемой). Если число r= 1, метод
чис.1енного интегрирования принято называть одношаго
вым, при r> 1 - многошаговым. Порядок разностного
уравнения r определяет число дополнительных началь
ных условпй, необходимых для однозначного решения
(2). Совокупность начальных условий для (2) называ
ется нзча.тюм таблицы, а способ их вычисления - стар
товым алгоритмом.
Од:и пз основных идей при построении (2) по ( 1)
состоит в применении к ( 1) формулы Ньютона - |
Лейб |
ниuа |
|
tn+I |
|
х(tп+1) = rx (tп) + s f (т, х ('t)) dт= |
|
t" |
|
h |
|
=х(tп)+ Sf(tn+1-т, x(tn+1-т))dт |
(3) |
о |
|
с посJiедующей аппроксимацией интеграла в (3). Напрпмер, метод ломаных Эйлера получается, если
прпблпжепно вычислять интеграл в (3) по способу пра вых прямоугольников. В этом случае уравнение (2) бу
дет име1 ь вид
Zn+i-Zп-hfп=O, fп=f(tn, Zп)• |
(4) |
Другой метод ломаных, так называемый неявный ме
·-:-од ЛОl\tаных, получается, если приближенно вычислять
интеграл по способу левых прямоугольников |
|
Zn+1-Zn-hfп+1=О, fn+i = f (tn+i• Zn+1). |
(5) |
Нетрудно видеть, что (5) является уравнением, не разрешенным относительно Zn+I· В общем случае в (2)
также вводится понятие явных и неявных методов. Если
Ьr=О, то метод (2) называется явным, а в противном
случае·- неявным. Неявным, например, является так на-
88
r
л.
1.
Численное
интегрирование
жестких
систем
зываемый
метод трапеций
h Zп+1-Zп-2(fn+i
+fп)=
О,
(6)
который получается |
при |
аппроксимации интеграла |
||
по |
способу трапеций. |
|
|
|
|
Неявные методы |
можно |
приближенно записать |
|
в в
(3) яв
ной форме, |
ограничась, например, одним |
|
ционного процесса Ньютона |
)-lср(У°)= 0, |
|
|
у1-уо+( д~~О) |
|
шагом
итера
(7)
пр
1
ю1ененного
.к |
уравнению |
|
ер (у)= |
О,
(8)
причем
предполагается,
что
дrр(у
0
)/ду=:/=0.
Например,
рассматривая |
(5) в |
виде |
|||||||
у |
0 |
= |
z11 |
и |
предполагая, |
что |
|||
|
|
|
|
f |
(t |
) |
l"V f |
n• |
д |
|
|
|
|
- |
|
||||
|
|
|
|
|
n+1• |
Zn |
|
||
(8) |
относительно |
у=zп+1 |
при |
|
пр·иближенно равны величины |
||||
f (tn+l• Zn) l"V |
д f (tп. |
Zn) |
|
|
дz |
- |
д z |
' |
|
согласно
(7) |
получаем |
Zn+1-Zп-h |
|
|
( |
1-hдд fzп
)-1
fп
=0.
(9)
Формула (9) может быть непосредственно
вана д.1я получения прпблпженного решения
пспо.1ьзо ( 1) точка
за
точкой,
еслп
положить
zo=Xo.
Очевпдно,
она
попада
ет |
в |
к.1асс
(2)
как
явная
п
одношаговая
прп
r=
1,
а1
=
=
1,
aJ=-1, F
Ь1 =0, |
|
(tn, Z71 |
• |
Ьо= h} =
1 (
и 1-h
ддzfп
)-1
f
n·
Часто
употребляемым
приемом
при
построении
раз
личных разностных схем (2) является замена |
|
Ньютона - |
Лейбнпца формулой Тейлора |
форму.1ь1
Х(fпн)= Х(tп)+h |
" |
hk-1 |
|
|
|
||
~ |
- |
|
|
|
|||
|
|
|
... |
kl |
|
|
|
|
|
|
k=I |
|
tfV+I х (tn +'t) |
|
|
|
|
11 |
|
|
|
||
|
+S (h |
-•)" |
d |
||||
|
|
|
|
vl |
|
d 'tv+I |
't', |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
о |
|
|
|
|
|
причем |
высшие |
производные |
вычисляются |
||||
тельным |
дифференцированием |
( 1). |
|
||||
v <. d, |
(lЩ |
последова· |
|
|
§ 1.1. Разностные схемы |
|
|
39 |
||||
Явные одношаговые методы (2) получаются при пре |
||||||||
небреженип интегралом в ( 1О). |
|
|
|
|
||||
Разностное уравнение первого порядка |
|
|
||||||
|
|
|
v |
hk-1 dk-1 f |
п =О |
|
(11) |
|
|
Zп+1-Zп-h t" -- |
|
|
|||||
|
|
|
l.J |
k! |
dtk-1 |
|
|
|
|
|
|
k=I |
|
|
|
|
|
;;аJывпют методом степени \' по чпсду учитываемых в |
||||||||
(11) |
производных от |
x(t). |
Поэтому, например, (4) яв |
|||||
лrется методом первой степени. |
схема (2) |
|
|
|||||
В |
общем случае |
|
разностная |
называется |
||||
::-1с;Gдом степени v, |
если раз.1оженпе Ч' (х, h) по |
степе |
||||||
ляч ii .J.1Я .1юбого tn имеет впд |
|
|
|
|
||||
|
Ч'(х, h)= O(hv+1), h~o. |
|
(12) |
|||||
Это озш1чает, что |
|
|
|
|
|
|
||
|
1 Ч' (х, fi) |
1 .,,;; М hv+i, |
|
|
|
|
||
(М - |
не1юторая константа относптелыю li; |
!i0 - доста |
||||||
точrю ма:юе чис.'10). Таю1;-,1 образом методы |
(5), |
(9) - |
||||||
первой степени, (6) |
- |
второй. |
|
|
|
|
||
·Иногда число v называют порядком точности метода.
Одню;о может возншшуть путаница между понятиями
«порядо1< разностного уравненпю> и «порядок метода».
Поэто711у в дальнейшем дая \' будем употреблять поня тие степени .метода, а д.1я r в (2) - название «порядок».
Известная формула Тейлора ( 10) не является един ствеюrым степенным разложением по Ji, получающимся на основе формулы Ньютона - Лейбница. Для построе :ппя других разложений применим к (3) правило интег
рирования по частям |
|
|
|
|
|
|
h"dx (t |
|
-•) |
dт= |
|
|
|
х(tп+1) = x(tn) - J |
n+i |
|
|
|
|
|
|
d 't |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
•) 1: + |
|
|
= Х(tп)-(т+С1) dx (! /; - |
|
|||||
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
h |
d9 Х (tn+1 - |
т) |
(т+ С1) di-. |
|
|
|
+ S |
d-r:' |
|
||
о
Здесь С1 - произвольная константа при интегрировании
пот.