Планирование и обработка эксперимента / Rakitskiy - Chislenniye metodi resheniya 1979

зу:1ьтату. Между тем система яв.ТJяется жесткой 11 нмеет

два различных частных решения с существенно разным

поведением.

Во-вторых, дифференциальная систе:-.1а (58)-(59).

по.1уч11вшаяся в результате аппрокс11маци11, хотя 11 пере­

стает быть спнгулярно возмущенной, может оставаться

все еще жеспюй и вызывать существенные труJ.нос·ш

при ее анализе. Последний факт обусловлен тем, что ко­ личество независимых быстроубывающих частных ре­

шений может не совпадать с количеством уравнений,

где выделяется малый параметр при производной.

В-третьих, точность аппроксимации решения (56)- (57) решенпем (58)-(59), определяемая величиной ~t,

может оказаться недостаточной. В этом случае вне по­

граннчного слоя (to+'tпc ~t~to+Т) попытаемся ис­

кать формальное решенне в виде степенного ря;~:а 110

µ [6]

й; (t). Сравнивая коэффициенты при нулевой степснн,

11~1еем

9*

ностью решать алгебраические и дифференциальные

уравнения типа (61) и (62) для каждой пары Vi, йi, но и

необходимостью получать началЬ"ные услоВ'ИЯ Vi (О). Фор­

мулы для нахождения последних rполучены А. Б. Ва­ еильевой [6] и требуют учета та1к называемых П-функ­

ц~ий, описывающих пограничный слой.

В работах [55, 41] рассматривается возможность ис­

пользования квазистационарных приближений при s= 1

в жестких системах. Однако предлагаемый подход по­

прежнему связан с неявным выделением малого пара­

метра, и отмеченные выше трудности сохраняются. На­ конец, в работе [16] показывается, что частным случя.­

ем общего метода построения асимптотических разложе­

ний решений сингулярно возмущенных уравнений явля­ ется и известный SАРS-1м·етод, предложенный Г. Даль­ квистом [46].

От перечисленных недостатков свободны аппроl{СИ­ мацни (44)-(45), основывающиеся на ПКП и не тре­

бующие записи жесткой системы в сингулярно возму­

щенном виде (56)-(57).

Рассмотрим подробнее применение аппроксимации

(44)-(45), когда жесткая система записана в форме

(56)-(57).

Продифференцируем уравнение (56)

+ дf1(t. и, v))·

дt

Аналогично, дифференцируя (56) s-1 раз, получаем

sd5 и

µ- = dt 5

=U0 (t, и, v)+µИ1 (t, и, v)+ · · ·+µ5-1 Иs-1(t, и, v).

(64)

Глава 4. Оптимизация

§4. t. Оптимизация и жесткость

Вчетвертой главе рассматриваются методы

опт11:-.шзации, предназначенные для решения следующей

за,:1.ач11.

Пусть J(x) - гладкий функционал, определенный в

т-:\!ерном евк.111;1.овом пространстве Rm, и пусть на не­

котором под:чножестве X*cRm функционал J(x) дости­

гает своего :'>Шю1:v~:ального значения, т. е.

J (х*) = min J (х) при V х* е Х*. xERm

Требуется найти точку x*ER111, удов.1етворяющую о.:~.но:11у из с.1е,J.ующих условий:

г.Jе е есть заданная точность ~решения, а р(х*) означает проекцию х" на множество Х*.

В да.11ьнейшем, как правило, рассматривается случай,

коrJ.a множество Х* содержит единственную точку х". Сформуш1рованная задача оптимизации, естественно,

не охватывает всех ситуаций, возникающих в приложе­ iшях. Например, на искомый вектор х" могут наклады­

ваться допо.11нптельные ограничения, приводящие к ми­

нюшзации це.пе~вого функционала не во всем про'С'11ран­

стве Rm, а на некотором его подмножестве. Однако ме­ ТОJ.ы решения более сложных оптимизационных задач обычно строятся на основе алгоритмов решения выше­

пр11веденной простейшей задачи, которая продолжает

заш1:-.rать центра.11ьное место в общей теории оптимиза­

щrн.

вращенпя, во втором случае - к сш1ющенным эллипсоп­

да:v~ вращения. С увеличением размерности многообра­

зне поJ.обных ситуаций также увеличивается. Функционалы овражного типа локально характери­

зуются плохо обуслО'вленньаш 'У!атрица:v~и Гессе J" (х), что прпводит к сильному изменению J(x) вдоль направ­

леннй, совпадающих с собственными векторами матрицы Гессе J..'IЯ больших собственных чисе.r~, и к слабому из­ менению вдоль других направлений, отвечающих ма.1ы:м

собственным числам матрицы Гессе.

Бо.1ьшинство известных методов оптимизащш позво­

ляет достаточно быстро попадать в область Q (называ­

емую «дном» оврага), приводя иногда к значительному уменьшению значения J(x) по сравнению с его значени­ ем в псходной точке («спуск на дно оврага»). Однако

далее процесс резко замедляется и практическп оста­

нав.111шается в некоторой точке из Q, расположенной

сравнительно далеко от истинной точки минимума. По­

лучаемые таким образо:v~ точки из-за схожести ситуаuий часто ош11бочно трактуются как точки локальных ми­ н11!11у:110в. Как показывает практика, подобные выводы о

мноrоЭI<стремальном характере минимизируемых функ­

щюна.1ов, как прави.•ю, лишены оснований 11 в дейст­

внте.1ьности наличие многих локальных мпнимумов

встречается значительно реже, чем об этом прпнято го­

ворить.

Точкп остановки применяемой поисковой процедуры

могут весьма сиJ1ьно зависеть от используемого началь­

ного приближения 11 располагаются в областп Q прак­

тнческп случайным образом. Д.11я того чтобы пояснить,

кче:-.1у это иногда может пр11вести, рассмотрим в каче­

стве примера следующую задачу параметрпческой идентпфикаuии.

Пусть имеются некоторые данные эксперпмента,

преJ.ставляющие собой набор чисел {.ii1<}, k= 1, ... , N, и :v~а-

1емат11ческая модель исследуемого явления Yk=Fk (х),

позво.1яющая рассчитывать резу.11ьтаты эксперимента в

завпсимости от величин компонент вектора х= (x(l>, ...

..., х:";)) - неизвестных пара:.1етров С\ЮJ.ели. Требуется оп­

реJ.е.шть значения параметров х<о из условия совпаде­

нпя с заданной точностью расчетных Ун и эксперпмен­

та.1ьных значений Ун прп k= l, ..., N.

Бели функционал, описывающий рассогласование вы­

ходов моде.1п и объекта, как это обычно п бывает, н:v~е­

ет овражную структуру, то могут возникать двоякого

рода трудности в зависимости от типа решаемой за­

дачи.

Еслп решается задача аппроксимацпи эксперимен­ тальных данных с помощью формул yk=F1,(x), то до.1ж­

на быть найдена точка х., удовлетворяющая условию

(2). Однако при остановке алгоритма в точке х1 ложно­ го минимума значение J (х1) может существенно превос­ ходить величину J(x.), и в результате прпхо;щм к яв.1е­

нию ложной неадекватности и, как с.1едствие, 1< отбра­

ковке, может быть, вполне приемлемой структуры мо­

дели, задаваемой функцпями Fk, k= 1, ..., N. В некото­

рых случаях это существенно затрудняет .:~.альнейшие

исследования по поиску оптимального математического

описания.

Иногда бывает известно, что принятая структура

модели в точности соответствует реальному объекту ис­

след'о'Вания, и •пара·:\~етры x<iJ несут ·нпо.пне определенный

содержате.1ьный смыс.'I. В таких случаях может ставнть­

ся задача оценки неизвестных параметров объекта x<i)

также из условия совпа::~.ения выходов мо.:~.е.'Iи и объек­

та. Пр·и это:\! вектор х* фа1ктически должен опре.::.елять­

ся нз условия (1). Данная задача обычно оказывается значительно труднее предыдущей. Дело заключаетсп в том, что в множестве Q минимизируемый функцнона.'I

меняется достаточно медленно, и точка .1ожного мшш­

мума X1EQ может быть расположена далеко от х.,

т. е. llx 1-x. 11 ~ е, хотя при этом часто оказываете?., что ll(x1)-J(x.) 1<е, и задача аппроксимащш решена. По­

следующее использование полученных такпм образом оценок неизвестных параметров вне данной мате:v~ати­

ческой моделп может повлечь существенно неверные

выводы.

Трудностн минимпзации овражных функциона.1ов тесно связаны с рассматриваемой в данной книге проб­

лематикой п вытекают из жесткости систем обыкновен­

ных дифференциальных уравнений, описывающих траек­

тор:ию наискорейшего спуска функциона.1а J (х):

де.1е11ие.

ства.vt