Планирование и обработка эксперимента / Rakitskiy - Chislenniye metodi resheniya 1979

200

Гл. 4. ОптuАшзация

.~ось по.~учить приемлемое

х*,

о..:~.нако построенное

на

их

х<1!= О,968-О,469х<2> ~ 1-0,5х<2>

(103)

.:.~.остаточно

точно локализует

дно

оврага. При получе­

систе­

мы в1ца (95).

Согласно общей

методике

исключаем

переменную

х<11

11 переходим к новому функционалу вида

.f1 (C, х<2>)=С0 --'-С1 х<2>+С2 (х<2>)2•

(104)

В результате

задача

свелась

к

задаче

одномерной

1шни.\1изации по ·пере.'.1енной

х<2>,

а

соответствующие

значения xOJ вычисляются

по

уравнению (103).

На следующем

этапе производим

независимую

от

л

Ci.

~; оценку значений

параметров

Используется

план

эксперимента

х<2> =0

'

х<2> = --1'-1

х< 2>

= -1

•

(105)

1

2

'

3

Д.1я вычисления значений функционала ( 104) в точ­

ках

плана

(105)

вычисляются

соответствующие

значе­

ю1я хР> по уравнению ( 103). Получается план для

ис­

Таблица s

ходного функционала, пред­

хр!1

ставленный в табл. 8, точки

i

1xi(l)1

J;

1 ;;

которого расположены ·вдоль

оврага

(обозначены

крести­

ка.\ш на рис. 17).

1

0,968

о

120

123

Вычисление

значений

2

0,499

1

130

128,25

функционала J в точках пла­

1 3

1,437

-1

130

131' 51

на табл. 8 ка.к раз п

реали­

!

1

зует

изложенный в

§

4.4

л

л

л

С0 = 120,

С1 =О,

С2 = 10

§ 4.6. При.иеры

201

Л

_

А

х* = (0,968; О),

J ф,

х*) == 123,64,

близкий к истинному решению.

Погрешность в определении

оптимальных значений

-

(106)

J(x)= 1/2)"'Л.1 (х, щ)2 -(Ь, х),

j=I

где

Л1 =108, Л2 =Л.4= 10-4,

'Л3= 106,

b=(l;

1;

1;

1),

1

-1;

1;

О),

1

2;

1;

О),

(107)

U1= vз (1;

U2= V6 (1;

1

О;

-1;

1),

и4

1

О;

-1;

-2).

U3 = уЗ (1;

= Vб (1;

Начальная точка

Х0=0 (1;

1;

1;

1),

J(x0)=0,168310•,

202

Гл. 4. Оптимизация

пз-за наличия многомерного (двумерного)

оврага.

В табл. 9 приведены результаты минимизации функ­

ционала (106) некоторыми поисковыми

алгоритмами

ся функционал от приращений к Хо

1 (z) = J (х0+z),

z0 = О.

Уравнение спуска для l(z)

примет вид

~= -!'(z)=-Dz-J'(x0 ).

(108)

dt

Элементы матрицы D=l"(xo)={di.i}

;

0,33667108

-0,33333108

0,33000108

о.3333310•1

)

-0,33333108

0,33333108

-0,33333108

--0 •6250010

-1

l

0,33000108

-0,33333108

0,33667108

-0.33333106

'

о,33333108

-0,6250010-l

-

0,3333310'

0,33333106

§ 4.6. Примеры

205

Пvсть

минимизируется

квадратичный

функционал

(106) с Л.з=О,9999910•, так что

/.1~Лз. Тогда

коэффи·

связи

(v, z) =ri равны:

:·=(1;

-0,5; 0,14999i0_i; 0,49999),

11=-l.

В.::ктор

v::::::О,5(и1 +из)

не совпадает ни

с

одним из

1

0,66666 108

-

0,33333108

о. 3333110•

0,33333108)

-

0,33333108

0,33333108

- 0,33333108

о.о

(

0,33331

10

3

-

о. 33333108

0,66666108

-0,33333 8

-0,33333108

10

0,33333108

о.о

0,33333108

l"(z2>

z<З>

,

z(4>)=

1 •

~....•

о

о

0,16667108

-0,33333108

0,16667108)

= (

-0,33333108

0,66666108

-0,33333108 ,

О, 15667108

-

0,33333108

о, 16667108

z<З> = 0,5 (z<2> +

z<4>) +О, 1406310-s,

/" ( z<2>

z<•>) = (

О, 15001

:;

97758

io-·

2

о

'

о

о

.

10-8

208

37. Х и м мель б .1 а у Д.

ние. - М.: Мнр, 1975.

39.

Ш тет те р

Х.

Ана.1из

методов

дискретизашш

д.1я обыкновен­

40.

ных дифференциальных

уравнений.

-

М.:

,\\нр,

1978.

Эль с r о .1 ь ц

Л.

Э. Дифференциа.1ьные

уравнения

и

в1риа­

ционное псчис.1ение. -

М.: Наука,

1969.

41.

А i k е n

R.

С.,

L а р i d 11 s L.

An

effective

numerical

integration

method

for

typical

stiff systems.-AIChE J., 1974, 20,

No

2.

42.

С а 1 а h а n

D. А.

А staЫe, accurate method oi numerical

intcgration

for

nonlinear

circuits. -

Proc.

IEEE,

1968,

56,

.N'o

5.

43.

С а s h

J.

R. А class

of

implicit

Runge-Kutta

methods

for

th~

numerical

integration

of

sШf

ordinary

differential

equatior.s. -

J. АСМ, 1975, 22, No 4.

44.

С и r t i s s

С.

F.,

Н i r s с h f е 1d е r

J.

О.

lntegration

of

stiif

equations. -

Proc.

Nat. Acad. Sci. USA, 1952, 38.

45.

D а h 1q и i s t

G.

А special stabllity proЫem for linear

IELilti-

stcp methods. -

ВIТ,

1963, 3.

46.

D а h 1 q и i s t G. А numerical

method

for

some

ordinary

diffe-

rential

equations

with

large

Lipschitz

constants.

-

Inform.

Processing

68,

1969.

П. F 1е t с h е r

R.

Function

minimization

without

evaluating

deri-

\'atives (а review). -

Computer. J.,

1965,

8, № 1.

-15.

G е а r

С.

W. The

automatic

integration

of

stiff

ordinary

diffe-

rential equations. -

Inform.

Processing

68,

1969.

-i9.

G е а r

С.

\V. The

automatic

integration

of ordinary

diii~rential

equations. -

Comm. АСИ, 1971, 14.

50.

G е а r

С. W.

Numerical

Initial

Value

ProЫems

in Ordinary

Differential

Equations. -

N. J.,

1971.

51.

Н i n d та r s h

А.

С.

GEAR:

Ordinary

differential

equations

s\·stem

solyer. -

Lav.тence

Livermore

Laboratory.

-

Rept.

UCID-30001, Dccember 1974, 3.

53.

L ат Ь е r t

J.

D. Computational

methods in

ordinary

differen-

tial

equations. -

N. У.,

1973.

54.

L ар i d и s

L.,

S е i n f е 1d J.

Н. Nнmerical

solution

of

ordiпary

differential

equations. -

N. У.,

1971.

55.

М i r а n k е r W. L.

Numerical

methods of

boundary

laye~

type

for

stiif

systems of

differential

equations.

-

Computing.

1973,

11, No 3.

56.

N е v а n 1i п n а

О.,

S i р i 1 а

А а r n е

Н. А

nonexistence

theorem

for

explicit

A-staЫe

methods.

-

Math.

Comput"

1974.

28,

57.

№ 128.

М. J.

р о v; е 11

D. An

iterative

methods for

finding

stationary

yalues oi

а

ftinction

of

several

variaЫes. -

Comput. J"

1962,

;\'о 5.

58.

R о s е n Ь r о с k

Н.

Н.

Some

general

implicit

processes

for

the

numerical

solution

oi

differential

equations.

-

Cor::r'.lt.

J.,

1963, J\io 5.

-

f9.

Stiff

differential systems. -

Proc.

Int. Symp. -

N.

У.

Lon-

don,

1974.