Планирование и обработка эксперимента / Rakitskiy - Chislenniye metodi resheniya 1979

собственные чис.1а i.k которой действитеJ1ьны и отри­ цательны, а спектральное число обусловленности ве­

.1ико:

Применяя .1:.~я решения (56) явный мето.J. .1оманых,

по.1учаем систе:v1у разностных уравнений

Zп+1 = Zn + hAzп = (Е +h А) Zщ

д.1я асимптотической устойчивости решения которой не­

обходимо, чтобы собственные числа матрицы (Е + hA)

бы.1и бы по моду.1ю меньше единицы

11+hЛi1<1,

11.'1!1

При этоы на практпке, как правило, время Т наб.1ю­

.:~.ен11я решения находится в прямой зависимости от ве­

.тичины л-1m1n. и общее число шагов N, необходимое для интегрирования (56), может оказаться весьма большим,

приводящим к нереальным вычис.1ите.1ьным затратам

времени:

N = _I_ ......., Лmах )) l.

h Лmin

Так же, как п в случае жесткого скалярного уравне­ ния (48), вознпкшие трудности связаны с ограничением на шаг интегрирования вида (57). Этим недостатком об­

;;здают явные разностные схемы РунгеКутта, Адамса

11 более высоких степеней.

Применение как явных, так и неявных методов § 1.1

.:ця решения системы (56) порождает соо11нетствующую

Пусть

Q (у)= dr '\'r +dr-1 '\'r-l + ··· +d1 y+do

- алгебраический по.ТJином с постоянными относите.'Iьно у коэффициентами, все корн11 Yi которого удовдетворя­

ют условию:

числение

~

k=O

накладывающему ограничения на dk, необходимые д.1я выполнения (65).

Разностные схемы явных методов Адамса

Zn+r-Zn+r-1-h r-~1 bkfп+k= О,

k=O

прв!\1ет:1111ые к (61), прнобретают вид

r-l z"+r-Zn+r-1-hЛ ~ Ь11.гп+k= о.

lt=O

Реше1ше этого разностного уравнения выражается

полнения условия (65) коэффициенты алгебраического

.56 Гл. 1. Численное интегрирование жестких систем

многочлена (67) должны удовлетворять неравенству

k=O

Поэтому необходимое условие для выполнения (65)

2

hJl·l<q,= --- (68)

r-1

~ lhkl

k=O

приводпт к еще более серьезным ограничениям на шаг

интегрирования, чем в методах Рунге - Кутта. Метод

первой степени (4) имеет q1=2,0; второй степени (32)- q2=1,0; третьей степени (33) - qз~О,556; четвертой сте­

пени (34) - q4=0,3.

Для сравнен11я напомним, что для действительных отрицательных /. в методе Рунге - Кутта четвертой сте­

пени шаг мог быть выбран почти в 10 раз большим, чем

в 'Соогветствующе:-.1 ·методе Адю1са. С дальнейшим уве­

JIИчением степени ~Iетодов вел•ичина qr продолжает убы­

вать.

Для построения областей устойчивости методов

Адамса. аналогичных рис. 5, может быть использован

метод Д-разбиения, позволяющий найти на комплексной

п.1оскости значения параметра ~. при которых ~корни ал­

гебрапческого многочлена

.лежат в Jiевой полуп.'Iоскости плоскости z, т. е. Re (zi) <

<О, где Pm(z), Rn(z) - алгебраические многочлены сте­ лени т и п соответственно. Для получения значений

.h'Л, при которых имеет место (65), после преобразования

z+I y= -

z-1

от (67) переходим к формуле вида (69) с требованиями

Re(zi) <0 вместо \'\'i\ <1, где ~=hЛ..

Тот же эффект может быть достигнут непосредствен­

но при подстановке в (67) y=ei'P. Функция

ei r ер_ ei (r-1) q>

F(~)= ~-,--~1~~~-

~ Ьk ei k ч>

lt=O

при изменении ~ от -n/2 до +n/2 опишет ~кривую Д­ разбиения, часть которой будет границей области устой­ чивости рассматриваемых методов. Сами области приве­

дены на рис. 6.

Анализ этих областей и областей рис. 5 вынуждает «забраковать» традиционные алгоритмы Рунге - Кутта

п Адамса применительно к решению жестких систем, так

lm(hll)

Риое. 6.

как использование малых значений h требует больших

затрат на вычисления. В связи с этим в [45] было пред­

ложено создавать и применять для жестких уравнений такие методы, у которых область устойчивости при ре­

шении «тестового» уравнения (61) содержала бы всю левую 1полу1Гшоскость .плоскости hЛ., т. е. при Re Л.<О ре­ шение соответствующего разностного уравнения было

бы асимптотически устойчиво при любом положитель­

ном h. Эти методы получили название А-устойчивых, и

для них оказались справедливыми следующие утверж­

дения:

1) НИiкакой явный линейный многошаговый метод не может быть А-устойчивым;

2) не существует А-устойчивого неявного линейноr() многошагового 'Метода со 1степенью v>2.

Позднее в работе [56] была показана невозможность

существования явных А-устойчивых методов среди еще более широкого к.11асса разностных схем, куда линейные

многошаговые методы и методы Рунге - Кутта входят I<ак час1 вый с.1учай. Поэтому подав.11яющее большинст­

во алгоритмов, успешно решающих жесткие системы,

относится к категории неявных.

Расс:\ютри:w неявные методы Адамса. Первый - неяв­ ный :\Iетод .11оманых Эй.пера (5), - при:vrененный к (61),

Zn+1 = Zn +h ').. Zn+1•

поро;кдает с.1едующее ограничение на h'J.:

\t'1(hЛ)i<l, i11 (hЛ)=(l-hЛ)-1

п.1и для /,=а+ jw

(l-ha)2 +h2 w2 > l.

Областью устойчивостп этого метода будет вся плос­

I·:ость М., за псключенпе:\1 ед111-1r!чного I<руга с центром

(1, О), и, следоватедьно, неявный метод ломаных Эйле­ ра А-устойчпв. Для llleтoдa второй степенп, неявного ме­

тода трапецпй (6), анадоп1чно пыеем:

Zп+1=Zn +\Л (z"+1 +Z,1),

<0, т. с. метод трапеций является А-устойчивым. Одна­ rко при м"~-1 быстрозатухающему решению (61)

Хп = еhЛп ·Хо

-соответст.вует решение разностного У'Р'авнения (70)

Zn.=(l + h2Л Y(t- h2Л )-nZo, Zo=Xo,

-отнюдь не являющееся быстроубывающим, так как

limt12 (h"A)= -1.

hл-...

Таким образом, требование А-устойчивости не явля­

ется достаточным для гарантии «хороших» свойств ме­ тодов, и для метода трапеций шаг интегрирования не

может сыть выбран слишком боJ1ьшим из-за невозмож­

ности получения необходимой точности решения. Не­ явный метод Эйлера свободен от этого недостатка,

так как

lim V1 (hЛ)=O.

/1).--<Ю

Вместе с тем метод трапеций обладает важным свой­ ством. Прп Л= jw устойчивому решению исходного диф­

ференциального уравнения (61) соответствует устойчи­

вое решение разностного уравнения (70)

Неяв11ые ;чстоды Адамса более высоких степеней, яв­

.1яясь тшейнь1м11 многошаговыми, сог.r~асно утвержде­

ш1ю 2) не могут быть А-устоiiчивыми. Для h'i.<0 спра­ вед.1~:nы ограннченпя: метод третьей степени (35) пмеет

!ф.1 <6; метод четвертой степени (36) -hlЛI <3.

Чтобы иметь возможность конструировать и приме­

нять для решения жес11ких уравнений линейные много­

шаговые методы со степенью выше второй, требованпе

А-устойчивости ослабляется. Так, в [48] были пред.rю­ жены жестко устойчпвые методы. Для этих методов тре­

hЛ. Е R1 URz за1к.пючается в том, чтобы при больших