§ 3.1. Принцип квазистационарности производных |
121 |
Решение (36) при обозначении Bs=A22-A21 Vв |
име |
ет в1ц |
|
|
(37) |
Если ввести асимптотический парюлетр |
|
µ= liЛi-511 llЛ~l\-+O, |
(38) |
:о а силу жесткости системы (3)- (4) имеем оценку
ii Az2-A21Ui11 И12-Вs11<11 A21 ll I\ Vs-Иi11 И12 I/ =0(µ),
µ-+0,
п, кро:11е того, вне пограничного слоя при t?;:;т*
!i Ds 1111 dsd:: (t) 11 =О(µ), |
µ-+О. |
Поэто:-.1у, выбрав начальные условия е;=О(µ), µ-+0,
по.1учаем
l/e2(t)1i=O(µ), µ-+0.
Резюмируя изложенное, сформулируем теорему. Теорем а 3. l (принцип квазистационарности про азводных - ПКП). Для жесткой дифференциальной си стеJtЫ (2) по достаточно малому в>О найдутся: такое
целое |
число s (е)?;:; l, |
такой подвектор х1 (t) вектора |
x(t), |
такое значение |
т*=т(е), где Тпс~т(е)~Т, что |
d.1я реtиения уравнений (3)- (4) справедливы неравен-
ства
11 xi (t)-xi (t) 11 < вm~х \1 |
х1(t)11. i= l, |
2; t ~ т(в). |
При это.м вектор .i1( t) опреде.zяется системой k алге |
браических связей (18), |
а вектор |
х2(t)-системой |
(m-k) дифференциальных уравнений (34) при началь
но.11 векторе i2(т*) =Х2(т*).
Д.1я практического использования этой теоремы не обхо:~л~ю ответить на ряд вопросов: какие днфференц11-
а.1ыше уравнения будут входить в (34) и в каком rюлн-
122 Гл. 3. Аси,11птотические преобразования
честве, сколько производных достаточно взять для по
лучения алгебраическпх связей (18) и т. п.
Основным критерием правильности проведенных пре
образований является совпадение решений |
( 18), |
(34) |
или эле:-vrентов \rатриц Bs=A22-A2 1Vs для |
двух |
по |
следовательных значений s. При этом спектральный ра диус матрицы Bs должен быть значительно меньше, чervi у матрицы исходной системы (2).
Хотя ·С )~Веллчением s зна·чение е у\1еньшается, неце
лесообразно брать s ·большЙ\1, так как параыетры исход
ной системы заданы с ограниченной точностью, а вычи
сления проводятся с ограниченной разрядностью. Обыч но s = 2, 3. Если собственные числа :v~атрицы А разделя
ются по модулю на две сильно отличающиеся группы и
J Лk+1 I ~ 1Ak J, то уже для этих величин s параметр µ,
согласно (38), достаточно мал.
При выборе уравнений для ( 18) следует учитывать два предельных случая. Если в жесткой системе (2) яв
но выделяется малый параметр при производной и дви
жения разделяются на «быстрые» и «медленные», то
для получения алгебраических связей следует исполь
зовать уравнения, отвечающие «быстрым» переменны:м.
ЕсJ1и же такое разделение неосуществимо, все перемен ные практически равноправны и все строки А зависят
от больших по моду.11ю собственных чисел, то теоретиче·
ски безразлично, из какого уравнения получаются свя зи (18). На практике различные варианты нх выбора будут незначительно отличаться только объемом вычи·
стпельных затрат.
Иллюстрацией применения ПКП может служить уже
ра•с-о\1атри•вавшийся во 'Введении ~пример систю1ы 'Вто
рого порядка |
(B.l l) |
|
|
|
|
d::> = |
- 50 l хщ+ 5Оох<2>,·· хщ (О)= х10 |
; |
(39) |
d~t(2) =5Оох<1>-бо1х<2>, х<2>(о)=Х20• fE[O, |
l]. |
(40) |
Из явной формы записи решения |
|
|
x(I) (t) = |
0,5 (х10-х20) ехр (-lOOit)+ 0,5 (х10+ Х20) ехр (-t), |
х<2> (t)= |
-0,5 (x -X |
20 |
)exp(-l00lt)+ |
|
(41) |
|
|
10 |
|
|
|
+ 0,5 (х10 + Х20) ехр (-t)
§ 3.1. Принцип квазистационарности производнь1х |
123 |
вндно, что для t;::::'tпcCtпc"" l0-2 ) между компонента
ш1 вектора x(t) существует линейная связь
-х0 > (t) ....., -х(2) |
(t). |
|
Пр11бл11женное описание |
системы |
вне пограничного |
с.1оя формулами (18) и |
(34) |
с s= l, |
т. е. пренебрежение |
в (39) первой производной |
|
|
|
- |
(1) |
500- (2) |
|
Х |
=-Х |
, |
|
|
|
501 |
|
dx( 2) |
-(2> |
|
~~-2х, |
|
как уже отмечалось, еще не обеспечивает удовлетвори
тельной точности. При этом
И111 И12 ~ -0,998, W21 ~ 0,5, Ан +ии1 И12А21~ -1000
идля решения аппроксимирующей системы, сог.11асно
(26)и (27), имеем большую погрешность в показате.11е второй экспоненты
x(I) ~ (0,50lx10 -0,500x20)exp(-1000t)+
+ (0,499х10 + 0,500х20) ехр (-2t),
x(2J ~ (-О,500х10 + 0,499х20) ехр ( - lOOOt) +
+ (0,500х10 +0,50lx20} exp(-2t).
Однако |
уже следующее |
приближение при |
s=2 |
-x(I> = |
500 х 501+500 х 501 |
|
х -х(2) ~ 0 999998 х-(2) |
, |
|
501 х 501 + 500 х 500 |
|
, |
|
dx(2> |
|
-р) |
|
|
([Г- ~ - |
l,001 х - |
|
1:неет ошнбку в коэффнциенте тшейной связи порядка
2· \О-6, а в показателе экспоненты порядка l0-3. Пред 'lкспоненты, посчитанные по фор·'.1ула:v~ (26) и (27), дают
по сравнению с (41) совпаденне с пятью значащ11м11
ш1фрам11.
Число 11ск.11ючаемых уравнений k должно соответсг
вовать количеству быстроубывающих линейно-незавпси \IЫХ частных решений (2). Ес.11и эта ве.1111чина заранее
не11звест11а, с.11едует начннать с небольших значеннй k,
§ 3.2. Квазистационарность производных |
125 |
ся на участки, на каждом из которых в соответствии с
неравенством (В.36) нелинейную систему аппроксими руют линейной (2) с последующим применением форму.1 (18), (34). Кроме того, условие квазистаµионарности
производных испо.1ьзуется и непосредственно для аппро
ксимации ( 1) вне пограничного слоя. |
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично (3)- (4) запишем |
систему |
уравнений |
(1) |
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
Х1, |
х2), |
Х1 (to) = Х10, |
Х1 (t) Е R~.· |
|
(42) |
|
d: = /1 (t, |
|
|
dx2 -f ( |
Х1, |
) |
Х2 (10) = Х20, |
Х2 (t |
) |
Е |
R |
k |
, |
(43) |
|
-- 2 t, |
Х2 , |
|
|
':.- |
|
|
dt |
|
|
|
t0 + Т]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t Е [10 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
Алгебраические связи подобно (18) получаем, диф |
ференцируя (42) s-1 |
раз, |
приравнивая результат нулю |
|
( |
- |
-)_d5 |
-1 f1(t,7i,~) |
-0 |
|
|
|
(44) |
|
'ft, Х1 |
, Х2 |
- |
dts-1 |
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 заменяя после каждого дифференцирования |
d.~1/dt на |
f1(t, |
.Х1, .Х2) и dx2/dt на f2(t, |
.Х1, .Х2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Предполагая (44) разрешимым относительно .Х1 (t),
по.'1учаем уравнение для х2 (t)
dX(t)~t -f2( t, Х- 1.Х-2). Х- 2 (tо+т*)=х2(tо+т*), т*~Тпс·
(45)
Правильность произведенных операций контролиру
ется выполнением неравенства |
|
11 Xi (tо+т*)-х1(tо+т*)11 ~в IJ Х1(tо+т*)11 |
(46) |
: совпадением решений (44) - (45) для двух последова
тt.'Iьных значений s. При этом спектральный радиус :vrатрицы 51коби преобразованной системы должен быть
значите.'lьно меньше, чем у исходной. Вопросы, связан
ные с выбором вектора х1 и его размерности, а также величины s решаются так же, как и в линейном случае.
Сдедует отметить, что при необходимости для получе
нпя ашебраических связей (44) каждое из уравнений,
входящих в (42), может быть продифференцировано
126 Гл. 3. AcuJtnтoruЧ,ecкue преобразования
Для иллюстрации особенностей применения ПКП в нелинейном случае рассмотрим жесткое уравнение (В.1)
первого порядка с малым параметром µ при производ
ной, пре·.:~.по.1Jожив, что f(t, х) достаточное число раз не
прерывно дифференцируема.
Запишем два равенства |
|
|
ds х |
ds-1 f (t, Х) |
О= ds-1 f (t, х) |
(47) |
µ - = |
dts-I |
dfS-1 |
dt5 |
|
и будем оценивать величину |
разности x(t)-x(t) вне |
пограничного слоя. Для этого вычтем пз первого урав
нения второе и применим формулу конечных прираще
нпй. Тогда
- |
д [d5- 1 f(t, |
х)] |
|
( |
-)-- |
|
d5 x |
(48) |
|
|
|
|
|
|
|
х-х-µ--, |
дх |
|
dts-I |
|
х=х* |
|
|
|
|
|
|
|
d/ 5 |
|
где значение х* заключено :v~ежду x(t) |
|
и .;,;(t). |
|
Введем обозначение |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
GS (t ' |
|
Х, |
µ) сс·с µs-1 -д |
[ ds-I f (t, |
х) ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
дх |
|
dts-1 |
|
|
и запишем (48) |
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
08 |
(t, |
х*, |
|
|
- ) |
--= µ |
s |
|
ds Х |
|
|
|
µ) (х- х |
|
-- . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt5 |
|
|
Если на отрезке решення вне пограппчного слоя ве- |
.'IIIЧИHa |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
__ ( |
|
-)----G-1 (t |
' |
* |
µ |
) |
µ |
s |
|
d~x |
(49) |
|
гs- |
|
х-х |
--· |
s |
|
х, |
|
|
--_ |
dt 5
окажется достаточно малой по модулю, то при t~to+
+тпс может быть использована аппроксимация (47).
Найдбt некоторые достаточные условия -'1алости 1Bs !.
Дифференцируя и :применяя пра·вило .v1ате:-.-tатической
индукции, убеждаемся в справедливости формулы
G (t |
|
Х |
|
µ |
) = |
µ |
s-1 .!.._ [ ds-1 f (t' |
х) ] |
~'" (~)s +R (t |
|
Х |
) |
s |
|
' |
|
, |
|
|
дх |
dts- |
1 |
|
дх |
s |
, |
|
, µ, |
где |
|
|
все |
с"1агаемые R. (t, |
х, |
µ) |
содержат |
хотя |
бы |
один |
сомножитель |
|
с |
частными |
|
производны:v1и |
функции |
f(t, |
х) выше |
первого поря.:~.ка |
11 |
R"(t, х, |
µ) непрерывflЭ |
|
§ 3.2. Квазистационарность производных |
127 |
по µ. Дейс11вительно, |
|
|
|
|
Gs+I (f, Х, |
д [ |
d 5 f |
] |
= |
|
µ)= µs - |
-- |
|
|
|
дх |
dts |
|
|
|
=µs .дх!__ [..!!дх_ ( ds-1 f
\dts-1 )
дf
= - Gs (!, Х, µ)+
дх
~+ ~ ( ds-1 |
f) ]- |
µ |
дt |
dts-1 |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
/ дf )s+I |
' |
|
|
Х, |
µ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
\ дх |
-Г Rs+I (!, |
где |
|
|
)- дf R (f |
|
|
) + |
_!!_ (fl_)5 + |
|
|
|
|
R |
(t |
' Х, |
Х, |
µ |
µ |
dRs (t, |
х, |
µ). |
s+! |
|
µ - |
|
дх |
8 ' |
|
µ |
dt |
дх |
|
dt |
|
|
Например, .J.JIЯ s=2 |
|
х) f (t |
х) + |
|
|
|
|
|
|
|
|
R (t |
х |
) = д2f (t, |
а2f (t, |
х) . |
|
|
|
|
2 |
' |
' |
µ |
|
|
дх2 |
|
|
|
' |
|
µ |
дt дх |
|
|
Предположю1, что функция дf(t, х)/дх ,мало изменя |
ется в окрестности решения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 дf(~~ х) |
ls |
)) 1 Rs (t, |
Х, |
µ) !, |
|
|
|
|
(50) |
|
|
|
|
|
|
Gs (t, |
х, |
µ) ~ (:~у. |
|
|
|
|
|
Тогда согласно |
(49) для величины es имеем |
|
|
|
|
|
|
|
es~µ |
s( дf(t, х) )-s |
d |
5 x |
|
|
|
|
(51) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-- , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дх |
|
|
dts |
|
|
|
|
|
т. е. погрешность вне пограничного слоя пропорциональ
на µs. Считая значения производных решения исходного
жесткого уравнения достаточно малыми вне погранично
го слоя по сравнению с |
µ-s, можем использовать реше |
ние (47) при t~to+-rnc |
для описания x(t). |
Примером рассмотренной ситуации может служить |
жесткое уравнение |
|
|
~; = ct (t) (х-ср)+dd~ , |
х (О)=х0, |
|
|
(52) |
ct (t)= -I0*-3t2 ; |
ер (t) = |
cos t, t Е [О, l], |
решение которого может быть представлено в виде
х (t) = ехр (-l04t-t3) (x0 - l) +cos t.
128 |
Гл. 3. Асимптотические преобразовани.q |
Вне |
пограничного слоя (тпс,..., 10-3 ) первое слагае |
мое решения практически равно нулю, и величина x(t) близ1ка к cos t. Ниже приводятся значения 5:(t) и 8s, по лученные согласно фор·::v1у"1ам (47) и (49) ..:i..iя различных
значений s:
|
- |
|
sint |
|
|
|
|
|
S= 1, |
Х (i)=COS |
t- |
104 +3t2 , |
|
|
|
|
|
- |
t+ |
|
~t |
|
|
|
8 |
s ::-: 2, |
х (t) = cos |
(l04 +Зt2)2 -6t ' 1 |
е2 1 |
~ С2 |
~ |
1о- , |
S-:= 3, |
X(f)=COS f+ |
|
sin t |
|
|
' |
|
|
|
( 104 + |
Зt2)з - 18t (104-;-- з12)--;- 6 |
|
|
lвзl~Сз~ 10-12 •
Здесь следует отметить, что условие (50) не являет
ся необходи·:\fЫМ для применения ПКП п было введе
но д.'lя упрощения фор::vrулы (51). Величпна дf(t, х)/дх
может пзменяться на решении и весь;v1а существенно,
важно только, чтобы значения / вs /, сог.'lасно (49), были
маль1.
Например, для решения уравнения (52) с парамет
рами
11.111
cx(t)= -2· 104 -l04 sin 10 t,
аппроксамацпя (47) ..:~.ает удовлетворпте.1ьные резуль
таты при .1юбых s, хотя на промежу'Гке [О, l] а (t) изме·
няется достаточно сильно.
Все эти особенности следует учитывать п при ис пользовании ПКП в нелинейных дифференциа:rьных си· стемах (!).
Контроль за справедливостью выбранных аппрокси
маций может осуществляться различными способами.
Та\\, например, при интегрировании полной системы вне
пограничного слоя ко::vшоненты решения ..:~.о.1жны удов
летворять (44) с заданной точностью. Может проводить
ся та·кже сравнение двух результатов .J.ЛЯ .:rвух вариан
тов а'ППрОКСИ'Уiаuии при s и s + l и т. п.
