Планирование и обработка эксперимента / Rakitskiy - Chislenniye metodi resheniya 1979

показывают не только пх А-устойчивость, но и совпаде­ ние областей пх устойчивости с областью устойчивости

неявного метода трапецнй (6), содержащей только те

значения !ii., прн которых асимптотически устойчнво ре­ щенне дифференциального уравнения (61).

А-устоf!чивы:--ш яв.1яются также :'.1етоды (41) - (46) нз семейства (40). Примененпе эп1х методов для

(! - h'J..)3

Обратпмся вновь к системе (36). Д.1я того чтобы ре­ ше1ше разностного уравпенпя выбранного метода было ас11:.штоп1ческп устойчивы:v1, необходп:vю выбрать такое значенне шага шпегрированпя /1, пра которо;._1 все вели­

чины hЛ.я (д.1я Re /,,,<О) принад.1ежаю1 бы области ус­ тойчшюLтп выбранного метода. Этот nьшод останется в

си.1е п при натrчии кратных собственных чисел у мат­

рицы А.

Построение об.11астей устоiiчпвостп не дает, однако,

предстаuления о том, как точно г.рпб.1ижается решение

дпфференцпального уравненпя решением разностного

.J..1я различных точе.к внутрп 0G:1астп устойчивости. Оце­ пю1 точность по.1учення решеппя жесткой спстемы (56)

в р?..1е важных частных случаев.

Пусть все собственные числа 'i.k ~rатрицы А различ­

ны, .:~ейс твительны, отрицательны п

k=I

k=2, 3, ... , т гарантируются малые значения, и реше­ ние вне пограничного слоя будет описываться весьма

точно.

С:1едует, однако, отметить, что общее число шагов, необходимое для пнтегрирования (56), оказывается весь­ ма бо.1ьшим п на практике приводит к нереально боль­

ш11:-.1 за--~:ратам на вычисления.

В случае неявных методов Рунге - Кутта по.1учаем с.1едующее выражение для V(Ah):

ваясь то.1ько на соображениях точности. При это\1 вне

нпчного с.1оя погрешности метода и вычнсленпй не пме­ ют тенденщш к экспо11енц11а.1ьному росту, подобно тому,

как CJTO с.1учается для явных методов. Хотя функция

V(i. 111) прп 1hl.1/~1 очень неточно аппроксимирует экс­

Иногда требуется, чтобы решение по.1ностью отража­

.10 качественную сторону поведения исходного процесса

(56). Особенно часто такая потребность возrшкаст. ког­

да \1атр11ца А нмеет чисто мнимую пару собственных чи­ сс.1, 11 решение носит колебательный характер. В этом с.1учае \Южет быть рекомендован метод трапецнй (6)

11.111 :четоды {29) - (31). Для :-.1етода трапеций

V (Ah) = ( Е- h: )-1 ( Е+ h: )

3 Ю. В. Ракнтскиii п ;1.1>.

66 Гл. 1. Численное интегрирование жестких систем

11

(90)

Шаг интегрирования здесь также может быть вы­

бран пз соображений точности по формуле (90) для k=2, 3, ... , т. Однако необход11мо помнить, что при

очень боJ1ьших величинах 1hЛ.11 значение 1V(hЛ.1)1 в

:~том методе близко к единице и составляющей:

[ V (hl.1)) п не будет обеспечено быстрое убывание. Это

приводит к накоплению погрешности и является своеоб­

разным ограничением на величину h. Все сказанное от­

нос1пся 11 к методам (29) - (31).

Для того чтобы быстроубывающей компоненте реше­ ния днфференциального уравнения отвечала быстроубы­

вающая компонента решения разностного уравнения, ис­

по.r~ьзуются А-устойчивые методы, у которых дробно-ра­ цпональная фун.кция V (hЛ.) имеет степень полинома в

ана:v1енателе !Выше, чем ·степень •В чис.11ителе, и

lim \i' (h Л)! = О.

h,1.--oo

Такие методы получили название L-устойчивых [53].

К 11х чис.11у относятся неявные методы Рунге - Кутта (23) - (28) и неявный метод ломаных (5). Среди А-ус­ тойчивых методов Розенбро1{а (41) - (46) L-устойчивы­ ми являются только два - (41) и (46).

Сделанные выводы о точности решения жесткой сис­ те:\1ы (56) распространяются и на более общий, чем

(81), случай. Пусть собственные числа матрицы А раз­

деляются на две группы, значительно отличающиеся по

модулю. Тогда составляющим решения, соответствую­ щим большим по моду.11ю собственным числам, важно обеспечпть быстрое убывание, а остальным компонентам выбором h сохранить необходимую точность.

Таким образом, интегрирование жесткой системы мо­

жет проводиться по следующей методике. Начальное

значение h определяется максимальным по модулю соб­

ственным числом "'"' которое легко оценивается сверху:

1"'"1~1\ А 11·

Затем по мере затухания экспонент с большими по­

казателями шаг дискретности последовательно увеличя-

вается 11 вне пограничного слоя выбирается в зависпмо­

сп1 от :шачений малых по модулю /,Ф

Реа.1ьно об окончании пограничного слоя можно су­

днть по велнчине производных компонент вектора реше­

нпя, которые вне пограничного слоя значительно :.\!ень­

ше, чем внутр11 него. Их оценка С.'Iужит основой ддя вы­

бора h.

Между тем: на практике постановка многих задач та­

кова, что наибольший интерес вызывает поведение реше­

ния вне пограничного слоя. При этом желательно не

тратить значптелыюе время на пос.11едовательное увели­

ченне шага 11нтегрпрования («разгон шага») при t::::;:;-rпc, а сразу использовать шаг h, значительно превышающий

величину 't'пс. Рассмотрим возможность такого примене-

1шя разлпчпых одношаговых методов на примере жест­

кой системы (56) третьего порядка с собственны:м11 чис­

.1юш ~~гтрицы

l.1 ~= -500, 1.2 = -50, Л3= -1; iE[O, IJ.

Пус11, 11ачз.1ьные условня таковы, что у первой ком­

поненты вектора решения все предэкспоненты одина~о­

Д.1я наблюдения решенн:Я вне поrранич:ноrо с.1оя до­

.<орошо описывать экспоненту e7·h пе только в окрестно­ сш нуля, по и при больших значениях hЛ.

На rис. 9-12 приведены графики V(hЛ.) раз.1пчных одношаговых методов (кривая 1 - э1<спонента e1·h).

Известные недостатки явного метода ломаных Эйле­

3*

Рис. 9.

V(!Jr,)

!,О

Рис. 10.