Планирование и обработка эксперимента / Rakitskiy - Chislenniye metodi resheniya 1979

§ 4.5. Иерархическая опти.1шзация

183

2) .Для доказательства (61)-(63) достаточно пока­

зать, что для t.i=FO

(66)

,

J Ь1,

Ь1 <О,

(67)

J.= J. Ь1(l 7S),

Ь1>О;

(68)

•

'bk,

bk >0.

(69)

Л-=(

(70)

!bk(I+S),

bk<O.

Пусть

/1

k

'i 1 (i.)-= 2:; ai Ь1-1.-~ а1

bi (Ь1

- / . ) -1,

(71)

i=l

i=I

k

k

';2 Щ=Ь1 ~а1 -Л.-Ьi L аi(Ь1-Л.)-1,

(72)

i=I

i=l

k

k

(iэ (}.) = bk ~ а,-Л.-Ь~ Lа1 (bk-}.)-1 ,

(73)

i=I

i=l

k

k

(f4 (Л.) = ~ ai ь, -Л-L at ь~ (bi -Л.)-1•

(74)

i=2

i=2

.J:1я

l.>bi>O

ю.rее:\1 ср'2<О, ср'1<0. Поэтю1у <р1, ср2

~трого

монотонны

на интервале

(Ь1,

+оо) и согласно

выражениям (71), (72) меняются от -оо до

+оо. Сле­

довательно, в указанном интервале

существуют корни

1.q;,. Л.<Р.

функций <р1, <р2,

причем

из

неравенства

<p2-

-'f!>O получим

= Ь1 (1 +S).

ЛФ, < l.ip,

Соотношение (68) доказано. (67)

следует

из

(60),

"ак как в этом случае Л.1 =0.

01ьr

G1 Ь1А

(75}

Ь1 -Л

Ь1 -Л

На промежутках (Ь;, Ьн1)

для i= 1,

... , k-1,

(-ос, b1t),

(Ь1, +оо), qJ'1<0, qJ'4<0

и,

следовательно,

<р1, <р4

ку­

сочно-монотонны.

qJ4-<JJ1>0, и для

При /.Е (О, Ь1) разность

всех

кор­

При 1.<0 разность (75)

отрицательна п

где компоненты вектора

h = (h 1,

••• , hs) т

являются

пе-

рестановкой ненулевых

величин

(78); diag(~i)

-

по­

рядка s; diag (')'i) -

порядка m-s-1; ~i

и 'Vi

яв.1яют­

Следовательно,

k=m-s-1

собственных

чисел

z= (-~-1-di~~~)-).

(79)

Характеристическпй

по.11ином

матрицы Z равен

[35J

s

s

q> (Л)-= (а-Л) П фi -Л)-L h]П фi-1.).

(80)

i=I

i=I

i:/=/

(81)

§ 4.5. Иерархическая опти.11изация

187

будет иметь множитель

t

п [Лтi (D)-Л.]qГI.

(82)

i=I

Следовательно,

Лт1 (D) являются

собственными

чис­

лами матрицы Z, а значит,

и матрицы F

- кратности

Qi-l. Поделив (81) на

t

П [Лmi (D)-}.]q;,

(83)

i=I

приходим к уравнению

для

оставшихся

собственных

чисел матрицы Z

t

rх-Л-~ rii [Л.тi (D)-Л]-1 = О,

(84)

i=I

где f/i 2

есть сумма

Сог­

ласно

(78), имеем

т

Т/2 =-=

1

).2

(D) t1'(u~mJ)2;

i

(u<m>)2" т1

µ

I

1

/=2

значения, соответствующие номерам собственных

чисел

'Лi(D), кратных 1.rn 1 (D), включая номер т1.

Таким образом,

показано,

что m-t-l = (m-1-

-s) + (s-t) собственных

чисел

Ai (F)

совпадают

с не­

которыми

Л.t, (D), ... ,

Л.1m-t-i (D);

2 ~i1i ~т;

k= 1, ...• m-t-l;

остальные являются корнями уравнения

t

а-/,-~ ~1Л~i (D) Р·т1 (D)-Л]-1,

(85)

t=I

rде

т

с2 =

1

'1'(u(m))2

·

(86)

m1

( ufт>)2 ~

i

i=I

и уравнение

(85)

примет вид

t

t

(87)

i=I

i=I

где m;=l=i11.

при

любых i= 1, ..., t; k= 1, ... , m-t-1.

(58).

t, присутствует

Пусть

среди

чисел Лт i

(D), i= 1, ...,

р чисел

/.; (D)

из

числа i= 1,

... , m-r;

O~p~m-r-1.

Тогда р корней /.;

уравнения

§ 4.5. Иерархическая опти,wизация

189

~

max

1 Л.11. (D) 1 m. (89)

i=I, ... , t-p

'

Поясним

последнее

неравенство в

(89).

Согласно

(86) 1По.1учае:-.1

t-p

т

(и~т))2·

~с~,~ (и~т>г2 I

(90)

i=I

i=2

ибо если m(=/=mj,

то C2m. и

C2m.

не содержат одинако-

'

1

вых С.'Iагаемых. Следовательно,

t-p

т

1-L ," С2

& ( ulm))-2 ,.., ( ulm))2= (u(m))-2 & m

(91)

1 ,6'.

'Yli

-.-:::::

1

~

i

1

~

'

i~-1

i=I

мированного

к едпнпце вектора

и 1 выполняется очевпд­

ное неравенство

J ujm> J ;;3: l ,'Vт.

I Iз (91) с.1е.:~ует (89). ~'твержден·ия 1),

2) доказаны.

Д.1я доказательства третьего

утверждения теоремы

зю1ет11.:-.1, что х* удов.'Iетворяет уравнению

(х, и1) = 0

l'vl1 (D) (Ь, и1),

поэтому х* всегда имеет вид

х* =( y~I>,... , y~k-1),

L(y*),

y~k>,"., у~т-1) ),

где у* есть

подвектор

вектора

х* с исключенной

k-й

компонентой.

что y*=z*. Так как l 1(z) -

Покажем,

строго

вы­