Планирование и обработка эксперимента / Rakitskiy - Chislenniye metodi resheniya 1979

внутри пограничного слоя, продолжительность которого

опреде.rrяется экспонентой с показателем Л1, переменная

х<1> ведет себя заметно активнее, чем х<2>. Поэтому иног­ да x(l>(t) называют «быстрой» компонентой, а x<2>(t) - «медленной». После прохожденпя пограничного слоя прп t>r. пс производные вектора решения невелики п опре­

де.rrяются экспонентой с показателем /.2.

Вырожденная система получается, если пренебречь малым параметром в первом уравнении (8):

Прп этом решение уравнения (10) после 11ск.1юченпя .r'1>

ана.погично предыдущпм прпмера~'! описывает решение

(9) прп t>тпс· За 'tпс может быть пршrято значение 0,003-0,005, отвечающее у:1-1еньшенпю зпг.чения перв·:JЙ экспоненты бо.'Iсе чем в 20 раз.

Во всех трех рассмотренных примерах явно выд~.1я­

етс51 малый параметр прп пропзводной, что в случае СiIL'­ темы (fi) прrшсло 1с раз,::r.е.'Iеншо компонент векторэ ре­ шс1111я на «быстрые» п «мед.1енные». Такие уравнения

с явныч вхождением малого параметра называются снн­

гулярпо возму1цепнымн. Вопросы о возможности за:vrс11ы

исходной системы вырожденной, а также о постросшш

аспмптотического разложенпя решения спнгу.rrярно воз­

мущенной системы в виде ряда по степеням µ, описы­

вающего весь промежуто,к наблюдения, включая погра­

ничный слой, достаточно подробно изложены в [6].

Однако ситуация, представ.rrенная на рпс. 1, возни­

кает не то.11ько в сингу.rrярно возмущенных уравнениях.

Это ·:>.южно 11юказать на пpocro:v1 .примере JIИнейной

с;rсте.мы второго порядка

d~t(1) = -501х<1>+500 х<2>,

( 11)

d~t(2) = 500х<1>-501 х<2>,

решен11е которой имеет вид

x(I) (t)= 0,5 [x<I> (О)-х(2) (О)] е--1001 t +

+ 0,5 [x<1J (О)+ х<2> (О)] e-t.

(12)

х<21 (t) = -0,5 [x<I> (О)-х<2> (О)] е-1001 t +

+ 0,5 [х<1> (О)+ х<2> (О)] e-t.

В1с::.г:о, что показатет1 экспонент такпе же, как в сис­

то1е (8), ОJН~шо в от.1т1ч11е от снстемы (8) разделенпе

переменных на «быстрые» 11 <<:.\1сд.1енные» отсутствует и

обе компоненты ве1стора решенпя практичеокп равно­

пр<1зны

Фор:v1а.1ыю упрощая систему ( 11), мы должны в обо­ r1:.: ура~:тешrР.х пренебречь ма.пым параметром, что при­

водит J\ трпв11а.1ыrо:му ну.:1евому решению. Если же во­

преюr .10пше пренебреже;-.1 :-.-r:э..1ым параметром в одном

уравнешш с11сте:-1ы, напрш1ер, n первом, а по.'Iученную

а.1гебрапчес1Сую связь :-.1ежду хО> 11 х<2> подставим во вто­

рое уравнение, то прпходп:v~ к дпфференцпа.'!ьному урав­

не;шю первого порядка

1шй ( 11) вне пограничного слоя пз-за очень большой ошибкп в показателе экспоненты. :V\ежду тем, интеграль­

ные кривые спстемы ( 11) имеют впд кривых, изобра­ )1,енных ш:. рпс. 1, 11 анадоп1чно (1), (4), (8) вне по­

гранпчпого с.1оя могут быть описаны более простыми

уравнениямп.

Рассмотренные выше примеры иллюстрируют явле­

ние жесткости, смысл которого состоит в необходпмости

привлечения для полного описания процессов на любом

отрезке наблюдения двух видов функций: функций с

большими производнымп 11 функций с малыми произ­ воднымiI, причем функцшr с большими производными быстро убывают, так что б6.'1ьшую часть временп про­ текания процессов исследовате.'Iю доступны д.'IЯ наб.1ю­

дения лишь функции с ма,1ымп производными. Однако

в любой момент наблюдения снова возможно возю1кно­ вение быстрозатухающего процесса, описываемого функ­

циями с большими производными.

Обыкновенные дифференциальные уравнения, мо.:~:е­

.111рующпе процессы с ошrсапным nыше яв.1ен11е:~.1 жест­

кости, назnапы жест.rшмп [44].

Необходпмость выделения .:~:анного пша уравнений в

отдельный класс была вызвана трудностями их ч11с~ен­

ного шпегрирован11я класспческими методами, напри­

мер, явными методами типа Адамса или Рунге - Кутта.

Выяснплось, что малый шаг иптегрирован11я, используе­ мый для воспроизведения быстропротекающих процессов в погранпчном слое, не может быть увеш1чен и вне тю­

граничного слоя, хотя производные становятся сущ~ст­

венно меньше.

Даже незначительное преnышение некоторой ве,111-

чнны шага, опреде.1яе~юй данньв-1 методо:-.1 п решае~.1ы:-.1

уравненпем, приводrшо к резкому возрастанпю ( «взры­ ву») погрешности. В этом проявлялось протпворечне между достаточно бо.1ьшим шаго~1 rштерпо.'Iяцшr по.1у­

чеш-юго решен11я 11 допустю1ы:\1 шагом 11нтегрнроваш1я

жестких уравнений.

В [ 44] предложены новые чис,1енные :-.1етоды, .:.0:1:ус­

r<ающие значите.'Iыюе уве,1ичен11е шага интегрировг.ш1я

вне пограничного с.'IОЯ. Однаrю п в настоящее вре:v~я

проб.11ема численного решенпя жестких уравнений яв.1я­ ется актуальной.

Ра·сширение классав решаемых задач, глубана

их постанов1ки и обилие вычис.1Jяемых ·вариантов, сав­

шие воз·:v~ожными благодаря прю1енению ЭВМ, позво­

.'Iили устаноВ'ить, что явление жесткости в научных

исследованиях динамических моделей скорее правило,

че:-.1 исж.пючение. Поэтому интерес к :\Iетодам чис­

ленного решения жестких уравнений непрерывно растет

[59, 15].

ние, основанное на такой модели. Главной причиной

ошибки моде.11ирования здесь был выбор промежутка

наб.'Iюдения внутрп пограничного слоя сообразно со ско­

ростью изменения первого слагаемого в ( 14).

Однако установпв ошибочность модели п переходя к

большому промежутку наблюдения, допускают другую

;z:/'i(t)

1,0

0,8

0,6

Рис. 3.

ош11бку - переус.'Iожняют математическое описание про­

цесса. При этом, как праnп.110, приходят к некорректной

постановке задач.

Есл11 в таком простом пр11мере возникшие особенно­

сти .'Iегко учесть, то прп анатве более сложных систем,

описываемых жесткшш уравненпямп, вероятность подоб­ ных ошпбок возрастает. Выбор длительности промежут­ I{а наб:1юдения, со11змер11мой с д.'Iительностью погранич­ ного слоя, обуслоn.'Iен нс только изменением на нем на­

блюдаемых переменных, но п отводимым на исс.1едова­

ш1я временем, которое ограничивается реальными воз­

можностямп. Для жестких спстем противоречие между

:via.11ыl\1 шперва.'IОМ времени, отводимым на исследова­

ния, п желанпем прогнозпровать п управлять объектом на бо.'Iьшом интервале проявляется особенно резко.

Это можно заметпть пе то.'Iько на примерах различ-

1юго рода тех1111чес1шх объектов п систем, но и в таких об.1астях, 1<ак медпцшrа, экономпка, экология, социоло­

п1я 11 т. п.

В заключенпе отметпм, что существуют не менее важные «скрытые» формы прояв.11ения жестrкости. На­

пример, бо.1ьшой класс гладrшх оппrмизационпых конеч­

номерных задач J(x)-+min, xERn, лишь с трудом под­

дается решению традиционными методами из-за так на­

зываемого «Овражного» рельефа поверхностей уровня

J(x)=const. Изучение подобного явления показало, что

эти трудности связаны с жесткостью систем дифферен­ циальных уравнений, описывающих траекторию наиско­

рейшего спуска

.!!!_= -J' (х)

11 поэтому естественно строить овражно-ориентирован­

ные а.z<:оритмы опт11мизации с учетом этого факта.

Да.11ее будут рассмотрены возможные подходы J{ соз­ даншо подобных алгоритмов, основанных на применении эффектпвных процедур дискретизации (чис.1енного нн­ тегрпрования) жестких систем обыкновенных дифферен-·

ц11алыrых уравнений.

§ В.2. Формальное определение

Рассмотрим формальное определение жестких

спсте~1 обыкновенных дифференц11а,1ьных уравнений

BJIJ,a

решен:rя которых отображают явление жесткости, а таr{­

же основные моменты, которые должны быть отражены

в этом определешш.

Ана.1из яв.1енпя жесткости, проведенный выше на

Пf'I1:-.1epax, содержит ряд 11еопределенностей. Что такое

«бо:1ьш11е 11 малые про11зводные»? Каким должно быть

соотношенне между пропзвод11ыми внутрп и вне погра­

н11ч1юго слоя, чтобы можно было судить о наличии жест-

1юсти? Ответ на эп1 вопросы не однозначен и опредедя­ ется конкретной задачей. Имеется полная аналогня, на­

пример, со спектральным числом обусловленности мат­

рипы А:

где 'iч - собственные ч11с.1а матрицы.

Обычно говорят о плохой обус:юв.1енности матрицы

А, если k(A)~l. Однако в ~каждом конкретном случае

разные величины k(A) могут считаться бо:1ьшими.

В предлагаемом ниже определении также прпходптся

мприться с такого рода неопреде.'Iенностью.•1\1.алая про­

должиrе.'!ьность пограничного слоя по сравнению с по.1-

ным отрезком наблюдения задается неравенством

азначения производных вне пограничного слоя по.'Iага­

ются м.:ньшими, чем значения внутри него, в N раз, где

N~">l.

Линеарпзацпя правой части системы (15) в окрест­

ности начальной точки Хо

позво.1яет убедиться в том, что для вознпкновения бо.1ь­

ших производных внутрп пограничного слоя матрица

Якоби системы (15) должна иметь большие по модулю собственные числа. Производные компонент вектора

x(t)= (x(l>(t), x<2>(t), ... , х<т>(t))Т при t<tо+тпс могут

достигать величин порядка

матрицы Якоби (спектральный радиус), 11·11 - принятая

норма матрицы. Поэтому вне пограничного слоя потре­ буем, чтобы значения производных были меньше в N

раз.

Важно отметить, что принадлежность системы диф­ ференциальных уравнений (15) к жес11ким на промежут­ ке [а, Ь] предполагает проявление характерных свойств

жесткости на любом отрезке [ to, io+ Т] внутри [а, Ь].

Это, в первую очередь, указывает на потенциальную

возможность возникновения пограничного слоя, какую

бы точку t0 e:[a, Ь] мы ни выбрали за начальную. По-

ненне

мы часто нач11нают прояв.1ять свойства жесткости прн неогранпченн,:щ уве.1вчен1111 ,:~дпны 111перва.1а наб.11юде­