100 |
Гл. 2. Систе111ные методы |
где
дК (~~ to) = д~~) К(t, t0), К(t0 , f0)
Используя свойства матрицы К:оши, имеем
dx (tn + -r) |
= К (t |
+'t' |
t |
) dx Uп) . |
(73) |
d-r |
п |
' |
п |
dt |
|
Интегрируя (73), получаем
Поэтому, если на шаге диокретности выполняется
оценка
Hn |
Hn |
|
\ |
К(tп+т, tп)dт- \ ехр(Апт)d~- ~в, |
(75) |
оо
где е -·достаточно малое число, а 11·11 обозначает при
нятую норму матрицы, то метод (66) будет обладать вы сокой точностью при решении (69). Отсюда следует, что матрица Ап может быть выбрана как матрица Якоби
при некотором значении i- на данном шаге дискретности.
К:ак правшю, 'tпо.1агается равным нулю.
Поскольку матрица Ап выбирается как матрица Яко би системы дифференциальных уравнений, метод (66) назван системным методом ломаных. Составим уравне
ние погрешности приближенных решений системы (57) методом (66). Будем считать, что приближенные реше ния прпнадлежат области существования точных реше
ний (57) Gc.G. Обозначим
Вп = е (tn) == Х (fп)-z (fп)= Хп-Zп.
Применяя лемму Адамара [ 19]
f<tn• Хп)- |
f(t |
n• |
Zn |
) |
= |
\1-'--'----1'- |
dp(Xп-Zn, |
· |
|
|
|
rдf (tn. |
х) |
) |
|
|
|
|
|
|
О |
дх |
x=zn+P ( хп-zп) |
|
(76)
02 |
|
|
|
Гл. 2. Системные методы |
|
|
|
нормы матриц [4] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 ехр (АпНп) 11 ~ ехр (RпНп), |
|
|
|
|
|
Нп |
|
Нп |
|
|
|
|
|
|
|
Jexp(Anт)dт |
~ Jexp(Rnт)dт, |
|
(81) |
|
|
|
о |
|
о |
|
|
|
|
|
Нп |
"t" |
|
|
Нп "t" |
|
|
|
|
|
J Jехр (Ап ri) d tJ d т |
~ J Jехр (Rпri) d "YJ d т. |
|
о |
о |
|
|
о о |
|
|
|
|
|
Для частного |
решения системы |
(57) введем |
числа |
ап, |
~п. '\'п. |
бп, |
оценивающие нормы |
матриц и |
векторов |
|
|
11 |
jдf(tп.;;п+РЕп)d р-Ап11 |
~ап, |
|
|
|
|
11 дf(tп+т~:(tn +т))-Ап11 |
~~n> |
|
|
il |
f (tn + Т, Х(tп+ т)) 11 ~l'n• |
11 дf (tп+ т·д;(tn + т)) |
11 |
~ бп, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(82) |
|
Учитывая, что |
|
dx + дf (t, х) |
|
|
|
|
d2x (t) |
= дf (t, х) |
|
(83) |
|
|
|
dt2 |
дх |
dt |
дt |
|
|
|
|
|
|
получаеl\1 оцеЕку |
|
|
|
|
|
|
11 •.+1 1[.;; [ехр(R.H.) + J"•xp (R. т)dт"•] 11 •• 11 |
+ |
|
нп
+J .\ехр(Rпr~)dr~dтфпУп+бп). (84)
оо"t"
Расс:vютрю1 частные случаи. Для Rп=О имее-:-.1 оценку
JJ вп+i I\ ~ (1 +апНп) i! |
н2 |
|
8п il +f (~п'\'п +бп)· |
(85) |
По форму.пе (85) можно |
оценивать 11 случай |
О~ |
~-Rп~ап, сч11тая R 11 =0.
Для -Rп?:=:ап справедлива следующая формула:
P.xp(Rr.Н11)+(t>xp(RпHп)-l)~ ~ 1, |
(86) |
§ 2.2. Матричные разложения и системные t.tетоды |
103 |
и поэтому имеем оценку |
|
|
11eп+11i~JlenJJ+ exp(RnHп);;l-RnHn |
ФпУп+1'>п). |
(87) |
|
п |
|
|
Для с.1учаев Rn-;;;з:ап |
или ап-;;;з:~п-;;;з:О |
целесообразно |
пользозаться оценкой |
(84). |
|
|
В рассмотренных оценках не учитываются погрешно-
сп1 вычисления матричного параметра
Нп
.f ехр (Ап т) d т,
о
вычисляемого по формулам предыдущего параграфа, од нако даже эти очень грубые оценки убеждают в значи
те.11ьном преимуществе системного метода (66) при ре
шешш жестких уравнений по сравнению с методом лома
ных Эй.1ера.
Рассмотрим прпмер. Пусть система (В.11) решается методом (66), но вместо ее матрицы Якоби в методе (66) применяется грубое приближение
Имеем Rn=R=-5, f3=a=4, ')'= 1. Тогда, исполь зуя д.r~я оценки погрешности формулу (87), на первом
шаге пмеем
11 Е1 11 ~ 11 "о 11 + ехр ( - 5Но) - 1+5Но 4.
25
При Но=О,1, lleoll=0,01 1по.11учается lle1ll<O,OЗ.
Перейдем к построению неявного системного метода
Jiоманых. Выберем в формуле (64)
нп |
|
Сп=- Jехр(-Апт)dт. |
(88) |
о
Пренебрегая правой частью (64) при условии (88),
получаем
нп |
Zn+I -Zп- |
sехр ( -Ап т) d Тf ( tn+I' Zn+i) = 0. (89) |
о |
Однако в виде |
(89) неявный метод испо.r1ьзован быть |
не :.-.10ж~т. так как для жестких систем не удается вы-
104 |
Гл. 2. Системные методы |
числить его матричный параметр. Поэтому формулу (89) приводят к ино:11у виду [ 17]. У·множи:м формулу (89)
на ехр (AnHn), добаВIИМ и вычт·ем разность Zn+ 1-Zn. Тог
да ·по.11учаем
Zn+1 -Zп-[exp (АпНп)-Е] ( Zn+I- Zп)
Нп
-\' ехр(АпНп-Ап т) dт iп+I =О.
о
Используя формулу ( 15), имеем
Нп
Zп+1-Zп- sехр (Апт) dт Сtп+1-Ап ( Zn+1-Zn)} =о.
о
(90)
Формулу (90) можно преобразовать к виду, удобному
для применения совместно с явным методом (66):
Hn
zn+I -Zп- .\ ехр (Ап т) d Тf (tn, Zn)- o
Нп
- Sexp(A11 1)dт[f ( tn+I' Zп+i)-·
о
-f(t11,Zп)-Aп(Zn+l-Zп)]=O. (91)
Д.1я решения нешшейных уравнений в (91) достаточ
но способа простой итерации. Начальным прибш1жени
ем в э1ом случае яв.11яется ве1пор, найденный методом (66). Ана.1111з погрешности методов (66) и (91) показал, что почти всюду погрешность (66) противопо.пожна по
знаку погрешности (91) и пропорциональна во многих
с.1учаях, по 1<райней мере вне пограничного с1юя, вели
ч1111е шага дискретности. Поэтому, во-первых, д.1я про
вер1ш точности можно использовать полярность погреш
ности или правило Рунге, п, во-вторых, можно построить
бо.11ее точные, чем (66) или (91), методы.
Действительно, пусть вычислен с шагом Нn |
вектор |
Z(t" +Нп) по методу (66): |
|
Нп |
|
Z(tn + H,i) =-= Z (tп) + Jехр (Ап т) d тf (tт z (tп)), |
(92) |
§ 2.2. Матричные разложения и системные методы |
105 |
где z(t11) предполагается вычисленньrм |
достаточно |
точно. |
|
|
Можем найти z(tп+Нп), применяя метод (66) |
с ша |
гом Н11/2 два раза подряд, |
|
|
Нп/2 |
|
|
Чtп+~п)= Z (t11 ) + Jехр(Апт)d 't' f (tn, |
Z (t11)), |
|
о
z(t11 +Hп)=
= '; (tп+~n)+ ~(2ехр(Апт)d 't' f ( fп+~п • ~(tп+ ~п)),
о |
|
|
|
011куда определяем |
|
|
~(tп+ Н11) = Z (/11) + |
11 |
fп+ |
|
НJ/2ехр (Апт)d т [ |
|
+t(t.+н;, z.+ "J'exp(A.<)dтt.)]. |
(93) |
Предполагая, что погрешность в (93) примерно вдвое |
меньше, чем в (36), имеем вектор |
|
|
z (tn + нп)= 2z (tп + HпL-z (tп + Нп) |
(94) |
с меньшей погрешностью, чем z(tп+Нп) и Z(tп+Hn).
Подстав.'Iяя в (94) формулы (93) и (92) и учитывая ра-
венства
Н11 |
Н11/2 |
Jехр(An т)dт= |
J ехр(А11т)dт[Е+ехр(А11 ~п)] , |
оо
Н11/2
ехр( А11 ~п) = Е+ J ехр(A 1i т)d т,
о
получае:\1 новую разностную схему
Z(tn+Hп)=
-·~(1.) +8{'ехр(А.т)d т[ 2f (1.+~· , z (t.)+
106 |
Гл. 2. Систе.чные .четоды |
Нетрудно проверить, что метод (95) является точным при решении уравнений (67). В случае An =О он вырож дается ·в •:-.1етод типа Рунге-Кутта -второй степени. По этому метод (95) называется системным методом вто рой степени [23].
Использование численных методов с матричными ко
эффициентами в виде экспоненциалов и интегралов эк
споненцнала матрицы An, выбираемой близкой по всем элементам к матрице Якоби системы (57) на шаге дис кретности Нп, позволяет ввести класс системных мето дов. Они вырождаются при An=O в известные класси
ческие методы соответствующей степени. Для систем
ных методов обязательно выпоJIНяются условия [23):
1) системный метод v-й степени должен быть точ ным при интегрировании алгебраических пол~шомов
(v-1)-й степени, если An=O;
2) системный метод любой степени должен быть точ
ным при решении уравненпй (67).
Один из методов этого класса выводится следующим
способом. Интегрируем тождество (65) v-1 раз так, что
при этом дифференцируется выражение
|
[ |
d2x (р) -А dx (р)] |
|
d р2 |
п d р P=tn+l-'t' |
|
|
иприходим к следующему матричному разложению,
обобщающему формулу Тейлора:
х( iп+i)-x(t")- |
Нп |
|
|
|
|
|
dx (tп) |
|
|
|
|
\ |
ехр(Апт)dт-dt- |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н |
(А |
|
|
|
|
|
|
[ d2x (tп) |
|
А |
dx (tп) ] |
|
rп'tr |
п т1 |
) d |
т1 |
d |
т2 |
- |
- |
1 1ехр |
|
|
|
dt2 |
|
п -- |
"" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
о о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 2.2. Матричные разложения и системные методы |
107 |
|
't1 |
|
|
. d Т [ |
QJ х (tп) |
|
|
|
·Jехр (An т1) d т1 |
- |
|
|
v |
dt" |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
d"-1 Х (tп) |
Нп 't |
'tv |
't, |
|
|
|
-А'} |
] = S JS |
.Jехр(An т1) dт1 |
|
dtv-1 |
|
|
|
о о |
о |
о |
|
|
|
|
.. .d тv[ |
dv+I х (р) |
-An QJ х(р) |
] |
d т. |
(96) |
|
|
d pv+I |
|
d р" |
р=tп+Г't |
|
Очевидно, формула Тейлора получается из (96), если положить An =О.
Пренебрегая правой частью (96), получаем формулу
системного метода v-й степени, которую можно запи
сать, пспользуя равенство
·Jехр(An т1)d т1 · · · d т11.=
о
(97)
Нетрудно проверить, записав решение уравнения
dx (tп+ -r) |
_ А |
) |
\.:;-1 |
,11. |
(99) |
d |
- |
nX (tn +Т + |
,t... |
k! gkn• О -<: Т::;;;; Нn• |
't" |
|
|
k=O |
|
|
где Ап и g11.п |
не зависят от т, с помощью экспоненциала |
1\fатр1щы An, |
что |
метод (98) |
дает точное решение |
(99). |
Следовательно, он является системным методом степе
108 |
Гл. 2. Системные методы |
Отметим, что по определению системных методов
они должны быть точными для уравнения (99) лишь
при v=l. Поэтому метод (98) обладает большими воз
можностями.
Часто метод (98) применяется при v=2 в виде
н |
п |
(дf |
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
Zn+I -Zп- sехр |
д; 't' d 't' fп- |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нп 't |
|
|
|
|
|
|
- J Jехр(дfп rr) |
drr dт дfп = |
О, (100) |
|
|
о |
о |
дz |
|
дt |
|
|
|
дfп = |
дf (tп, Zп) |
дfп _ |
дf (tп. |
Z11) |
|
|
дz |
дz |
·дt- |
дt |
|
Матричные параметры метода (100) вычисляются по формулам предыдущего параграфа. Частная производ ная дfп/дt иногда реализуется в виде разделенной раз
ности
§ 2.3. Приближенное решение систем разностных уравнений
Пусть точка за точкой вычисляется решение
системы
zп+i=zп+Q(zп)=z11 +Q11, Znlп=o=Zo, ZnERm, (101)
где вектор-функция Q(zn), определенная в замкнутой выпуклой по z области D, непрерывна и имеет непрерыв
ные частные производные по всем координатам вектора
Zn первого порядка.
Несмотря на то, что часто вектор Zn изменяется
весьма медленно, мы вынуждены вычислять Zn при всех
п подряд. Целесообразно построить на основе (101)
приближенные разностные уравнения, дающие решение
через каждые 2N точек (N - целое число) и пропуска ющие все промежуточные. Идея построения подобных
уравнений аналогична идее построения системных ме·
|
§ 2.3. Решение систем разностных уравнений |
109 |
Запишем (101) |
в суммарной форме вида |
|
|
|
2N-I |
|
|
z N |
=z N + ~ Q N |
' s= О, l, 2, |
|
2 (s+I> |
2 s |
k=O 2 |
(s+l)-k-1 |
|
|
|
|
|
(102) |
Введем неособенную квадратную матрицу т-го по~
рядка 'Фs,k, элементы которой суть функции чисел s и k,
и запишем (102) в виде
Используя формулу Абеля суммирования по частям,
получаем тождество
|
|
|
|
2N-1 |
|
Q = |
|
|
Z |
- z - |
|
~ 1p-I ф |
|
|
2N (s+I> |
2Ns |
|
k~O 5 ' |
k |
s, 2:V-1 2Ns |
|
|
2N-2 k |
|
|
|
|
|
|
|
= '1 ~'Ф-1 |
г |
[-'Ф |
k+I |
Q |
+'Ф Q |
] |
"1. |
~ |
s, |
s, |
2N(s+l)-k-2 |
s, lt 2N(s+l)-k-I |
|
k=O r=O
(104)
Если матрица 'Фs,k подобрана так, чтобы правой ча стыо (104) можно бьто пренебречь, получаем после ее отбрасывания новые разностные уравнения. Пусть 'Фs,k выбраны в виде k-й степени квадратной матрицы
'Ф |
= Bk = В ·В · · ·В |
(105) |
s,k |
s -~~' |
|
k
где Bs не зависит от k. В этом случае равенство (104)
принимает вид
