Планирование и обработка эксперимента / Rakitskiy - Chislenniye metodi resheniya 1979

выполняется неравенство [36]:

11v 111 ~ vт11v11=Vтлv.

Так как, очевпдно, .\п~ llDIJ1, то

Эти неравенства показывают, что:

1) на.111чпе бо.1ьшпх по модулю собственных чисе.11

приводит к на.111чпю больших по мо.:~:у.1ю эле:ментов

матрицы;

2)на.111чпе бо.1ьшпх э.11ементов прп заданной отно­

сительной ошпбке б пх представления прпво:щт к бо.1ь­

шим по :v~одулю э.1ементам матрицы ошпбок П=.D-D,

где .D - приближенно заданная матрица D;

3)на.111чпе бо.1ьшпх э.11ементов в П в.1ечет на.111чие

больших по ..\о!оду.1ю собственных чисе.1 у П (матрица П считается сю1·~1етр·ичной, так как ~при работе с с1н1::-.1ет­

ричнымп :11атрицюш вычпсляется .11ишь верхняя треу­ гольная часть матрпцы, а элементы по.:~: дпагона.1ью

по.11агаются равны:v~и соответствующим э.1е::v1ента~м над

диагона.~ью).

Сог.1асно известно:-.1у результату теорпп симметрпч­

чину, .11ежащую меж.:~:у наименьшим и на11бо.1ьшим соб­

ственным чис.1ом П.

Легко привестп прпмер, когда миюша.1ьное собст­

венное чис.110 матрицы D изменяется прп этом весьма сильно. Рассмотрим матрицу

и диагона.11ьную матрицу ошибок

П=(~ ~).

Матрица D имеет спектр:

Л1 (D)= 2L-в ~ 2L,

Л2 (D)= в.

му использовать ньютоновскую технику второго поряд­

ка, сводя ее к некоторой многоэтапной процедуре пр11нятия решений. На первых этапах определяются .11пней­

ные 'связи :vreж..:i.y КО\11понента'\1И x*(i)• ·коэффициенты ко­ торых мало зависят от погрешностей задания D 11 Ь.

Затем с помощью найденных связей исключаются не1ю­

торые КО\шоненты вектора х, и задача '\Шни:vr;изации ис­

ходного функционала сводится к аналогичной задаче

для нового функционала, заданного в некотором под­

пространстве исходного пространства Rm. В результате от системы (42) переходим к решенпю т1нейной сп-

стемы

относительно некоторого подвектора 5 вектора х. Си­ стема (47) по построению оказывается эквпва.11ентной заданной с точностью до использованных уравнен11й

связи.

Основным в таком подходе является, во-первых, то, что матрица В пр11 надлежащем построеюш алгоритма

исключения оказывается уже хорошо обуслов.'lенной 11

вектор 5* может быть вычис.11ен относптельно точно.

Во-вторых, э.11ементы матрицы В и вектора d допуска­

1-юстных аппроксимаций пропзводных вдоль составляю­

х* утеряна п восстановить ее можно .'!пшь при повтор­

ных вычислениях J(x) в специа.'lьно выбранных с уче­

том найденных связей точках {х;}.

Указанная идея носит название принципа повтор­

ных измерений [24, 25].

Проиллюстрируем рассматриваемый подход на при­ мере решения задачи минимизацип для (m-1)-овраж­ ного фун'кционала (41), !ПО.1агая, что собственные числа

При этом будем рассматривать общий случай, не пред­ по.~агая положительной определенности матрицы D.

Поставим задачу построения по овражному квадра­ тпчному функционалу (41) нового квадратичного функ­

ционала, в некотором смысле эквива.1ентного заданно­

му, но матрица Гессе которого уже не имеет такого

различия в модулях собственных чисел.

Представим решение уравнения линии наискорей­ шего спуска для (41)

тт

Рис. 16 иллюстрирует поведение траектории х (t),

обоз·наченной пункт1ирной линией, в двумерном с.пучае

выпукJiого квадратичного функциона.1а ! (х). Э.ыипсы

являются линиями уровня ! (х) = const, а прямая АВ

есть график линейной зависимости (51), на которую

при t>-тпс -выходит траектория x(t). При это.\I

AB_l_ui. Из рисунка ясно,

что ю·1есто исходной зада- чн :-.южно бы.10 бы решать задачу одно.\1ерной .\ШНИ­ Ш!Зацш! в;:юль прююй АВ. В обще:-.! с.:1учае также приходю1 к новой уже

овражности), так как при минимизации нового функ­

цаона.1а в подпространстве, ортогональном вектору и~,

.\о:шюненту x<iJ вектора х, которой соответствует :-.1акси-

~ Ю. В. Рак11тск11!1 и др.