Планирование и обработка эксперимента / Rakitskiy - Chislenniye metodi resheniya 1979
.pdf§ 2.1. Численное реиtение линейных систем |
91 |
Таким образом, при рекуррентном вычислении |
Фs, 2 |
по формуле |
|
Фн1, 2= Фk.2 (Е +Фk,о) + 2k h Фk,1 |
(41)· |
параллельно должны вычисляться Фх, о и ФN, 1 по фор |
|
:-.1улам (8) и (13) соответственно. |
|
Метод математической индукции с испо.1ьзован11ем |
|
(33) |
позво.r1яет по.'lучпть рекуррентные соотношения .:~.1я |
|||||||||
определения Фs, v+1, |
1юторые имеют вид |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
"1 Aa(?kh)a |
+ А |
Y+I |
Фk, у+1 |
) |
+ |
||
Фk+I. у+! = Фk, у+1 (2 ~о |
а~ |
|
|
|||||||
·1 |
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+Е |
(2k h )В Е (2k h)'l'+l-a АВ--а ' |
k=O,"., N-1. |
(42} |
|||||||
(3=1 |
~! |
<v+I-a)f |
|
|
|
|
|
|
|
|
а=! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По_~.черкнем, |
что |
при |
практическом |
вычислении |
||||||
Ф.v, ,. +1, целесообразно в форму.1ах (42) исключить мат
рицу А и ее степени и вычислять систему матриц Ф:\Т, о,
Ф.v, 1, . • . , Фs. у+1 одновременно. |
Для |
вычисления на |
||
чг..~ьных матр1щ Фо.v +1, |
можно |
воспользоваться |
суммой |
|
е |
_ |
|
|
|
t1 нv+i+a Аа |
е = 1, 2,"., |
(43} |
||
~ <v+ 1+а)! = |
Фо. у+1. |
|||
а=О |
|
|
|
|
причем ДJ1Я жесткой однородной системы, соответствую |
||||
щей (25), величина h выбирается по |
формуле |
(23), в |
||
противном случае - по фор;1,1у.'lе |
(24). |
Заметим, |
что прп |
|
наблюденип процессов в |
пограннчном |
слое и в жеспюй |
||
системе (25) необходимо выб11рать шаг h по формуле
(24).
Другой возi\1ожный nарпант аппрокспмацпи g(t) co- "TOJJТ r3 построешш такой линейной системы
d:;t) = Ри (t) +с, и (О) = U0 и (f)ER:"'',
что
g (t) = Dи (t) +Ь +r (g (t)),
где r(g(t)) - остаточный член аппроксимаци11; D - пря моугот_,ная матрица тпХт1. В этом случае, пренебрегая
§ 2.1. Численное решение линейных систем |
95 |
Для иллюстрацип приведем таб.щцу :-.1аксима.'1ьных
зна.чений погрешности
Л(t)=ех |
Р |
(-t)- 1+(2a-l)t |
|
(1 +at)2 |
:rз иос.1едовательных учас11ках
а) О :s:;;;; t :s:;;;; 1,
б) 1 :s:;;;; t :s:;;;; 2,
в) 2 :s:;;;; t :s:;;;; 5,
Г) 5 :s:;;;; f :s:;;;; 15,
д) 15 :s:;;;; t
з зависимостп от значений а с указанпе:-.1 величины t,
при которой достигается mахЛ(t) (таб.1. 1).
|
|
|
|
|
Таблица 1 |
ct=0,250 |
0,048 |
О, 135 |
0,303 |
0,333 |
0,280 |
|
t=l ,00 |
/=2,00 |
/=5,0 |
t=7,9 |
t=l6 |
:х=О,293 |
0,017 |
0,067 |
О, 183 |
0,207 |
О, 174 |
|
t=l ,00 |
i=2,00 |
/=5,О |
/=8,2 |
t=l6 |
:х=О,317 |
0,002 |
0,035 |
О, 131 |
О, 155 |
0,132 |
|
t=l ,00 |
_/=2,00 |
t=5,0 |
i=8.5 |
/=16 |
-:t=0,318 |
-0,002 |
0,034 |
О, 129 |
0,153 |
О, 130 |
|
t=0,54 |
/=2,00 |
/=5,0 |
/=8,5 |
t=16 |
о:=О,333 |
-0,008 |
0,016 |
о' 101 |
0.126 |
О, 109 |
|
i=0,82 |
t=2,00 |
t=5,0 |
t=8,9 |
1=16 |
ct=0,341 |
-0,013 |
-0,013 |
0,082 |
О, 108 |
0,094 |
|
t=l ,00 |
t=l ,00 |
i=5,0 |
i=9,3 |
1=16 |
ct=0,394 |
-0,038 |
-0,047 |
-0,044 |
0,047 |
0,045 |
|
t=I ,00 |
t=l ,65 |
t=2' 10 |
t=l2 |
t=l6 |
ct=0,449 |
-0,060 |
-0,086 |
-0,086 |
-0,038 |
0,011 |
|
i=l ,00 |
i=2,00 |
t="'2,0 |
i=5, 1 |
/=22 |
1
Можно отказаться от решения минимаксной задачи
п повысить точность при О:::;;;; t:::;;;; 1 с некоторым увеличе
нием погрешности при t;;;:.2. Например, 'выберем а= = 1/3 ~ 0,333. Величина погрешности по участкам при ведена в табл. 1. Оказывается, что значение параметра а= 1/3 в разностном уравнении (54) эквивалентно нс-
98 |
Гл. 2. Систе.мные методы |
В формуле (62) произвольная матрица Сп не зави
спт от 'l'J.
Определенный выбор матриц fРп (т) и Сп приводит к
различным, в том числе и рассмотренным ранее, форму
лам. Та.к, в с.лучае ЧJ11 (т) =Е равенство (62) принимает
вид |
|
|
dx ( t11 +1) |
|
x(t11 +1)-x(t11 )-(H11 |
dx (tп! |
|
_ |
|
E+C11 ) -d--+Сп |
dt |
- |
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
d 1:, |
(63) |
из которого при пренебрежении |
интегралом в |
правой |
||
части (63) следуют: при Сп=О - метод ломаных Эйле ра (1.4), при Сп=-Н,1Е - неявный метод .rюманых
(1.5), при С11=-НпЕ- метод трапеций (1.6).
2
Продолжая интегрирование по частям формулы (62)
и вводя при этом матрицы, аналогичные fРп(т) и Сп, по
лучим достаточно сложные обобщения формулы Тейло
ра, которые можно назвать матричнымп разложенпями.
Выберем fPn (т) в виде экспоненциала ехр (Апт). Тог
да форму.11а (62) преобразуется в с.r~едующее равенство:
х(1.+1)-х(t,)-П'ехр(А.Н.-А.т)dт+с.ехр,(А.Н.)]х
dx (tп) |
dx ( t11 +1) |
__ нSп [Sт |
ехр(Ап т-А11 ч)dri+ |
|
х dГ+Сп |
dJ |
-- |
|
|
|
|
о |
о |
|
+С11ехр(А11•)] |
[d2x (р)-Ап |
dx (р)1 |
|
|
d т. (64) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d р2 |
|
|
d р |
..P=ln+l-т |
|
|
|||
Пусть С11=0. Тождество |
(64) |
упрощается и |
может |
|||||||||||||||
быть записано в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
Нп |
|
|
|
dx |
(tп) |
|
|
|
|
|
|
||
х ( 111+1)-Х (tт1 |
)- |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
J |
ехр (Ап т) d т dt = |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нп т |
Е'Х |
|
(А |
|
|
) d |
|
[d2x (р) |
-А |
11 |
dx (р)] |
|
|
|
d |
(65) |
||
|
р |
п11 |
11 |
=t |
|
-т |
||||||||||||
55 |
|
|
|
dp2 |
|
dp |
р |
п+I |
|
1:. |
||||||||
О О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
§ 2.2. Матричные разложения и системные ,}tетоды |
99 |
Если пренебречь правой частью (65), имеем |
явный |
метод численного интегрирования [23] |
|
Нп |
|
Zn+I -Zn - sехр (An т) d Тf (tn, Zn) = 0, Zn = Z (tn)· |
(66) |
о |
|
Покажем, что если матричный коэффициент метода (66) вычислен точно, то метод (66) дает точное решение
уравнения
dx(tп+•) |
=Anx(tn+•)+bn, |
О..;;;;;т..;;;;;Нп, |
(67) |
|
dт |
|
|
|
|
прн т=Н11• |
Для этого подставим правую часть |
(67) в |
||
(66). Имеем па основании (15) |
|
|
||
|
нп |
ехр (An т) d т(А11zп +bn) =с= |
|
|
Zn+I -Zn - |
\' |
|
||
|
о |
|
|
|
|
|
Нп |
|
|
= zn+I -ехр (АпНn) Z11 - \ 0 |
ехр (А11 т) d ТЬ11= О. (68) |
|||
о
Сра·внивая (68).·и (67), убеждаеыся в их совпа.:~.еяии. N\.етод (66) при Ап=О превращается в метод лома ных Эй.1ера (1.4), обеспечивающий точное решение при
пнтегрнрованни постоянных на шаге дискретности век
торов. Такпм образом, метод (66), помимо шага дискрет ност11 Н11, имеет матр11чный параметр Ап, выбирая кото
рый, можно добиваться повышения точности или увеJ111-
чен11я шага двскретностп Н". Обратпмся к вопросу вы
бора А 11• Пусть система (57) является автономной:
dx -= f (х) |
х(to) = Хо. |
(69) |
|||
dt |
' |
|
|
|
|
Рассмотрим ее уравнение в варпациях |
|
||||
d2x (t) |
=-о дf (х) |
dx (t) |
|
(70) |
|
dt 2 |
|
дх |
dt |
|
|
|
|
|
|||
Систему (69) можно трактовать как уравнение |
для |
||||
dx(t)/dt на решениях x(t) =x(t, fo, |
Хо) н записать dx/dt |
||||
с помошью матрицы Коши |
|
|
|
|
|
~; =" К(t, |
fo) dx ~о) |
' |
(71) |
||