Добавил:

vv_sokol Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Академия Государственной противопожарной службы МЧС России

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Планирование и обработка эксперимента / Rakitskiy - Chislenniye metodi resheniya 1979

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.05.2017

Размер:

6.71 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2112 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

110		Гл. 2. Системные методы
При	выводе	формулы			(106)	учитывается очевидное
равенство
		l-1			l-1
		~ в1-k-1 = ~ Bk
		,,.,,_	s		,,,;;:..	s·
		k=O			k=O
Если Bs выбрана так, что можно пренебречь правой
частью	( 106), получаем			разностную систему			[23]
					2N-I
	У N	= У N			+ ~ в: Q (У N ) ,		( 107)
	2·	(s+I)	2	s	k=O	2 s

аппроксимирующую (101). Через у2м5 обозначен вектор

прибдиженного решения.

Составим уравнение погрешности (107), предполагая,

что у 2N /=D. Обозначим в2N5 =Z2N5-Y2м5 и применим

лемму Адамара. Вычитая из (106) формулу (107), по

лучим уравнение

	2N-1	1 дQ ( У N +ре N )						]	+
8 N	= [ Е+ ~в: \		2 s			2 s d	р в N		+
2 (s+I)	k=O	О		ду				2	s
	2N-2 k								l·
	+ ~ ~В~ [Q N		(s+l)-k-1		-B5Q N				l·
	k=~ r=O	_ 2	(s+l)-k-1			2		(s+l)-k-2
Из	(108) следует, что если yo=zo, то при
		дQ N
		Е ..L -	2	5
		Е ..L -	ду	- =В		s
		1	ду			s

(108)

(109)

ф01р:.1ул·а (107) дает точное решение. Дейсmительно, в

этом случае имеем

Q N	-BsQ N		= (Bs-E)z N		+ds-
2 (s+l)-k-1	2 (s+l)-k-2		2 (s+l)-k-1
		-В5 [(B5 -E)z N			+dsJ=O
			2 (s+IJ-k-2
и
	N		N
	2	-1	N	.
	Е+	~в: (В5-Е)= в;		.	(110)

k=O

§ 2.3. Решение систем разностных уравнений

111

В общем случае обеспечить точное равенство ( l 09)

невозможно, и матрица Bs выбирается близкой по всем

элементам к матрице Е +дQ2N5/ду.

Если погрешность приближения ( l 07) уменьшается с уменьшением N пропорционально 2N (при достаточно

больших N), то можно получить формулу более точ ную, чем ( l 07) :

иN	=иN +2N~l-lв:[	2Q (и N +2N~-lв:Q (их))-
2 <s+1)	2 s ;:0	2 s k=O	2' s

-(B5-E)2N~-lB~Q(uN )] . (lll)

k=O

2 s

Уравнения (l l l) построены по методике, использую

щей идею Рунге и примененной для построения систем

ного :\1етода второй стеленп. Вектор и2N5 является более

точной аппроксимацией Z 2N 5 , чем y 2 N 5	•
При использовании формул ( l 07)	и ( l l l)	необходи
мо вычисление суммы степеней квадратной		матрицы.

Здесь может быть использован алгоритм, аналогичный

:\1етоду вычисления интеграла экспоненциала квадрат

ной 1:-.tатрицы. Обозначюt

		21-1
	е1 '-~ ~в~.		(112)
		k=O	eN можно
Покажем, что для вычисления матрицы			eN можно
использовать рекуррентные соотношения
0 1+1 = 8 1 [2Е +(B8 -E)01J,		01 = E+Bs,
		l= 1, 2, ... , N-1. (113)
Действительно,	домножим ( 113) слева на матрицу
Bs-E и прибавим	в обе	части равенства	единичную
матрицу. Формула (113) преобразуется к виду
Е+(В5 -Е)01+1 =(Е+(В5-Е)<Э~)2, l= l,.			N-l.
			(114)
Используя (112) и	(110),	видим, что (114)	есть тож

дество при 01 =Е +в•.

112

Гл.

Системные

методы

Приведем примеры	применения
Пусть жесткая автономная система

формулы	(107).
дифференциальных

уравнений

помощью

метода

ломаных

Эйлера

преобра

зована

разностную

систему

Zn+

=zп+hf(zп),

(115)

где	h -
H=2Nh

допустимый	шаг	интегрирования.	Введем
применим метод (107). Имеем разностную си

сте!Vlу

=--=

(s+l)

У N 2

2N-1 ~ k~

(

дf

(

У	N
2
ду

)

)lt

(

у 2

N	)	•
	s

(116)

Нетрудно

убедиться,

что

формула

(

116)

есть

систем

ный

метод

первой

степени

(66)

при

вычислении

его

мат

ричного

коэффициента

помощью

рекуррентных

соотно

шений		(13).
	Друго1"1 прю1ер			связан с
за	на	основе	( 107).		Пусть
ся	системой		(l 01).		Вектор
симой		переменной			tn=nh.


построением фор·мулы 1nротно
некоторый		объект	описывает
Zn =z(tn)		зависит	от	незави
Пусть	определена			матрица

дz	(tп +h)
	дz (tп)

дQ (zп) дzп

+Е,

мало	меняющаяся	на отрезке [tn,		tn+H],		где
Обозначив z(tп +Н)		через zн,	z(tn +h)		через Zh
через	zo, применим формулу (107),			замечая,		что
	zh-Zo = Qo,		Bs =	д .,
				..!!!:. •
				дzо

H=2Nh.

и z(tn)

Имее~1

матричную

формулу

прогноза

zн-Zo=

2 -1 ~ lt=O

дzh

( - ) дzо

(zh

z0).

(117)

Глава 3. Асимптотические преобразования

жестких систем

§ 3.t. Принцип квазистационарности

производных

Рассмотрим вопрос приближенного описания

решения жесткой системы вне пограничного слоя и

внутри него. EcJiи известен первый интеграл системы

дифференцпа.1ьных уравнений

dx	f	(t,	х),	1,	(1)
dt=		(t,	х),	x(t) =R;

то пз него :vюжно выразить одну из составляющих век

тора x(t), напри:.1ер, x<k>(t), через остальные 'КО:-шонен

:-ы, независимую переменную t и произвольную посто

янную С, опреде:1яемую вектором начальных условий. Внося выражения для x<k>(t) во все уравнения (1), кро ~:е k-го, придем к системе дифференциальных уравнений,

порядок которой на единицу меньше, чем у исходной си

стемы. Полученная дифференциа.11ьная система вместе

с а.1гебраическш.1 уравнением равносильна ( l). Далее,

если известно k независимых первых интегралов системы

( l), то она может быть сведена к равносильной диффе ренциальной системе (т-k)-го порядка. В· случае ли

нейных дифференциальных уравнений понижение поряд

ка может быть достигнуто и с помощью известных k ли нейно-независи:v1ых частных решений. Задача нахожде ння первых интегралов в общем случае и нахождения

частных решений в линейном случае является очень трудной, и рассмотренный алгоритм редко использует ся в вычисл11те.11ьной практике.

В жестких же дифференциальных системах для при б.11иженного нахождения алгебраических связей между компонентами вектора решения могут быть использова

ны их специфические свойства. Например, ранее бы.110 показано, что характерной особенностью жесткой линей-

114

Гл.

Асимптотические

преобразования

ной	системы	является установление		вне	пограничного
слоя	между	компонентами	вектора	x(t)	почти	точных
алгебраических связей. Их			число соответствует			количе
ству	быстроубывающих частных решений				этой системы.

Поэтому

вне

пограничного

слоя

она

до.11жна

аппрокси


.\Шро'ВаТЬ'СЯ		дифференциа.1ьной систе:-.юй				.\1еньшего по
рядка,	:чат~рица		которой	имеет	спектральный		радиу<:
значите.11ьно .\1еньше, чем				у исходной системы. Задача и
состоит	в	том,	чтобьr найти практически			приемлемый

способ построения такой

Рассмотрим жесткую

аппрокспмацпи. линейную систему

dx dt

Заппшем

--- (2)

Ах в

+Ь' впде

Х	(О)

двух

=	Хо,	Х	(t)

подсистем

Rmх

(2)

dx1	= А11Х1	+ А12Х2+Ь1,
dt
Х1	(О)=Х10•	Х1 (t) Е R~.

(3)

Х2

формулах

(О) = (3)


Х20•		Х2	(t) Е R;:-lt.
и	(4)		координаты

вектора

х1

(4)

(tl

суть

некоторые

из

компонент

вектора

x(t).

Их

чис.110 со·

ответствует

количеству

линейно-независимых

частных

решений	однородной системы (2), которыми
небречь	вне	пограничного	слоя.	Остальные
вектора	x(t)	составляют	вектор	x2(t). Как

можно пре компоненты выбираются

составляющие Матрицы А11,

вектора А12, А21,

х1 А22

(t),	будет пояснено	позже.
составлены из элементов А

соответствии

используемыми

компонентами

векто

рах

Xi(t)

X2(t).

Пусть

собсmенные

числа

:-,,1атрицы

уiпорядочены ·В 'Виде
IЛ1l~IЛ2I:>	··. ~1A1t1>1 Л.Нt
	1	л.1t+1	1 «	1Л.1 1.

...

1Ат i;

(5)

При

этом

для

lч

номером

i~k справед.тнша

оценка

(6)

§ 3.1. Принцип квазистационарности производных

115

Так как система (2) жесткая, то собственные числа ее ~1атр1щы А удовлетворяют условиям (В.29).

Приведем матрицу А к канонической жордановой

форме впда

(7)

где :--1атрица Л1 раз:v1ерности kXk имеет собственные ч11с.1а t.1, Л.2, "., lчi· Приняты следующие обозначения при разбпении матриц А, И и и-1 на подматрицы:

(8)

.\\атрнцы И11 и Q11 размерности kXk предполагаем не

особенными, что определяет выбор компонент вектора

X1(t).

С.:~.е.1аем замену переменных в (3)-(4), введя k-

'1ерный вектор у1

(9)

н 11ск.1ючая компоненты Х1

~1= Ин(Ан+И111 И12А21)ИJi1 У1+Ин(А12+

+И111 И12А22-А1Ри1 Ин-Ии1 И12A21Uii1 И12) х2+

	+И11Ь1+U12b2 ,		(10)
dx2	= A12ИJj1 У1+ (A22-A2P1i1 И12) Х2+Ь2,		(11)
dt
Сог.~асно выражению (7)
	ИнАн + U12A21 = Л1 Ин,
	И11А12 +И12А22 = Л1 И12·
Tor.J.a .J.ЛЯ	матричных коэффпциентов в	формуле	(1 О)
11мее:11
	И11 (Ан + ИJi1 И12А21) ИJi1 = Л1,
А12+ ИJi1 U12A22-AнИJi1 И12-ИJi1 U12A21ИJi1		И12= О,	(12)

116	Гл. 3. Асимптотические преобразования
и уравненпе		( 10) преобразуется к виду
		dyi = Л1У1+ И11Ь1+И12Ь2.			(13)
		dt
	Так как в результате преобразования			(9) матрица
системы (10)-(11) остается подобной			матрице		А, а
Л1	имеет собственные числа Л1, Л2, ... , л",		то собственны.
ми	числами	матрицы (А22-А21 И1~1 И	12)	будут	Л1~+1,

Л1~+2, ..., Лm.

В решении уравнения (13)

У1 (t) = ел,t (У10+ Л\1 И11Ь1+ Л!1 И12Ь2)+

+(-Л1)-1 (U11b1 +U1./JJ

вне пограничного слоя ввиду неравенства (6) первое

слагаемое с экспонентой практически отсутствует:

У1(t) jt:;;.'tпc ":'_Yi (t) ~-Л11 (И11Ь1+И12Ь2).	(14)
Подставляя выражение ( 14) в (9) и (11),	для при·

ближений х1 (t) и x2 (t) вне пограничного слоя получаем

И11.i;+И1:Х2+Лl1 (И11Ьсf-И12Ь2)=0, t >'t'n6

(15)

~=(A22-A2iUil1 И12)Х2+Ь2-А21Иi\1 .\11 (И11Ь1+И12Ь2).

(16)

Линейные связи ( 15) между координатами вектора x(t) вне пограничного слоя могут быть найдены, если продифференцировать уравнение (3) s-1 раз и поло·

жить s·ю производную x1(t) равной нулю.				После каж·
,цого	дифференцирования в (3)		первые	производные
x1(t)	и x2 (t) заменяются их выражениями				из (3) и
(4).	Таким образом, прп t~'t'nc		(s-1)-я	производная
х1(t)	полагается	квазистационарной. Покажем			справед·
ливость такого подхода.
Запише~r ура·внение д.пя s-й производной ·вектора ре
шения
	~s	ds-1		Ь.
	~= --(Ах+Ь)= A5x-)-As-I
	dt5	dts-I

Прп обозначениях (7) и (8) матрица А 5 записывается в

§ 3.1. Принцип квазистационарности производных						117
внде
As= (Q11	Qi2) (лf		о )(И11	И12) -
Q21	Q22	О	Л~ И21	И22
=	(Q11 Лf Ин+ Qi2 Л~ И21				Qi1 Лj И12+ Q~2Л~И22)
	Q21Лf И11+ Q22 Л~И21				Q21Лf И12 +Q22Л~И22 '
и для вектора x 1(t)			имеем

ds Xi =(Q11ЛjИ11+Q12Л~И21)Х1+(QнЛjИ12+Q12Л~И22)Х2+

dt5
+ (Q11Лj-1		Ин +Q12Л~-1 И21) Ь1 + (Qн Лj-1 И12+
			+ Qi2 Л~-1 И22) Ь2.			(17)
Фор:-.1ально		1110лагаем	вектор d8 x 1/dts	нулевым.	Обо
значив i1(t)	вместо x 1(t)		и x2(t) вместо	x 2(t), а также
умножив (17)	слева на матрицу л-~ Q1l • приходим					к
выражению
U11 + Л\5 Qli1 Qi2 Л~И21)Xi (t) + (И12+Л!s Qli1 Qi2Л~ И22)						Х
х х; (t) +л11 [(Ин+ л:-sQli1 Qi2 л~-1				И21) Ь1+
		+(И12+л:-sQ111 Q12 Л~-1 И22)Ь2]= О.			(18)
Ес.11п выбрать значение s таким, чтобы				llЛ-f11 llЛ~ll ~

~ 1, то можно пренебречь вторыми слагаемыми во всех

Ч.'Iенах формулы (18) и получить (15). Здесь 11·11-лю

бая принятая норма матрицы.

Формула (15) может быть записана и в виде, раз-
решенном относительно вектора x1(t):
х1+ И!i1 И12х2+ И!i1 Л.11 И11Ь1+ И!i1 Л.11 И12Ь2=О,
il .J.,1я матричных коэффициентов при векторах х2,	Ь 1, Ь2
сог.1асно ( 18) имеем приближенные выражения
И!i1 И12 ~ Ds (Qн Л~ И12 +Q12 Л~И22).	(19)
И!i1 Л.11 Ин ~ Ds (Qн Л~-1 Ин+ Q12 Л~-1 И21).	(20)
ии1 л.11 И12 ~ Ds (Q11 Лj-1 И12+ Ql2 л~-! И22)•	(21)

где

1/8

Гл.

Аси.лштотические

преобразования

Заметим,

что

после

возведения

матрицы

степень

s	и	s-1	все	матричные		коэффициенты находятся			с
мощью одной				и той	же	обратной	матрицы	Ds.
		Таким	образом,		чтобы найти		решения	(3)-(4)

по. вне

пограничного
ную	систему
ской	связью

слоя, (16) (15),

можно использовать	дифференциаль.
меньшей размерности	с алгебраиче
для практического определения кото

рой

следует

применять

условие

квазистационарности

(s-1)-й производной x 1 (t). Условие квазистационарности

производных целесо

образно

использовать

при

аппроксимации

жесткой

си

стемы (2) не три него. Если

только вне пограничного слоя, собственные числа матрицы А,

но и вну. начиная с

(k+

1)-го,

достаточно	малы:
1лk1»1	Лk+1 I•

1Лн1

Тпс

то

при

t<-rпc

решения

системы

(2)

могут

быть

доста·

точно стемы

точно k-го

описаны порядка

решениями дифференциальной си учетом степенных представлений

остальных

частных

решений.

Очевидно,

что

собственные

числа матрицы новой системы будут равны Л1,

Для построения такой системы пропзведем

Л2, "" Л11• замену

переменных

уравнении (l l)		У1
Х2 = W2P1i	1	У1
	1

У2·

(22)

Если потребовать, чтобы

матричному уравнению

матрица

удовлетворяла

(А22-А21И)i

И12)

W21

+А21°=

W21

(А11

+И11

И12А21)·

(23)

то уравнение	для
висит от у, (t):

У2

(t),

получающее.ся

из

(11),

не

за·

dь2 dt

=(A22-A2iUJi'И12)Y2+b2-W21(b1+U11tU12b2)•
У2 (О) = У20= Х20-	w21 (Х10 + И11	1	и12Х20)·
		1

(24)

Таким образом,

быстроубывающие

частные решения

системы
сш k
d (И\i	1
d (И\i
dt

(3)-

У1)

(4) (А11

описываются

+ И11	1	и12А21)
	1

системой

(U)j	1	У1)	+
	1

(13) Ь1 +

размерно

И11	1	и12Ь2,
	1

(25)

3.1.

Принцип

квазистационарности

производных

119

а	для описания решения		вне пограничного слоя
спстема (24)		размерности	(т-k).
	Соглаоно	(9) и (22), для x1(t) и x2(t)		имееУJ
	Х1 = ( Е-И111 И12W21) (Иll' Y1)-U]i1			И12У2,

с:1ужит

(26)

Х2=

W2P11

1У1

У2·

(27)

по

В формулах (24)-(27) матрица и:	1	И1	2	находится
	1
фор:-.1уле ( 19) на осно~е принципа	квазистациuнар

ност11 ·Произ·во;~:ных.

Д.1я получения матрицы (23), имеющее единственное

ные чпс.1Jа матриц (А11 + И1\

W21 используется		уравненне
решение,	так как	собствен
И12А21) и	(А22-А21И1: :И12)

различны

[9].

Запишем

(23)

виде

W21

[А21

(A22-A2Pi1

И12)

W21]

(Ан+

ИiJ

И12А21)-

п применим			для	его решения			метод	простой
сходящийся			тем	быстрее,			чем	меньше
/"лт, /-	1	/ Л.1~+1 /.	При	этом	обратная матрица
	1
			(А11+	ИiJ1	И12А21)-	1	= И!i1	Л\1 U11

итерации, величина

(28)

~южет

быть

вычислена

так

же,

как

на

основе


прннщша	квазистащюнарностп		производных
му.'Iе (20).		соотношение д.'Iя W21
Тогда	рекуррентное	соотношение д.'Iя W21

по	фор
имеет	вид

W~fl

[А21

(A22

-A2Piil

И12) w~1]

u111

л11

Ин,

wgl

=о.

Для

жестких

систем

(2)

формула

(29)

редко

(29) приме

няется прп l>l, так I<ак обычно

Таким образом, при оп11сании

/Л1,/-	1	/Лм1	/~l.
	1
процессов			в погранич

liОМ

слое

можно

решать

только

систему

(25)

k-ro

по

рядка.

Подвектор

Y2(t)

при

t<-тпс

вычисляется

на ос

нованип

выражения

(24)

помощью

формулы

Тейлора

У2 при

(t) = У2(О)+-fr у;(О)+

небо.1ьших значениях

· +

cf.Vd~:

(О)

Вне

пограничного

слоя

жесткая

система

(2)

описыва

ется форму.'Iами	(l 5)	и	(l 6),
ус.1овие i2 (<пс)	=Х2('Тпс). Эти

если выбрать начальное

формулы можно приме-

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2112 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Планирование и обработка эксперимента

#
13.05.201712.08 Mб74Bakhvalov - Chislenniye metodi 2002.pdf
#
15.12.20211.95 Mб65Berestneva - Prikladnaya statistika 2012.pdf
#
13.05.2017859.02 Кб124Eliseev - Teploobmen i ispitaniya konstrukciy 2014.pdf
#
13.05.20175.45 Mб118Pustilnik - Statisticheskiye metodi analiza 2012.pdf
#
13.05.20176.71 Mб84Rakitskiy - Chislenniye metodi resheniya 1979.pdf
#
13.05.20177.84 Mб604Spirin - Metodi planirovaniya i obrabotki 2004.pdf