3.3. Основные гипотезы

Рассмотрим основные гипотезы, на которых базируется теория сте­р­ж­­­­ней, изучаемая в курсе сопротивления материалов

1. Гипотеза об однородности и сплошности материала.

Свойст­ва материала не зависят от формы и размеров тела и оди­на­­ко­вы во всех его точках.

2. Гипотеза об изотропности.

Упругие свойства материала по всем направлениям одинаковы.

3. Гипотеза о малости деформации.

Деформации конструкции пред­по­лагаются настолько малыми, что можно не учитывать их вли­я­ние на взаимное расположение наг­ру­зок и на расстояния от наг­ру­зок до любых точек конструкции.

4. Гипотеза о совершенной (идеальной) упругости материала.

Ма­териал способен полностью восстанавливать первоначальную фор­­­­­­­му и размеры тела после устранения причин, вызвавших его де­фор­­ма­­цию.

5. Гипотеза о линейной зависимости между деформациями и напря­же­­ни­я­ми.

Другими словами говорят, что материал подчиняется закону Гу­ка: , гдеE- модуль упругости первого рода (модуль про­до­ль­ной уп­ру­гости);- относительная деформация.

6. Гипотеза о независимости действия сил или принцип супер­по­зи­ции.

Результат воздействия на конструкцию системы нагрузок равен сум­­­ме ре­зу­льтатов воздействия каждой нагрузки в отдельнос­ти. Прак­ти­чес­кое ис­по­льзование принципа возможно, ког­да матери­ал уп­ру­гий и дефор­ма­ции весьма малы.

7. Гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли).

Поперечные се­­чения бруса, плоские до приложения к нему наг­руз­­ки, остаются пло­с­кими и при действии нагрузки. Другими слова­ми, попе­реч­ное се­­че­ние бруса при деформации перемещается как жест­кое целое.

3.4. Кинематические соотношения при изгибе

Кинематические соотношения определяют связь между деформа­ция­­ми и перемещениями для прямого бруса при плоском изгибе.

Отнесем брус к общей системе координат xoy(рис. 3.3). При этом по­­ла­гаем, что осьxпараллельна линии, к которой приводятся внут­рен­ние си­­ловые факторы в поперечных сечениях и которая называется осью бру­са.

Рис. 3.3

Под воздействием внешних сил, расположенных в одной из глав­­ных плоскостей прямого бруса, ее ось искривляется в той же плос­­кости, при этом точки оси перемещаются.

Изогнутая ось бруса называется упругой линией, а пере­ме­ще­ния то­чек оси бруса по нормали к ее недеформированной оси назы­ва­ю­­тся про­ги­бами и обозначаются буквой .

Следует отметить, что искривление оси бруса вызывает не толь­ко прогибы, но и смещения точек оси по горизонтали, однако они, как пра-­ ви­ло, весьма малы по сравнению не только с длиной бруса, но и с про­ги­ба­ми ее оси. При расчетах этими смещениями прене­бре­га­ют.

_____________________________________­­­­_____

Такое обозначение прогиба является наиболее распро­стра­не­н­­­ным в ли­­те­ра­ту­ре по механике. Хотя, следуя принятым нами вы­ше обоз­­начениям для перемещения в направлении оси y, прогиб следовало бы обоз­начить бук­­вой v .

При деформации поперечные сечения не только поступательно сме­ща­ются, но и поворачиваются. Пренебрегая деформациями сдви­га, мож­но считать угол поворота поперечного сечения равным уг­лу меж­ду ка­са­тельной, проведенной к изогнутой оси бруса в этом се­че­нии, и осьюx.

Плоскости двух смежных поперечных сечений деформиро­ван­но­го бруса, отстоящих друг от друга на расстоянии dx, пересекаются в цен­тре кри­­визны участкаdxоси бруса (рис. 3.3). Расстояниеот центра кри­­виз­ны до оси бруса называется радиусом кривизны оси.

Отношение представляет собой кривизну оси.

Из курса высшей математики известна формула, определяющая кри­­виз­ну функции прогиба w:

,

где - величина второго порядка малости, значением ко­то­рой по срав­­нению с единицей можно пренебречь.

Учитывая тот факт, что за положительное направление прогиба wпри­нято направление вниз (т. е. против положительного направ­ле­ния осиy), получим:

.

Введем следующие обозначения:

mn- нейтральный слой, волокна которого сохраняют свою дли­ну (не­ удлиняются и не укорачиваются);

- абсолютное удлинение волокнаef, расположенного на рас­сто­я­нииyот нейтрального слоя.

Рис. 3.4

C учетом принятых выше обозначений, изгибная составляющая ли­ней­ной де­­формации в направлении оси xопределяется формулой:

.

Из подобия треугольников иследует, что

,

и, следовательно,

.

С учетом деформации растяжения - сжатия оси бруса полная ли­ней­ная де­фор­­мация в точке, отстоящей на расстоянии yот оси бруса, в нап­ра­в­лении осиxзапишется в виде

(3.2)

.