8.1.4. Четвертая (энергетическая) теория прочности, или теория уде­ль­­­ной потенциальной энергии формоизменения (Теория Губера-Ми­зе­са-Генки, 1904 г.)

Рассмотренные выше теории прочности обладают рядом не­дос­тат­­ков, и поэтому, возникли новые гипотезы относительно других воз­­­­­мож­­ных факторов, вызывающих опасное состояние материала.

Согласно этой теории, прочность сложнонапряженного эле­мен­та обес­­­­пе­чена, если наибольшая удельная потенциальная энергия фор­мо­из­ме­нения не превосходит допускаемого ее значения для ли­ней­но-нап­ря­жен­но­го элемента из того же материала, т. е.

(8.9)

.

(8.10)

Не приводя вывода формулы, выражающей величину удельной энер­­­­­гии изменения формы, дадим условие (8.9) в развернутом виде:

.

Условие прочности (8.10) для плоского напряженного состоя­ния (при ) выразится формулой

.

(8.11)

Достоинством энергетической теории прочности является то, что она учи­тывает все три главные напряжения, хорошо согласуется с ре­зу­льта­та­ми опытов над пластичными материалами, для которых она является бо­лее точной, чем третья теория.

В заключение следует отметить, что изложенные выше клас­си­чес­­кие и энергетическая теории прочности неприменимы для анизо­тро­п­ных ма­те­ри­алов.

8.1.5. Единая теория прочности

Идея этой теории была высказана в 1936 г. профессором Н.Н. Да­ви­­денковым и в дальнейшем развита Я.Б. Фридманом. Это комбини­ро­­ван­ная теория, объединяющая вторую и третью, которая может ис­по­ль­зо­ва­ть­ся при любом виде напряженного состояния.

Допускаемое напряженное состояние должно одновременно удо­­­в­­ле­т­­во­рять двум условиям прочности:

( 8.12)

.

При этом устанавливается из опыта на одноосное растяже­ние, а- из опытов, при которых разрушение материала (или плас­ти­ческое течение его) вызывается сдвигом.

Условие прочности (8.12) для хрупкого материала можно пред­ста­вить в виде:

(8.13)

;

(8.14)

.

Если определяется из опытов на одноосное сжатие, тои условие (8.14) принимает вид:

(8.15)

.

В случае пластичного материала условие прочности имеет вид:

(8.16)

;

.

(8.17)

Единая теория прочности, которая объясняет разрушение материала как в результате отрыва, так и сдвига, может использоваться при любом виде напряженного состояния.

8.2. Понятия о некоторых новых теориях прочности

Выше были изложены основные теории прочности, созданные за дли­­тельный период, начиная со второй половины XVII и до нача­ла XX ве­ка.

За последнее время появились новые теории, которые главным об­разом связаны с появлением новых материалов, в частности пла­ст­­мас­с.

При построении приведенных ранее теорий состав­ля­лись усло­вия нас­­­тупления предельного напряженного состояния, вы­раженные че­­рез глав­­­­­ные напряжения ,и.

(8.18)

Условия перехода материала в предельное состояние для каж­дой те­о­­рии можно вы­ра­зить в виде некоторого уравнения

,

которое может быть представлено предельной поверхностью в трех­мер­­­­­ном пространстве, где по осям декартовой системы координат от­кла­ды­ва­ют­ся главные напряжения.

Так, предельная поверхность, соответствующая условию появ­ле­­­ния мас­совых пластических деформаций, по теории удельной по­тен­ци­а­льной энер­гии формоизменения имеет вид:

(8.19)

.

Предельная поверхность (8.19) пред­­­­­ставляет собой круговой ци­­линдр с осью, равнонаклоненной к ко­ор­динат­ным осям, и радиу­сом Чтобы за­дать форму ци­линд­ра, дос­та­точно за­дать контур се­че­ния его плос­кос­тью, пер­­­­пендикулярной оси. Эта плоскость, от­­­­се­ка­ю­щая рав­ные от­резки на осях ко­ор­ди­нат,и, называется окта­эд­ри­чес­кой пло­с­­костью, а дей­­ствующие в ней нап­ря­же­ния - окта­эд­ри­чес­ки­ми на­п­ря­­же­ни­я­ми. Для плоского напряженного сос­то­я­ния, ког­­да одно из глав­ных нап­ря­же­ний равно ну­лю, ус­ловие (8.19) дает эллиптическую пре­­дель­ную кри­вую (рис.8.1).

Новейшие теории прочности ос­но­­вы­ва­ют­ся на выборе различ­ных ва­риантов формы предельной по­верх­но­с­ти, при которой мож­но наи­более пол­но учесть особенности со­про­­­тивления дан­­ного класса ма­териалов в ус­­ловиях сло­ж­­ного напряженного сос­тоя­ния.

Рис. 8.1

Следует отметить, что квад­ра­тич­ную функ­­цию от разности гла­в­­­ных нап­ря­­­жений (8.19) ис­хо­дя из совершенно раз­­ных сообра­же­ний и незави­си­мо пред­ло­­жили польский уче­ный Губер в 1904 г. и не­мец­кий уче­ный Мизес в 1913 г.