5.9. Кручение

Рассмотрим брус с поперечным се­че­нием в виде круга, заг­ру­жен­ный на тор­­­цах скручивающими моментами ­ (рис. 5.5).

- полный угол закручивания в радианах на уча­стке длинойl.

Отношение полного угла закру­чи­ванияна элементарном участ­ке бруса к длине этого элементарного участка бру­саназывается отно­си­те­ль­ным уг­лом закру­чи­ва­нияраз­­мер­ностью:

.

Теория кручения брусь­ев, име­ю­­­­щих круглое сплош­ное или ко­­­ль­­­­­­цевое по­­пе­реч­ное сече­ние, ос­нована на сле­ду­­ю­­щих до­­пу­ще­­ниях:

Рис. 5.5

1. Поперечные сечения бру­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­са, пл­о­­­с­кие и нормальные к его оси до де­фор­мации, ос­та­ют­­ся плоскими и нор­ма­ль­­ны­ми к ней и после де­фор­мации, они ли­шь повора­чи­ва­ют­ся на неко­то­­­рые углы вокруг своей оси.

2. Радиусы поперечных сечений не искривляются и сохраняют свою длину ().

3. Расстояние вдоль оси бруса между поперечными сечениями не из­ме­няется ().

Выделим двумя поперечными сечениями элемент скручиваемого бру­­­­­са длиной dx(рис. 5.6).

Рис. 5.6

В результате деформации одно сечение повернется относи­тель­но дру­­­­­­гого на угол .

Смещение равнои представляет собой аб­­со­лют­­ный сдвиг основанияпараллелепипеда относительно ос­но­ванияв нап­равлении, перпендикулярном к радиусу.

Определим относительный сдвиг

.

(5.20)

Величина касательных напряжений, на основании закона Гука при сдви­ге, равна

.

Перечисленные выше допущения вы­по­л­­­няются только в том случае, когда отно­си­­те­ль­ные деформации равны ну­лю, а, сле­­довательно, из обобщенного за­ко­на Гука сле­дует, что и.

Таким образом, при кручении во всех точ­­ках круглого бруса соз­­да­ется напряжен­ное состояние чистого сдвига.

Рис. 5.7

Установим связь между крутящим мо­­­мен­томи касательными напряже­ни­я­ми (рис. 5.7).

или с учетом (5.20)

,

откуда

,

следовательно,

(5.21)

,

где - геометрическая характеристика по­перечного сечения размер­но­с­тью, которая называется по­ляр­ным моментом инерции.

Из (5.21) следует, что

(5.22)

.

Для касательных напряжений получим формулы

(5.23)

,

,

где - геометрическая характеристика поперечного сечения раз­мер­но­стью, которая называется полярным моментом сопро­тив­ле­ния.

(5.24)

.

Полный угол закручивания стержня на участке длиной lвы­чис­ля­ет­ся по формуле

(5.25)

.

Раздел 6. Геометрические характеристики плоских однородных сечений

6.1. Cтатический момент инерции сечения

Геометрические характеристики в теории стержней являются след­­ст­­ви­ем принятых гипотез о характере распределения пере­ме­ще­ний точек по­пе­речного сечения. При выводе уравнений равновесия нами были вве­де­ны в рассмотрение некоторые геометрические ха­рак­­те­ри­с­ти­ки (пло­щадь, ста­тический момент инерции, осевой мо­мент инерции, полярный момент инер­ции) поперечных сечений.

Рассмотрим некоторое сечение (рис. 6.1), площадь которого мож­­­но определить как

(6.1)

.

Статическим моментом плоского од­­­но­родного сечения отно­си­тель­но лю­­бой оси, лежащей с ним в одной пло­с­ко­с­ти, на­зы­вается сум­ма про­из­ве­де­ний эле­­мен­та­р­ных площадок все­го сече­ния на рас­сто­яние их до данной оси.

(6.2)

Рис. 6.1

.

Применяя теорему о моменте равнодействующей, можно запи­сать ус­­ловия, определяющие положение центра тяжести поперечного се­че­ния:

(6.3)

.

Статический момент может иметь положительное и от­ри­ца­те­ль­ное зна­чение в зависимости от знака координат, т. е. от рас­поло­же­ния осей, от­­­носительно которых он определяется (рис. 6.1).

Оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются цен­­т­­­­­­ра­ль­­ными осями, а моменты инерции относительно их - цент­ра­ль­­ны­ми мо­мен­­тами инерции.

Если ось, относительно которой определяется статический мо­мент, про­ходит через центр тяжести сечения, т. е. и, то ста­ти­ческий мо­­мент его равен нулю:

.

Если сечение имеет ось симметрии, то эта ось всегда проходит че­рез его центр тя­же­сти. Поэтому статический момент любо­го се­че­ния от­но­си­те­ль­но его оси симметрии все­г­­да равен нулю.

Для сложного поперечного сечения, состоящего из nчастей, вы­ра­­же­ние (6.2) мож­но представить в виде­

(6.4)

,

где ,- статические моменты инерцииi-й части сечения от­­носи­те­ль­но осейzиyсоответственно.

Для площади , расположенной вы­­ше осиz(рис. 6.2), статический мо­мент ра­вен

Рис. 6.2

.

Для площади , расположенной ни­­же осиz, статический момент равен

.

Следовательно, .