9.3. Эквивалентные напряжения по различным теориям прочности

В брусьях круглого поперечного сечения, длина которых во много раз больше диаметра, величины наибольших касательных напряжений от по­перечной силы невелики и при расчете прочности брусьев на сов­мест­ное действие изгиба и кручения не учитываются.

Осьyявляется нейтральной осью. Нормальные напряженияпри изгибе вычисляются по форму­ле

.

Эпюра этих напряжений по­ка­­зана на рис. 9.2. Наибольшие по аб­со­лют­ной величине нормаль­ные на­п­ря­жения возникают в точ­ках AиB. Эти нап­ряжения равны

(9.3)

,

где W- осевой момент соп­ро­тив­ле­ния поперечного сечения бруса.

Рис. 9.2

Касательные напряженияоп­ре­деляются по формуле

.

Эпюра этих напряжений показана на рис. 9.2.

Наибольшие касательные напряжения возникают в точках, располо­же­н­­ных по периметру сечения, и равны

(9.4)

,

где - полярный момент соп­ро­­тив­ления поперечного сечения бру­­са.

Рис. 9.3

При пластичном материале точ­киAиBпоперечного сечения, в ко­то­рых одновременно и нормальные и ка­са­­тель­ные напряжения дос­ти­га­ют наи­бо­­льшего значения, являются опас­ны­ми. При хру­п­ком ма­­териале опа­с­ной яв­ля­ет­ся та из то­­чек, в которой от из­ги­бающего мо­мен­таMвозни­ка­­ют растяги-вающие напря­же­ния.

Рис. 9.3

Напряженное состояние эле­мен­тар­­­но­го параллелепипеда, выде­лен­­но­го в окрестности точкиA, имеет вид, по­ка­за­н­ный на рис. 9.3.

По граням параллелепипеда, сов­­­­па­­дающим с поперечными се­че­ни­я­ми бру­­­­­са, действуют нормальные на­п­­­ря­же­­­ния

и касательные напряжения

.

На основании закона парности касательных напряжений напря­же­ния возникают также на верхней и нижней гранях параллелепипеда. Ос­та­ль­ные две грани его свободны от напряжений. Таким образом, в дан­ном слу­чае имеется частный вид плоского напряженного состояния, кото­рое было рассмотрено выше.

С учетом того, что =0, главные напряженияиоп­ре­де­ля­ются по формулам:

,

.

Напряжения иимеют разные знаки и, следовательно,

;

(9.5)

;

.

Расчет брусьев из пластичных материалов на прочность при из­ги­бе с кручением выполняется обычно на основе третьей или четвертой теории прочности, а из хрупких - по теории Мора.

По третьей теории прочности () c учетом (9.5) получим

(9.6)

.

C учетом формул для напряжений ив опасной точке имеем

.

Величину называют приведенным (или эквивалентным) мо­ме­н­том по третьей теории прочности. Введя обозначение

(9.7)

,

окончательно получаем условие прочности

(9.8)

.

Расчетные формулы по другим теориям прочности также приводятся к аналогичному виду:

- по первой теории прочности

(9.9)

,;

- по второй теории прочности

(9.10)

,,

;

- по четвертой теории прочности

(9.11)

,.

Используя одну из теорий прочности, определяют диаметр вала d:

,

где i=I,II,III,IV, откуда

(9.12)

.

Таким образом, расчет бруса круглого поперечного сечения на из­гиб с кручением по форме совпадает с расчетом на прямой изгиб.

Раздел 10. Расчет конструкций по предельным состояниям