7.3. Формула д.И. Журавского

Рассмотрим определение составляющих в пред­по­ло­жении, чтопо всей ширине сечения в направлении, параллельном осиz, одина­ко­вы. Для определениявыделим из балки постоянного се­че­ния, сим­­­мет­ри­ч­но­го относительно осиy, элемент 1-2-3-4 двумя по­пе­реч­ны­ми сечениями, проведенными на расстоянииxиx+dxот ле­во­го конца бал­ки и одним се­че­нием, параллельным нейтральному слою

, отсто­я­щим от него на рас­стоя­нии (рис. 7.3).

Рис. 7.3

В поперечном сечении бал­ки с абсциссойxдейству­ет изги­баю­щий моментM, а с абсциссойx+dx- мо­ментM+dM(рис. 7.3). В соот­вет­ст­вии с этим нормаль­ные нап­ря­­же­нияи, дей­ст­вующие по пло­ща­д­­кам 1-2 и 3-4 вы­де­лен­ного эле­мен­та, опреде­ля­­ют­ся выра­же­ния­ми

(7.6)

,

.

Рис. 7.4

Составим уравнение равновесия для элемента 1-2-3-4 в виде сум­мы проекций всех сил на осьx(рис. 7.4):

,

где - ширина поперечного сечения балки на уровне;

- площадь отсеченной час­ти поперечного сечения.

Подставим в данное уравнение выражение (7.6):

,

.

С учетом того, что ,

,

или

,

где - статический момент инерции площадиотносительно нейт­ра­ль­ной осиzпоперечного сечения балки.

.

По закону парности касательных напряжений, нап­ря­жения в точ­ках поперечного сечения, отстоящих на рас­сто­я­нииот нейт­ра­ль­ной оси, рав­ны, т. е.

.

Таким образом, величины касательных напряжений в попе­реч­ных сечения балки и в сечениях ее плоскостями, параллельными нейт­ральному слою, определяются по формуле (без употребления ниж­­­них ин­дексов):

.

(7.7)

В этой формулеQ- поперечная сила в рассматриваемом по­пе­реч­ном сечении балки;S- статический момент (относительно нейт­ра­ль­ной оси) отсеченной части поперечного сечения, располо­жен­но­го по од­ну сторону от уровня, на котором определяются каса­те­ль­ные нап­ря­же­ния;I- момент инерции всего поперечного сечения от­но­­си­тельно нейт­ральной оси;b- ши­рина поперечного сечения балки на том уров­не, на котором опре­де­ля­ю­тся касательные напряжения.

Формула касательных напряжений в балке прямоугольного се­че­­ния впервые была выведена русским инженером Дмитрием Ивано­ви­чем Жу­рав­­ским при проек­ти­ровании им деревянных мостов для же­лез­ной дороги Пе­тер­бург - Мо­ск­ва в 1855 г.

7.4. Расчеты на прочность при изгибе

Основной задачей расчета конструкции является обеспечение ее про­­­ч­­­­­­­­ности в условиях эксплуатации.

Величины нагрузок, напряжения в конструкции и предел проч­но­сти ма­териала нельзя установить совершенно точно. Поэтому не­об­хо­ди­мо, что­­бы наибольшие напряжения, полученные в результате рас­че­та кон­ст­рук­­ции (расчетные напряжения), не превышали неко­то­рой ве­ли­чины, ме­нь­­­­шей предела прочности, назы­ваемой допус­кае­мы­ми нап­ря­­жениями. Зна­чение допускаемого напряжения уста­нав­ли­вается пу­тем деления пре­де­ла прочности на величину, большую единицы, на­зы­ва­е­мую коэф­фи­циен­том запаса.

Условие прочности конструкции, выполненной из хрупкого ма­те­­ри­ала, выражается в виде

(7.8)

;,

где ,- наибольшие расчетные растягивающие и сжима­ю­щие на­п­ря­же­ния в конструкции;,- допускаемые напряжения при рас­тя­же­нии и сжатии.

Допускаемые напряжения изависят от пределов проч­но­­с­ти на растяжениеи сжатиеи определяются выражениями

(7.9)

;,

где - нормативный коэффициент запаса прочности по отно­ше­­нию к пре­­­­делу прочности.

Для конструкций из пластичных материалов (у которых преде­лы проч­ности на растяжение и сжатие одинаковы) используется сле­ду­ю­щее условие прочности:

(7.10)

,

где - наибольшее по абсолютной величине сжимающее или рас­тя­ги­ва­ю­щее напряжение в конструкции.

Допускаемое напряжение для пластичных материалов оп­ре­де­ля­ет­ся по формуле

(7.11)

,

где - нормативный коэффициент запаса прочности по отно­ше­нию к пре­делу текучести.

Расчет прочности, выполненный с использованием условий про­ч­­нос­ти (7.9) или (7.10), называется расчетом по допускаемым на­п­ря­же­ни­ям. Нагрузка, при которой наибольшие напряжения в кон­ст­рукции равны до­пус­каемым напряжениям, называется допус­ка­емой.

Расчет балки на прочность при изгибе ведется по наибольшим нор­­ма­ль­ным напряжениям, возникающим в ее поперечных сечениях. Обоз­­на­чая эти напряжения , получим условие прочности в виде

(7.12)

.

При расчете на прочность элементов конструкций, работающих на из­гиб, возможны три следующих вида задач, различающихся фор­мой ис­по­льзования условия прочности (7.12):

а) проверка напряжений (проверочный расчет);

б) подбор сечения (проектный расчет);

в) определение допускаемой нагрузки (определение грузо­подъ­е­м­­но­с­­ти).