6.6. Изменение моментов инерции при параллельном переносе осей

Определим зависимость между различными моментами инер­ции се­чения от­но­сительно двух параллельных осей (рис. 6.7), связанных зави­си­мос­тями

.

Рис. 6.7

1. Для статических моментов инерции

.

Окончательно,

,

(6.18)

(6.19)

.

2. Для осевых моментов инерции

,

следовательно,

(6.20)

.

Если ось zпроходит через центр тяжести сечения, то

(6.21)

.

Из всех моментов инерции относительно параллельных осей осе­­­вой момент инерции имеет наименьшее значение относительно оси, проходя­щей через центр тяжести сечения.

Аналогично для оси

.

(6.22)

Когда осьyпроходит через центр тяжести сечения

(6.23)

.

3. Для центробежных моментов инерции получим

.

Окончательно можно записать

(6.24)

.

В случае, когда начало системы координат yzнаходится в цент­ре тя­же­сти сечения, получим

(6.25)

.

В случае, когда одна или обе оси являются осями симметрии,

(6.26)

.

6.7. Изменение моментов инерции при повороте осей

Пусть заданы моменты инерции сечения относительно координат­ных осей zy.

Требуется определить моменты инерции того же сечения от­но­си­те­ль­но осей, повернутых на некоторый уголпо отношению к систе­ме ко­­­ординатzy(рис. 6.8).

Рис. 6.8

Уголсчитается положительным, если старую систему ко­ор­ди­нат для перехода к новой нужно повернуть против часовой стрелки (для пра­вой декартовой прямоугольной системы координат). Новаяи стараяzy системы координат связаны зависимостями, которые сле­дуют из рис. 6.8:

,

1. Определим выражения для осевых моментов инерции относи­те­ль­­но осей новой системы координат:

.

(6.27)

.

Аналогично относительно оси

(6.28)

.

Если сложить величины моментов инерции относительно осей и, то получим

(6.29)

,

т. е. при повороте осей сумма осевых моментов инерции является ве­ли­чи­­ной постоянной.

2. Выведем формулы для центробежных моментов инерции.

,

или

(6.30)

.

6.8. Главные моменты инерции. Главные оси инерции

Экстремальные значения осевых моментов инерции сечения на­зы­ваются главными моментами инерции.

Две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых осе­вые мо­менты инерции имеют экстремальные значения, называются глав­­ны­­­ми осями инерции.

Для нахождения главных моментов инерции и положения глав­ных осей инерции определим первую производную по углу от мо­мен­та инер­­­ции, определенного по формуле (6.27)

.

Приравняем этот результат нулю:

(6.31)

,

где - угол, на который нужно повернуть координатные осиy иz, что­­­бы они совпали с главными осями.

Сравнивая выражения (6.30) и (6.31), можно установить, что

,

т. е.

.

Следовательно, относительно главных осей инерции центро­бе­ж­­­ный мо­­мент инерции равен нулю.

Взаимно перпендикулярные оси, из которых одна или обе сов­па­да­ют с осями симметрии сечения, всегда являются главными осями инер­ции.

Решим уравнение (6.31) относительно угла :

(6.32)

.

Если >0, то для определения положения одной из главных осей инер­ции для правой (левой) декартовой прямоугольной сис­темы ко­ор­ди­­нат необходимо осьzповернуть на уголпротив хода вра­ще­ния (по хо­­ду вращения) часовой стрелки. Если<0, то для оп­ре­деления по­ло­же­ния одной из главных осей инерции для пра­вой (левой) де­кар­то­вой пря­мо­у­го­ль­ной системы координат необ­хо­димо осьzповернуть на уголпо ходу вращения (против хода вра­ще­ния) часовой стрелки.

Ось максимум всегда составляет меньший угол с той из осей (yилиz), относительно которой осевой момент инерции имеет большее зна­че­ние (рис. 6.9).

Ось максимум направлена под углом к оси(), если() и расположена в четных (нечетных) четвертях осей, если().

Рис. 6.9

Определим главные моменты инерции и. Используя фор­му­­­лы из тригонометрии, связывающие функции,,,с функциями,,из формулы (6.27) по­лу­чим

,

(6.33)

.